專題03軸對(duì)稱1．軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的相關(guān)概念（1）如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸．（2）把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)．2．軸對(duì)稱的性質(zhì)（1）軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分也是全等圖形．（2）軸對(duì)稱（軸對(duì)稱圖形）對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．（3）如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。（4）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．（5）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)一定在在對(duì)稱軸上．3．軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：（1）軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形間的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)具有特殊形狀的圖形；（2）軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形而言的．聯(lián)系：（1）定義中都有一條直線，都要沿著這條直線折疊重合；（2）如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分（即看成兩個(gè)圖形），那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱；反過(guò)來(lái)，如果把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．4．線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．5．畫(huà)一圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形的步驟先找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫(huà)出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后按照原圖順序依次連接各點(diǎn)．6．關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）．（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）．（3）點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，-y）．7．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，（簡(jiǎn)寫(xiě)成等邊對(duì)等角）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，（簡(jiǎn)寫(xiě)成三線合一）．8．等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成等角對(duì)等邊）．9．等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60度．10．等邊三角形的判定（1）三個(gè)角都相等的三角形是等腰三角形．（2）有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形．11．含30度角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．12．最短路徑問(wèn)題利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”問(wèn)題．考點(diǎn)一、軸對(duì)稱圖形例1（2020永州）永州市教育部門高度重視校園安全教育，要求各級(jí)各類學(xué)校從認(rèn)識(shí)安全警告標(biāo)志入手開(kāi)展安全教育．下列安全圖標(biāo)不是軸對(duì)稱的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【名師點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．考點(diǎn)二、軸對(duì)稱的性質(zhì)例2（2020哈爾濱）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B'，則∠CAB'的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40°，∵△ADB與△ADB/關(guān)于直線AD對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是B/，∴∠AB/B=∠B=50°，∴∠ACB/=∠AB/B-∠C=10°，故選：A.【名師點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分也是全等圖形，軸對(duì)稱（軸對(duì)稱圖形）對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．考點(diǎn)三、利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案例3（2020吉林）圖①、圖②、圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．，，均為格點(diǎn)．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫(huà)圖：（1）在圖①中，畫(huà)一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且，為格點(diǎn)．（2）在圖②中，畫(huà)一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且，為格點(diǎn)．（3）在圖③中，畫(huà)一個(gè)，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且，，為格點(diǎn)．【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析．【解析】（1）如圖①，MN即為所求；（2）如圖②，PQ即為所求；（3）如圖③，△DEF即為所求．【名師點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四、圖形的剪拼例4（2020武漢一模）小明將一張正方形紙片按如圖所示的順序折疊成紙飛機(jī)，當(dāng)機(jī)翼展開(kāi)在同一平面時(shí)（機(jī)翼間無(wú)縫隙），的度數(shù)是．【答案】【解析】在解本題的過(guò)程中，可以找一張正方形的紙片進(jìn)行如題操作，通過(guò)測(cè)量，來(lái)得到答案，也可以利用圖形的軸對(duì)稱的性質(zhì)，直接得到的度數(shù)是．【名師點(diǎn)睛】關(guān)鍵是要理解折疊的過(guò)程，得到關(guān)鍵信息，能夠通過(guò)折疊理解角之間的對(duì)稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五、軸對(duì)稱與最小值例5（2020荊門）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)為2的線段（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)）在x軸上移動(dòng)，，連接、，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)C（m，0），∵CD=2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=∴要求AC+BD的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)P（n，0），使得點(diǎn)P到M（0，2）和N（-2，4）的距離和最小，如圖1中，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ交x軸P/，連接MP/，此時(shí)P/M+P/N的值最小.∵N（-2，4），Q（0，-2）P/M+P/N的值最小值=P/N+P/Q=NQ=，∴AC+BD的最小值為2，故選：B.【名師點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱軸—最短問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.考點(diǎn)六、線段垂直平分線的性質(zhì)例6（2020棗莊）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接AE，若，，則的周長(zhǎng)為A．8 B．11 C．16 D．17【答案】B【解析】垂直平分，，的周長(zhǎng)，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七、坐標(biāo)與圖形變化--對(duì)稱例7（2020濟(jì)南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上如果將△ABC先沿y軸翻折，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△A'B'C'，那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）A．（1，7） B．（0，5） C．（3，4） D．（-1，2）【答案】C【解析】由坐標(biāo)系可得B（-1，1），將△ABC先沿y軸翻折得到B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（3，1）再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)/的坐標(biāo)為（3，1+3），即（3，4），故選：C.【名師點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化--對(duì)稱和平移，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)八、等腰三角形的性質(zhì)例8（2020齊齊哈爾）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3，4，其這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)是．【答案】10或11．【解析】由題意知，應(yīng)分兩種情況：（1）當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)為3，3，4，，能構(gòu)成三角形；周長(zhǎng)=3+3+4=10，（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)為3，4，4，周長(zhǎng)=3+4+4=11，故答案為：10或11．【名師點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九、等腰三角形的判定例9（2020黃岡模擬）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，BC與AD交于點(diǎn)E，AC＝BD，求證：AE＝BE．【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB=BAAC=BD∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．【名師點(diǎn)睛】本題考查了全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記掌握等腰三角形的判定定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十、等邊三角形的性質(zhì)例10（2020常州）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)E、F．若△AFC是等邊三角形，則∠B=°．【答案】30【解析】∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∴△ACF為等邊三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°，故答案為：30.【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，利用垂直平分線的性質(zhì)求出∠B=∠BCF是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十一、等邊三角形的性質(zhì)與判定例11（2020宜昌）如圖，在一個(gè)池塘兩旁有一條筆直小路（B，C為小路端點(diǎn)）和一棵小樹(shù)（A為小樹(shù)位置）．測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)為：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，則AC=米．【答案】48【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵BC=48米，∴AC=48米.故答案為：48.【名師點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到△ABC是等邊三角形．考點(diǎn)十二、含30度角的直角三角形例12（2020黔西南州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°點(diǎn)D在線段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=3，則BD的長(zhǎng)度為．【答案】2．【解析】∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=AD，∵∠B=30°，∠ADC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵BC=3，∴CD+2CD=3，∴CD=∴DB=2，故答案為：2.【名師點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，速記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.1.（2020宜昌）下面四幅圖是攝影愛(ài)好者搶拍的一組照片．從對(duì)稱美的角度看，拍得最成功的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B.2．將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點(diǎn)A落到點(diǎn)A′，若∠C=120°，∠A=26°，則∠A′DB的度數(shù)是（）A．100° B．104°C．108° D．112°【答案】D【解析】∵∠C=120°，∠A=26°，∴∠B=180°?（∠A+∠C）=34°，又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=34°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ADE=∠A′DE，∴∠A′DE=∠ADE=∠B=34°，∴∠A′DB=180°?∠ADE?∠A′DE=112°．故選D．3.（2020潛江模擬）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，且∠A＝105°，∠C′＝30°，則∠B＝（）A．25° B．45° C．30° D．20°【答案】B【解析】∠C＝∠C'＝30°，則△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．故選：B．4.（2019·廣西北部灣）如圖，在△ABC中AC=BC，∠A=40°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知∠BCG的度數(shù)為（）A.40°B.45°C.50°D.60°【答案】C.【解析】由作法得CG⊥AB，

