臨夏志成中學985班統計概率講義統計學與概率論的區別與聯系區別：統計學反應已經發生的事實的結果，概率論研究未來發生的隨機事件的可能性聯系：概率論以統計學的研究為基礎統計學普查收集數據簡單隨機抽樣抽樣調查分層抽樣系統抽樣統莖葉圖整理數據頻率分布直方圖計集中分析樣本分析學分析數據離散分析總體估計線性回歸應用數據獨立性檢驗一、收集數據1.普查：需要耗費大量的人力、物力、財力，一般在總體很少時采用2.抽樣調查：從調查的總體中抽取一部分個體組成一個樣本進行研究其中樣本中含有的個體數稱為該樣本的樣本容量①簡單隨機抽樣適用條件：總體數較少，且沒有明顯的結構差異常用方法：隨機數表法，抽簽法，抓鬮法例：用隨機數表從300個調查對象中抽出10個個體個體進行研究隨機數表如下：則抽取出的10個個體的編號為②分層抽樣適用條件：總體數較多，且有明顯的結構差異本質：樣本中各層次的比例與總體中各層次的比例相同例：志成中學從小學600，初中300，高中100抽取20人進行校長訪談，則分別抽取的人數為③系統抽樣適用條件：總體數很多，無明顯結構差異操作步驟：第一步：編號，將總體中所有的個體從1開始編號，一直到N（N為最后一個人編號）第二步：確定組數，樣本容量n即為組數第三步：確定間隔T(此步較為重要):[即T為N除以n的商的整數部分，不管小數部分多大，只取整數]第四步：分組，從編號1開始，每T個個體構成一組，共n組，多余的人省略第五步：在第一組中抽取：采取隨機抽樣的方法抽取到編號為的個體第六步：抽取樣本：在剩下的n-1組中每組只抽取一個個體，遵循以下原則：編號分別為：例：從320個學生中采用系統抽樣的方法抽取10個學生參加籃球賽，請你寫出一組滿足條件的學生編號：例2：志成中學840人參加野外宿營，其中編號為1-360的360人在I區宿營，依次下來280人在A區，其余人在B區，先采用系統抽樣的方法抽取28位同學作為區安全員，若在第一組中抽到的編號為12，則三區的區安全員人數分別為最后需要特別強調的是，不管采用哪一種抽樣方法，每個個體被抽到的概率始終是相等的。二、整理數據采用抽樣方法收集的數據比較雜亂，需要進行整理，是數據有序，目前比較常用的兩種方法：莖葉圖，頻率分布直方圖1.莖葉圖適用條件：樣本容量較少優勢：①保留了原始數據；②便于比較兩個樣本操作：選擇合適的數作為莖，莖確定后，將對應的數寫到前面或后面作為葉例：（2023年全國卷2）某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從，兩地區分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：A地區：6273819295857464537678869566977888827689B地區：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可）；（Ⅱ）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區用戶的滿意度等級高于B地區用戶的滿意度等級”．假設兩地區用戶的評價結果相互獨立．根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，求C的概率．2.頻率分布直方圖適用條件：樣本容量較大不足：丟失了原有數據，只能保留數據的大致范圍操作步驟：第一步：求極差：收集得到的數據中的最大值-最小值=極差L第二步：確定組距d，根據收集的數據選擇合適的數據，以各組中含有的個體數差異不要過大為原則第三步：確定組數n:[與系統抽樣不同的是，系統抽樣只取商的整數，而在頻率分布直方圖這兒，不管商的小數部分有多小，我們都要給整數部分+1，為什么呢？例：極差L：20.4，組距d:5則組數n=5（）]第四步：列頻率分布表（如下）分組頻數累計頻數頻率合計樣本容量1說明①所謂頻數累計,在整理數據時，對于某個數據，該數據屬于哪一組，則改組的頻數增加1②頻數/樣本容量；頻數=樣本容量*頻率樣本容量=頻數/頻率③頻數之和為樣本容量，頻率之和為1第五步：根據頻率分布表做出頻率分布直方圖頻率／組距分組說明：①標準的頻率分布直方圖縱坐標應該為頻率／組距，但需注意高考題目中給出的直方圖中縱坐標可能為頻率或者頻數，一定注意觀察縱坐標表示。②對于標準的頻率分布直方圖，每一段直方的面積表示該組的頻率③頻率之和為１④注意頻率分布表與頻率分布直方圖的區別于聯系（2023年廣東卷）隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數（單位：件），獲得數據如下：根據上述數據得到樣本的頻率分布表如下：（1）確定樣本頻率分布表中和的值；（2）根據上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）根據樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數落在區間（30,50］的概率。例２：某班同學利用國慶節進行社會實踐，對歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：（Ⅰ）補全頻率分布直方圖并求、、的值；（Ⅱ）從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶外低碳體驗活動，其中選取人作為領隊，記選取的名領隊中年齡在歲的人數為，求的分布列和期望。