2.1數列及其極限當前講授一、數列的概念引例公元前四世紀，我國春秋戰國時期的哲學家莊子在《莊子?天下篇》一書中有一段富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.它用一個很樸素、很形象的例子說明了物質的無限可分性.我們把逐日取下的棰的長度順次排列出來，便得到一串按一定順序排列的無窮多個數1111這一串數就構成了一個數列.定義：稱按一定順序排列起來的無窮多個數義丐牛明...%...，，，，，為數列，其中的第珂項％為數列的通項或一般項.數列常簡記為血).說明：數列可以理解為正整數M的函數，從而也可以寫成%二/S)，它的定義域是全體正整數.例如，引例中的數列的通項可以寫為.定義：對于數列枷」，若有成立，則稱數列伍」單調增加；若有電乏知乏今乏…乏％占孔H蘭…成立，則稱數列SC單調減少.單調增加和單調減少的數列統稱為單調數列.對于數列化」，若存在正數M，使得對于所有的％，都有~M，則稱數列枷」有界，否則稱數列伍」為無界.二、數列的極限

定義：當珂無限增大時，如果數列"」的一般項”'能無限接近于某個確定的常數*，則稱數列枷」以*為極限或稱數列伍-收斂于就，記為或，球T時其中13表示都無限增大.如果13時，％不能無限接近于某一個確定的常如果13時，％不能無限接近于某一個確定的常數，則稱數列"「發散或不收斂.典型例題例2.1.1觀察下列數列的斂散性，并在收斂時求出其極限.1111TOC\o"1-5"\h\z■■■■■'⑴2廿"；—,…23就；111(—IT】I--■---'丁3‘4'照’；⑷1廠1』廠",(-1)七-；⑸1應定，…廠隊…;⑹…，…必….解TOC\o"1-5"\h\z11J1I一lim——=。歹｝?.?HTS時，一般項無限接近于0，.?.尸，即數列W」收斂于0.11-lim—二0—'?口八如時，一般項卷無限接近于0，...“*口，即數列L#J收斂于0....這個數列的特點是正項和負項交錯排列，在淤變大的過程中，數列的取值雖然會在0點兩側來回變動，但會分別在兩側越來越接近0，當也永時，能無限接近0，.?.蜘(T)=0』(T蜘(T)=0』(T廣L，即數列L月」收斂于0.這個數列的特點也是正項和負項交錯排列.因為這個數列總在1和一1之間來回取值，沒有一個確定的趨向，所以此數列發散，即極限不存在.、,r&=00fCl當也Tea時，一般項寸羽也無限增大，可記為比f，所以數列W勺發散，即極限不存在.lima=lima=（6）這個數列是常數列.顯然，5，即常數列收斂于席.幾點說明:（1）（1）數列的極限反映了數列的變化趨勢.例如數列的極限“F反映出該數列1111■■■的變化趨勢.（2）以零為極限的變量稱為無窮小量，例如，因為lim—=0lim—=0lim—=0

拼Lrig口MTro卜卒，，，11（-1尸所以2”、可、或都是當HTW時的無窮小量.（3）絕對值無限變大的變量稱為無窮大量，例石是13時的無窮大量.如果我們再分細一點，當13時，由相應的取值在數軸上是沿X軸正向運動，無限變大，而一由相應的取值在數軸上是沿工軸負向運動，絕對值無限變大，可分別記為lim奴=4WIWijj和lim（一癡）=Hu\/三、收斂數列的基本性質性質1（極限的唯一性）若數列收斂，則其極限唯一.性質2（收斂數列的有界性）收斂數列必然有界.性質2的逆命題是不成立的，即有界數列未必收斂.例2.1.1中的數列1，T，1，T，…，（T）"，…就是一個有界數列，但它是發散的.注意：數列有界是數列收斂的必要條件，而不是充分條件.思考無界數列是否收斂？無界數列不滿足收斂的必要條件，所以是發散的.例如數列的項排列為1,0,—￡0,5,。,—7』,…，顯然此數列無界，所以它是發散的.性質3（保號性）lim馬二忘nn3丁*（1）設I"1，若淳*口（或a<0），則存在正整數小，使得拎*"時，>0c。、a（或再）.11H1—GLyrhltxj—n（2）設5，若存在正整數M，使得樣司時，（或七E），則

