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(完整版)向量中的經典“奔馳定理”證明及應用與推廣向量中的經典“奔馳定理”證明及應用與推廣一、奔馳定理及證明圖11,P為ABC內一點，則PAS PBS PCS 0奔馳定理BPC APC APBPB'PC'0為B'C'重心xPAPAyPBPBzPCPC'xPAyPBzPC0 （1)1 1|PB'||PC'

S xSS |PB||PC|sinBPC sinB'PC' PB'C' PB'C'PBC 2 2 y z yz xyz

PA'C'，

zS

PA'B'PAC

xyz

PAB

xyz又SPB'C'

SPA'C'

SPA'B'x:y:z

:PBC

:PAC

PBC式可化為PAS PBS PCS 0 奔馳定理得證BPC APC APB最簡單的一個就是面積法.用三角形面積公式帶入,約去三條線段長度之積，得到三個單位1(完整版)向量中的經典“奔馳定理”證明及應用與推廣向量的關系,將它們放入單位圓中.圖22，已知在圓上APBPCP所對的角分別為，，則APsinBPsinCPsin0 真·這時的圖形就真的很想奔馳車標了，所以我稱它【真·奔馳定理】。奔馳車標接下來，我們要證明的就是這個了。就可以輕松證明了。于是整個定理就得到了證明。二、奔馳定理在向量中應用2(完整版)向量中的經典“奔馳定理”證明及應用與推廣例1、若ABC內接于以O為圓心，以1為半徑的圓，且4OB0，則該ABC的面積為 。答案：56答案解析：由奔馳定理得:設S 4x，S 5xOBC OAC OAB例2【2016年清華領軍若O為內一點，滿足S :S :S 4:3:設AOABAC則+=AOB BOC COA答案：23例3、為內部一點，且滿足｜PB|=2，|PA|=2,APB，且2AP3PB4PC0，則ABC 的6面積為（ ）、 、 9 4 A B 1 、 、 8 3 5答案:98三、奔馳定理推廣推廣1、如果P不在三角形內呢？3(完整版)向量中的經典“奔馳定理”證明及應用與推廣既然有向量，那么我們可以給面積也定義方向,當然有向面積為正，外部為負。因為我沒有想出合適的符號，所以用了向量的符號。在三角函數定義時,三角函數線是有向線段,x圖3如圖3，已知P為平面內一點，則PAS PBS PCS 0 EX·奔馳定理BPC APC APB這個是對奔馳定理的推廣，我稱它為【EX·奔馳定理】那么最后我們對它做進一步推廣,大家可以來思考一下。推廣2、【EX

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