例３（2023年全國2）經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤．(1)將T表示為X的函數；(2)根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的數學期望例４：（2023年全國卷1）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.（I）求的分布列；（=2\*ROMANII）若要求，確定的最小值；（=3\*ROMANIII）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在與之中選其一，應選用哪個？三、分析數據對數據進行整理后，我們對樣本的數據進行分析，并用對樣本數據的分析估計總體的趨勢１．集中分析集中分析反映樣本數據的集中程度，主要有以下指標①眾數：樣本數據中最多的數=1\*ROMANI、對于莖葉圖或者保留了原始數據的樣本，眾數即為最多的數=2\*ROMANII、對于頻率分布直方圖，眾數為頻率最大（直方最高）組的組中點值②中位數：樣本數據最中間的數=1\*ROMANI、對于莖葉圖或者保留了原始數據的樣本，首先將數據按照從小到大或者從大到小的順序進行排列，當數據共有奇數個時，最中間的那個數為該組數據的中位數；當數據共有偶數個時，最中間兩個數之和的一半為該組數據的中位數=2\*ROMANII、對于頻率分布直方圖，中位數為使得該數兩邊的頻率分別為的EQ\F(頻率EQ\F(頻率,組距)0.0050.0100.0200.0300.0350.0150.025臨夏志成中學高中生的體重頻率分步直方圖如左圖所示，則該校學生體重的中位數為405060708090體重(kg)分析：中位數是中間的數，在頻率分布直方圖中，中位數兩端的頻率相等，均為，第一組的頻率為第二組的頻率為前兩組頻率和為第三組的頻率為前三組頻率和為也就是說，中位數應該在第三組之中，且頻率應該為即第三組中所占的面積為，令底長為,則，即所以中位數為③平均數=1\*ROMANI、對于莖葉圖或者保留了原始數據的樣本，平均數為算數平均數，即=2\*ROMANII、對于頻率分布直方圖，平均數為加權平均數，為各組數的組中點值與該組的頻率（即直方的面積）乘積之和，即例：以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）已知甲組數據的中位數為，乙組數據的平均數為，則的值分別為２．離散分析：分析數據的離散程度或者波動程度，主要指標有：①極差：極差即樣本的最大值與最小值之差②方差：方差是反映離散程度最佳指標，方差大，離散程度相對大一些，或者說數據相對不太穩定，波動性較大=1\*ROMANI、對于莖葉圖或者保留了原始數據的樣本，方差為：變式：例：（2023年全國卷1）現有個數，其平均數是，且這個數的平方和是，那么這個數組的方差是（）A．B．４C．９D．１６=2\*ROMANII、對于頻率分布直方圖，方差的計算方式較為復雜，但和Ｉ幾乎一樣，先按照前面講的公式計算平均數，在按照下列公式計算方差：（為各組的組中間值）為各組對應的頻率③標準差：不管哪一種情況，標準差為方差的算術平方根：標準差例（2023年全國1卷）從某企業的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：求這500件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差（同一組數據用該區間的中點值作代表）；同時還需要強調的是，希望各位同學會對莖葉圖做出相應的分析，具體的可以詳見課本必修３第７０頁，一般從離散和集中兩個角度進行。例：甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統計圖如圖所示，則（）甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數甲的成績的方差小于乙的成績的方差甲的成績的極差小于乙的成績的極差四、運用數據：１.線性回歸（注意非線性回歸的線性轉換）①線性回歸分析兩個變量間的線性關系：一個為自變量，另一個為因變量②線性關系的衡量：（散點圖從圖像角度，相關系數從代數角度分別進行衡量）1）散點圖：以自變量的值為橫坐標，對應的因變量的值為縱坐標，在平面直角坐標系標出所有對應的點形成的圖像I.當所有點分布在從左下到右上的區域時，因變量與自變量正相關即：因變量隨著自變量的增大圖像趨勢上增大=2\*ROMANII.