&河（或*￡°）.性質3中的第（1）條是說，若數列的極限大于零，則該數列從某項開始，后面所有的項全大于零；若數列的極限小于零，則該數列從某項開始，后面所有的項全小于零.簡述為：當珂充分大時，數列的項與其極限值保持相同的符號.性質3中的第（2）條是說，若收斂數列從某項開始，后面所有的項全大于零，則其極限一定不會是負數；若收斂數列從某項開始，后面所有的項全小于零，則其極限一定不會是正數.四、數列極限的運算法則及存在法則1、四則運算法則lim=alim占二占設f，f，貝lim（a,limtsH±lim=e±&（1）f；（簡述為：代數和的極限等于極限的代數和）limab=lira隊-lim白二口由②5程&……川；（簡述為：乘積的極限等于極限的乘積）a11111（3.?血色二二色**知hm%力1n（3）f（此時出蒲°）.（簡述為：商的極限等于極限的商，但要求分母的極限不為零）其中（1）和（2）可推廣至有限項的情形.limci=a推論設5，則limCa=(7limamem，。為常數，即常數因子可以提到極限號外.lim泌=［岫％Y,wJb"，用為正整數.limab二lim口-limbl,_p在…二*5K5B中令氣是常數列即可推得(1).對于任意正整數*，有P'■■■<■■■lim=lim。羅■■■■■=hmImi■-■■■limlim—=05"5"快K—gHMTgKMT心Hlimalimblim—=0注意：四則運算法則的應用前提是及f均存在.例如，，但不1lim11lim1=±±^=±=0餛*nlim0oa能寫為：2、極限存在的兩個準則準則1（夾逼定理）若數列〔％｝，〔知｝，〔％｝滿足不等式%工如5，limlimCj.=i丘］bv=b且f，f，則數列I%」收斂，且f.

準則2單調有界數列必有極限.根據此準則，運用一定的技巧，我們可以證明數列卜照，J是收斂的，且《1vlim1+—=ei成耳)，舀是一個無理數.它的值是2,718281乾8459045…，通常??？四2,718.指數函數"談和自然對數函數^=h;t中的底數冒就是這個常數.說明：(1)這是一個非常重要的極限類型，將作為公式應用?括號內的變量是趨向1的，指數趨向于°°，記作“1心”，以后遇到“1"■”型極限可考慮使用它.此極限式更一般的形式為，若在自變量珂的某一變化過程中，知，即是無窮小量，則[1+冊麗*ITIITIXv-rXT■心例如，lim(1+匚典型例題例2.1.2求下列數列的極限:..?+1hm5毋；Inn2"'-沖+2(2)**就解.⑷以上四個極限題有共同之處，都是求分式的極限，且當時，分子分母均是無3窮大量.我們把這種類型的極限叫做無窮大比無窮大型，記為8.2.1.3求下列極限:hm…4B+1.limV1+2H+3B(3}

1-3-hmHD4*hmHD4*+]limuo?療匚辰萬』一私寸，即3<Vi+F+F<=3龍，lim3^3=31imV3=3?=33°=3由夾逼定理limVl+2"+3S=3即得5(A)(C)2.1.4lim1十一程在下列式子中，"疽lim1+—[x2W4-1錯誤的選項是（）.由夾逼定理limVl+2"+3S=3即得5(A)(C)2.1.4lim1十一程在下列式子中，"疽lim1+—[x2W4-1錯誤的選項是（）.M+1lim[1+-(B)(D)lun1-—XT心(iVlim1+—分析解此題4個選項均為“1心”型極限，所以考慮利用重要極限lim[1+--w=lim-1(1).」.（A）正確.???(B)正確.=lim???(C)正確.也可以這樣求極限:?(D)不正確.備注:本