∵BC=AC，

∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，

∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，

∴∠BCG=∠ACB=50°．

故選C．5．（2020大連）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，1） B．（3，?1）C．（?3，1） D．（?3，?1）【答案】B【解析】點(diǎn)P（3，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，?1）．故選B．6.（2020畢節(jié)）已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)（）A．13B.17C.13或17D.13或10【答案】B【解析】①當(dāng)腰是3，底邊是7時(shí)，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去.②當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)是7時(shí)，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)=3+7+7=17.故選：B.7．（2020聊城）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)E，則∠FEC的度數(shù)是（）A．120°B.130°C.145°D.150°【答案】B【解析】∵AB=AC，∠C=65°，∴∠B=∠C=65°，∵DF∥AB，∴∠CDE=∠B=65°，∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°；故選：B.8.（2020武漢東西湖模擬）如圖，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面內(nèi)一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中有一個(gè)邊長(zhǎng)為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形．故選：C．9．（2020成都一模）如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于O，MN過(guò)點(diǎn)O且與BC平行．△ABC的周長(zhǎng)為20，△AMN的周長(zhǎng)為12，則BC的長(zhǎng)為（）A．10 B．16C．8 D．4【答案】C【解析】由題知BM=OM，CN=ON，∴△AMN的周長(zhǎng)=AB+AC=12，△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=20，∴BC=8．故選C．10．如圖，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則DF的長(zhǎng)為（）A．4.5 B．5C．5.5 D．6【答案】C【解析】∵△ABC是等腰三角形，D為底邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=60°，∠ADB=90°，∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠DAE=∠EAB=30°．∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAF=∠F=30°，∴AD=DF，∵AB=11，∠B=30°，∴AD=5.5，∴DF=5.5．故選C．11.（2020溫州模擬）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)。C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)，若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（）A.60° B.65° C.75° D.80°【答案】D【解析】本題考查等腰三角形及三角形外角的性質(zhì)，因?yàn)镺C=CD=DE，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故選D。12.（2020四川模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC與點(diǎn)E，AE=1.連接DE，將△AED沿直線AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，連接DF.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥DE交BE于點(diǎn)G.則四邊形DFEG的周長(zhǎng)為（）A.8B.C.D.【答案】D【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC∴△ABC是等腰直角三角形∴AD=BD∵BE⊥AC，AD⊥BD∴∠DAC=∠DBH∴△DBH≌△DAC（ASA）∵DG⊥DE，∴∠BDG=∠ADE∴△DBG≌△DAE（ASA）∴BG=AE，DG=DE∴△DGE是等腰直角三角形∴∠DEC=45°在Rt△ABE中，BE=∴GE=∴DE=∵D、F關(guān)于AE對(duì)稱∴∠FEC=∠DEC=45°∴EF=DE=DG=DF=GE=∴四邊形DFEG的周長(zhǎng)為2（+2-）=.故選D．二、填空題13．我國(guó)傳統(tǒng)木質(zhì)結(jié)構(gòu)房屋，窗子常用各種圖案裝飾，如圖是一常見(jiàn)的圖案，這個(gè)圖案有______條對(duì)稱軸．【答案】2【解析】作為一個(gè)非正方形的矩形，其對(duì)稱軸只有兩條，故答案為：2．14.（2020天門模擬）若等腰三角形的一個(gè)底角為72°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為.【答案】36°.【解析】∵等腰三角形的一個(gè)底角為72°，∴這個(gè)等腰三角形的頂角為180°-72°×2=36°. 故答案為36°.15.（2020臺(tái)州）如圖，等邊三角形紙片ABC邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是.【答案】6.【解析】∵等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)，∴EF=2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，∴△DEF是等邊三角形.