當所有點分布在從左上到右下的區域時，因變量與自變量負相關即：因變量隨著自變量的增大圖像趨勢上減小例：對變量x,y有觀測數據理力爭（，）（i=1,2,…，10），得散點圖1；對變量u，v有觀測數據（，）（i=1,2,…，10）,得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷（）（A）變量x與y正相關，u與v正相關（B）變量x與y正相關，u與v負相關（C）變量x與y負相關，u與v正相關（D）變量x與y負相關，u與v負相關例2：變量X與Y相對應的一組數據為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);變量U與V相對應的一組數據為(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示變量Y與X之間的線性相關系數,表示變量V與U之間的線性相關系數,則()A.B.C.D.2）相關系數相關系數從代數角度衡量因變量與自變量的相關關系，做如下說明：a.相關系數b.,完全正相關，即：因變量隨著自變量的增大一定增大，正相關，即：因變量隨著自變量的增大趨勢上增大越大，正相關性越強c.,完全負相關，即：因變量隨著自變量的增大一定減小，負相關，即：因變量隨著自變量的增大趨勢上減小越小，負相關性越強d.，自變量與因變量無線性相關性注意：“越大，相關性越強”這種說法是錯誤的。為什么呢？例：已知收集到的數據在散點圖中所有的點都在直線上，則兩個變量的相關系數③線性回歸直線a.線性回歸直線較為準確的給出了因變量與自變量的線性代數關系b.回歸直線使得散點圖中的點比較均勻地分布在回歸直線兩側，但不意味著直線兩端的點個數一定相同c.線性回歸直線的參數的估計值的計算采用最小二乘法，所謂最小二乘法是使得實際值與估計值的差的平方和最小的一種方法，在該種方法下，求得的參數使得回歸直線是最佳的一條d.,e.線性回歸直線一定經過樣本中心點f.回歸直線的斜率與相關系數r符號相同，但是與r數值沒有關系，同時表示自變量每變化一個單位，因變量變化個單位g.通過回歸直線計算出的因變量值是一個預報值，在實際值的上下例：已知變量與正相關，且由觀測數據算得樣本的平均數，，則由觀測的數據得線性回歸方程可能為（）例2：根據如下樣本數據x345678y4.02.50.5得到的回歸方程為，則（）A.B.C.D.例3：設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是()A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg④回歸直線的擬合精度衡量：所謂擬合精度就是估計值與實際值的接近程度，擬合精度越高，通過回歸直線所得的估計值與實際值越接近需要說明的是，對于一組數據，我們通過最小二乘法得到的回歸直線已經是擬合度最高的一條直線，因此擬合精度高低比較一般在不同的兩組或多組數據間進行擬合精度的衡量方法主要有兩種：殘差圖從圖像角度進行衡量，相關指數從代數角度進行衡量1）殘差圖第一步：計算殘差（）第二步：做平面直角坐標系：對樣本個體進行編號，做平面直角坐標系，橫坐標為編號，縱坐標為殘差第三步：標出各個個體的殘差（殘差可能為正也可能為負）（具體步驟可以查看選修2-3第84頁）當殘差圖殘差點分布的水平帶狀區域寬度越窄，擬合精度越高2）相關指數當相關指數越大（越接近1但小于1），擬合精度越高注意：相關系數衡量的是兩個變量之間線性相關性強弱相關指數衡量的回歸直線估計值與實際值的擬合程度例：（2023年新課標2）某地區2007年至2023年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表：年份2007202320232023202320232023年份代號t1234567人均純收入y5.9（Ⅰ）求y關于t的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2023年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2023年農村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，例2：（2023年全國卷3）下圖是我國2023年至2023年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖（=1\*ROMANI）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明（=2\*ROMANII）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測2023年我國生活垃圾無害化處理量。，，，對于非線性相關，通過替換轉換成為線性相關問題，記得最后將替換的還原例：（2023年全國卷1）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，···，8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.年銷售量年銷售量/t年宣傳費年宣傳費(千元)46.656.36.8289.81.61469108.8表中，，＝(Ⅰ)根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(Ⅱ)根據(Ⅰ)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；(Ⅲ)以知這種產品的年利率z與x、y的關系為z＝0.2y－x.根據(Ⅱ)的結果回答下列問題：（1）年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（2）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？附：對于一組數據(u1v1)，(u2v2)……..(unvn)，其回歸線v＝u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：2、獨立性檢驗①收集數據，填寫二聯表②假設無關，計算統計量對此做出如下說明：(以例子展開)a.假設事件A與事件B無關，根據概率論中的獨立事件即③將計算的統計量與標準的無關數值概率分布表比較，得出結論例：通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由算得，．0.0500.0100.0013.8416.63510.828附表：參照附表，得到的正確結論是A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”例2：為調查某地區老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了500位老年人，結果如下：（Ⅰ)估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？（Ⅲ）根據（Ⅱ）的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由.[來源:Z*xx*k.Com]概率論1.相關概念：隨機事件：可能發生也可能不能不發生的事件①事件必然事件：一定發生確定事件不可能事件：一定不發生②因為隨機事件有多種可能，我們需用相關的實驗用發現所有的可能，我們把每一種可能稱為一個基本事件③隨機事件可能包含實驗發現的多個基本事件④概率：1.衡量隨機事件發生的可能性的大小2.對于一個確定的隨機事件，概率是其本質屬性，不會隨外界條件的改變而改變3.為了測量概率，我們用大量實驗群的頻率來發現概率，實驗群的頻率總是圍繞著概率上下波動⑤1.幾何概型：常見的有長度、面積(特別愛和微積分結合考察)、體積三種形式例1：設y=f(x)為區間[0,1]上的連續函數，且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機模擬方法近似計算積分,先產生兩組（每組N個）區間[0,1]上的均勻隨機數,…,和,…,,由此得到N個點（，）（i=1,2,…,N）,在數出其中滿足≤（（i=1,2,…,N））的點數，那么由隨機模擬方法可得積分的近似值為.例2：設不等式組表示的平面區域為，在區域內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（）A.B.C.D.2.古典概型：1.每一個基本事件等可能出現，(N為對應實驗發現的所有基本事件數，為隨機事件A包含的基本事件數)2.為了計算古典概型，現代數學一般用排列組合知識計算、N3.對于排列組合知識，需要著重掌握：=1\*romani、元素不同，元素與位置相等的全排列注意特殊元素、特殊位置、捆綁法、插空法、排除法等方法=2\*romanii、元素不同，元素與位置不相等的全排列問題=3\*romaniii、元素相同，元素與位置不相等的全排列問題（隔板法）同時希望大家對錯序排列有點印象例（2023年浙江卷）：有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復。若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上下午都各測試一人，則不同的安排方式共有種（用數字作答）。4.跟排列組合相對應，二項式定理是一個高考必考考點1）二項展開式注意：標準的二項展開式是按照括號里后一項進行升冪展開的因而有第k+1項：2）基本概念項：展開式中的（）稱為展開式的項二項式系數：稱為第k+1項的二項式系數二項式系數之和：對于，其二項式系數之和為（在二項展開式中令即可證明，賦值法也是我們后面求系數之和的主要方法）偶數項二項式系數之和=偶數項二項式系數之和=（在二項展開式中先令，再令，兩式相加減即可）系數：對于含有變量x的二項展開式我們把每一項的常數部分稱為該項的系數例如：的第四項為二項式系數系數項系數之和：令即可求得系數之和偶數項系數之和和奇數項系數之和：令和得到兩個式子，加減兩式即可得到奇數項和偶數項系數之和。二項式系數最大值：當n為奇數時，總共有偶數項，中間兩項（第項）的二項式系數最大當n為偶數時，共有奇數項，中間項（第項）的二項式系數最大系數最大值：需要將第k-1，k,k+1項的系數表示出來，求解不等式例：（2023年天津卷）在的展開式中，的系數為例2：（2023年湖北卷）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（）A．B．C．D．