∴剪下的△DEF的周長(zhǎng)是2×3=6.故答案為：6.16.（2020南京）如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠1=39°，則∠AOC=.【答案】78°.【解析】連接BO,并延長(zhǎng)BO到P,∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，∴AO=OB=OC，∠BDO=∠BEO=90°，∴∠DOE+∠ABC=180°，∴∠DOE+∠1=180°，∴∠ABC=∠1=39°，∵AO=OB=OC，∴∠A=∠ABO，∠OBC=∠C，∵∠AOP=∠A+∠ABO，∠COP=∠C+∠OBC，∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°．三、解答題17.（2020仙桃模擬）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列畫(huà)圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡．（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，畫(huà)出四邊形ABCD的對(duì)稱軸m；（2）如圖②，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，畫(huà)出BC邊的垂直平分線n．【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）如圖①，直線m即為所求（2）如圖②，直線n即為所求18.（2020荊州一模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）（2）若（1）中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）如圖直線MN即為所求．（2）∵M(jìn)N垂直平分線段AB，∴DA＝DB，設(shè)DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．19．如圖，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE垂直平分AC，垂足為E，F(xiàn)是BA的中點(diǎn)．求證：DF是AB的垂直平分線．【答案】證明見(jiàn)解析．【解析】∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∴AD=BD，∴△ABD為等腰三角形，∵F是BA的中點(diǎn)，∴DF⊥AB（三線合一），∴DF是AB的垂直平分線．20．（2020鄂州一模）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．（1）作線段AB的垂直平分線，分別交BC、AB于點(diǎn)M、N（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）連接AM，判斷△AMC的形狀，并給予證明；（3）求證：CM=2BM．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析．（2）△AMC為直角三角形．（3）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）如圖所示即為所求：（2）△AMC為直角三角形，理由如下：∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°．∵M(jìn)N垂直平分AB，∴∠B=∠MAB=30°，∴∠CAM=120°?30°=90°∴△AMC為直角三角形．（3）∵∠CAM=90°，∠C=30°，∴CM=2AM．∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AM=BM，∴CM=2BM．21．圖①和圖②均為正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，c在格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)你分別在圖①，圖②中確定格點(diǎn)D，畫(huà)出一個(gè)以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形，使其成為軸對(duì)稱圖形，并畫(huà)出對(duì)稱軸，對(duì)稱軸用直線m表示；（2）每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)分別求出圖①，圖②中以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的面積．【答案】見(jiàn)解析．【解析】（1）如圖①、圖②所示，四邊形ABCD和四邊形ABDC即為所求．（2）如圖①，四邊形ABCD的面積為：2×4=8；如圖②，四邊形ABDC的面積為：×2×（2+4）=6．22．（2020黃岡模擬）已知：B?O?A是一條公路，河流OP恰好經(jīng)過(guò)橋O平分∠AOB．（1）如果要從P處移動(dòng)到公路上路徑最短，除圖中所示PM外，還可以選擇PN，求作這條路徑，兩條路徑的關(guān)系是，理由是．（2）河流下游處有一點(diǎn)Q，如果要從P點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)公路OA上的點(diǎn)C后再前往點(diǎn)Q，請(qǐng)你畫(huà)出一條最短路徑，表明點(diǎn)C的位置．（3）D點(diǎn)在公路OB上，到橋O點(diǎn)的距離與C點(diǎn)相等，作出△CDP，求證：△CDP為等腰三角形．【答案】（1）對(duì)稱；兩點(diǎn)之間，線段最短．（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析．（3）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）線段PN為所求．（2）P→C→Q路徑最短，點(diǎn)C即為所求．（3）如圖，△CDP即為所求．由題意得：OC=OD，∠AOQ=∠BOQ，OP=OP，∴△COP≌△DOP（SAS），∴CP=DP，∴△CDP為等腰三角形．23.（2020衡陽(yáng)）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F．

（1）求證：DE=DF；

（2）若∠BDE=40°