例3（2023年新課標卷）的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為（）（A）-40（B）-20（C）20（D）40②（2023年重慶卷）的展開式中的系數相等，則n=（A）6（B）7（C）8（D）9③，則=1、（2023年安徽卷）6位同學在畢業聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品，已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到份紀念品的同學人數為（）或或或或2.高三368班5個人排成一排，馬秀蘭、羅文英不能相鄰，且馬秀蘭必須與馬啟林相鄰，則共有種排法（用數字表示）3.設集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個數為（）A．60B90C.120D.1304.(2023年福建卷)用代表紅球，代表藍球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“”表示取出一個紅球，面“”用表示把紅球和籃球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區別的紅球、5個有區別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是B.C.D.⑥條件概率：在事件A確定發生的條件下事件B發生的概率條件概率看似很難，其實比較簡單，現有兩種計算方法1.在A發生的基礎上直接計算事件B的概率2.利用(AB代表事件A、B同時發生)例1：從3本物理書，2本數學書，4本語文書抽出三本，求在先抽出一本物理書的同時再抽出一本數學書的概率為例2：某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45例2：（2023年全國2）某險種的基本保費為a（單位：元），繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人的本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如下：上年度出險次數012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下：一年內出險次數012345概率0.3000.100.05（=1\*ROMANI）求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率；（=2\*ROMANII）若一續保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；（=3\*ROMANIII）求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值.⑦隨機變量與分布列、數學期望隨機變量：找出一個隨機事件所對應的實驗所有的可能，用數值表示這些可能（隨機事件可能包含了一個或幾個隨機變量的取值）分布列：列出隨機變量的所有可能取值與對應概率的表格所有概率取值一定為1數學期望：是隨機變量的所有取值的加權平均值（）數學期望是對隨機變量的一種預測平均值，不同于統計學的平均數，統計學中的平均數是一系列確定的、已經發生的數據的平均值例：某游戲的得分為，隨機變量表示小白玩該游戲的得分.若，則小白得分的概率至少為.若變量X、Y存在線性關系，即，則常見的隨機變量分布：二項分布：1.在一系列發生的獨立重復試驗中，每一次試驗中事件A發生的概率相同，以n次試驗中事件A發生的次數作為隨機變量2.記作隨機變量(可以看作隨機變量的分布列，不需要額外再寫分布列的表格形式)3.，例1：（2023年廣東卷）已知隨機變量服從二項分布，若，，則．②（2023年全國新課標卷）某種種子每粒發芽的概率都為0.9，現播種了1000粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為X，則X的數學期望為（）（A）100（B）200（C）300（D）400例2：投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（） (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312例3：①（2023年天津卷）現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的分布列與期望；（Ⅲ）用，分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.②（2023年四川卷）某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統（簡稱系統）和，系統和在任意時刻發生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）設系統在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變量，求的概率分布列及數學期望。③根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設各車主購買保險相互獨立.(Ⅰ)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(Ⅱ)表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數，求的期望.跟二項分布的變式題型考察的比較多：例1：一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分（即獲得分）。設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立。（1）設每盤游戲獲得的分數為，求的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了。請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因。例2：乒乓球比賽規則規定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續發球2次后，對方再連續發球2次，依次輪換。每次發球，勝方得1分，負方得0分。設在甲、乙的比賽中，每次發球，發球方得1分的概率為0.6，各次發球的勝負結果相互獨立。甲、乙的一局比賽中，甲先發球。（Ⅰ）求開始第4次發球時，甲、乙的比分為1比2的概率；（Ⅱ）表示開始第4次發球時乙的得分，求的期望。例3：（2023年湖南）某企業有甲、乙兩個研發小組，他們研發新產品成功的概率分別為．現安排甲組研發新產品，乙組研發新產品．設甲、乙兩組的研發相互獨立．（1）求至少有一種新產品研發成功的概率；（2）若新產品研發成功，預計企業可獲利潤120萬元；若新產品研發成功，預計企業可獲利潤100萬元．求該企業可獲利潤的分布列和數學期望幾何分布：1.在一些列發生的獨立重復實驗中，每次實驗中事件A發生的概率相同，以事件A第一次發生需要的實驗數作為隨機變量2.因為幾何分布的隨機變量取值可以無窮大，因此嚴格意義上的幾何分布很少考察到，一般規定在達到一定實驗次數后結束，因此需要格外注意最后停止時概率的計算例1：馬福良進入靶場進行射擊訓練，已知他擊中靶的概率為0.6，擊中靶游戲立即結束，最多只有五發子彈，求馬福良需要擊發子彈數的分布列與期望例2：(2023年安徽卷)甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽，假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立.求甲在4局以內（含4局）贏得比賽的概率；記為比賽決出勝負時的總局數，求的分布列和均值（數學期望）例3：甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.1.求甲獲勝的概率；2.求投籃結束時甲的投籃次數的分布列與期望.注意一種和幾何分布相似，但每一次實驗（每一步）發生的概率不相同的題目例4：某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為X，求X的分布列和數學期望.超幾何分布：從分別含有個元素的n內事物中共選出N個元素，以其中某類事物中選出的元素個數作為隨機變量一般來說是從兩類事物中選擇例（2023年廣東卷）袋中共有個除了顏色外完全相同的球，其中有個白球，個紅球．從袋中任取個球，所取的個球中恰有個白球，個紅球的概率為（）A．B．C．D．（2023年江蘇卷）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________.例2（2023年重慶卷）端午節吃粽子是我國的傳統習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個．（Ⅰ）求三種粽子各取到1個的概率；（Ⅱ）設X表示取到的豆沙粽個數，求X的分布列與數學期望．例3：（2023年廣東卷）某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區間是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],(1)求圖中x的值;(2)從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，2人中成績在90分以上（含90分）的人數記為，求的數學期望．正態分布：目前我們最常見的連續型隨機變量分布記作：1.密度函數：2.密度函數位于x軸上方，分布在某一區間隨機變量的概率即積分所得的面積3.圖形關于x=u對稱4.圖形最高點在x=u處取得，為，標準差越大，最高點越低，分布越廣（矮胖）標準差越小，最高點越高，分布越集中（高瘦）5.法則：對于隨機變量例1：已知隨機變量服從正態分布，且，則（）(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.6例2.設，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（）A．B．C．對任意正數，D．對任意正數，例3：（2023年安徽卷）設兩個正態分布和的密度函數圖像如圖所示。則有（）A．B．C．D．例4.①（2023年山東卷）已知某批