第二 常用統計分一、常見分統計量的分布稱為抽樣分布

2分布XXX1X2,XnXX

N(0,1的樣本

2＝X2

2

212nn12n

分布,

2

2(n).自由度X2X

2

2中右端包含獨XX nXX n2n)分布的概率密度為 f(y)

y22(n)

e2

y(

x1e0

其他2n)分布的概率密度曲線如圖2分布的性質性質

2分布的可加性11

~2(n

2(n),并且 1,~221獨212立,則2 1,~221獨212

~2

n21i(此性質可以推廣到多個隨量的情形.1iiim

ni

(i

m相互i獨立則i

i

~,(

m性質

2分布的數學期望和方差2

2(n),

E2)n,

D(2)

2n.證明Xi

~N(0,

所以EX2

D(Xi

iiD(X2)ii

E(X4)[E(X2)]2

312,

2,, n故E(2)E X2 nn

E(X i)iii ii)iinD(2) X2nn

D(

2)

ii ii性質

Xi

N(,2

n), ( i 例 設

服從N

(X1

X2

X6)為來自36體X的簡單隨機樣本36Y(X1

X2

X

(X4

X5

X試決定常數C使得

分布解根據正態分布的性質X1X4

X2X3X5X6

NN則X1X4

X2X333X5X63

~N~N故1X故1

X233

X23

~4 4

X533

X26

~2因為X1,X2X6相互獨立及2

分布的可加性X X

X23 33

636 361[(X

X2

X

(X4

X5

X)2

~2(2),3所以C133

CY

2分布對于標準正態隨量,我引入上分位點的定義X~N(0,1

若

滿足條件P{

uα}

0

1則稱點

為標準正態分布的α分位點下面列出了幾個常用uα 2.5762.3261.9601.645

x)的圖形的對稱性可知u1

u例 設X服從標準正態分布N(0,1),N(0,1)的上α分位點

P

uα}

1

x

dx

的值,可通過查表完u0.05

附表2-附附表2-附表2-2分布的分位點對于給定的正數

0

P{

2(n)} (2

f(y)dy的點2(n

2(n)分布的上

對于不同的,得上

分位點的值例 設

~

2(n的上

P{Z

2(n)} (2

2(y;

附表4-求2(n附表4-

可通過查表完成2

(8)

2附表附表4-

(10)

2

附附表4-附表4只詳列到n=45為止資(R.A.Fisher)證明資n充分大時

χ2(n)

1(u

2n1)2α其中α

是標準正態分布的

分位點利用上面公式n

45時上

分位點的近似值例如χ

(50)

1(u

)2

0.05

2

(50)

67.505t分布設

,,

2(~

Yn則稱隨量t

/學生氏資/學生氏資t分布又稱學生氏(Student)分布t(n)分布的概率密度函數n1

h(t)

212

2 t t

n nt分布的概率密度曲線如圖顯然圖形是關于t0對稱的當n充分大時,其圖形 因為limh(t)

e2

足夠大時

分布近似

N

分布但對于較小的 t分布與N(0,1)分布相差很大t分布的分位點

的點

布的上

得上分位點的值 當n

45時,tα(nuα例 設

~(n)的上

分位點滿P{T

附表3-求t(n附表3-

可通過查表完成附表3-t0.05附表3-

t0.025(15)

例5：設總體X

N0,2

X1,X2X3X4

X則下式中服從t(2)分布的統計量是 1 X1X23（A） X23

X2 X232XX23 F分布設

12(~1

2(~),

VUnV則稱2隨量F2

/服從自由度/

2),(

Fn布記

,.F(n1,n2分布的概率密度(y)

2

n1n2

yn

yn1

2 12

y 2

2

其他F分布的概率密度曲線如圖根據定義可知若F

F(n1

n2則1F

F(n2

F分布的分位點對于給定的,0

P{FF(n1,n2)} (y)dyF(n1n2F(n1n2分布的上

例

F(n1

n2)分布的上分位P{F

(n1,n2)} (y)dyF(n1

F(n1,n2n2的值,可通過查表完成F0.025(7,8)F0.05(30,14)

附表5-附表附表5-附表5-F分布的上

分位點具有如下性質

(n1

n2)

F(n2

n1證 因為

~F(n1

n2所以1

P1

1

P1 FF) )

(n1,

F) F)

(n1, 1

P1

P1

FF

))

(n1, FF

)(n1, )因為1~F(nn

P1F(nn)F F

F(n2

即

n2)

(12,9)

(9,

0.357例7設X1X2X3X4X5為取自正態總體N0的樣本，則服從F2

分布的統計量是

3

2

2

（B）2

23

2 X

2X3 X

X5三大抽樣分NN0,12...N0,12~2nNN2n/2m/~Fm,n2n/F其 代表分布F

對應的隨量正態總體的樣本均值與樣本方差的分定理一

X1

X2,,Xn

是來自正態總體Nμ,σ2的樣本,

是樣本均值

~N(

σ2/n),nXnσ

~N0,1證因為隨量X1,X2 ,Xn相互獨立且與總體

N,2n1 n所以

i1

i1nn 2

X正態分布

,

即 ~

0,1 例8

~N,2 ~N,2 X,X,..., ， 是的樣本，Y1,Y2,...,Yn是

n相互獨立n

m

mm

Xi

1 nj1

，求D

Yjσ σj解：

~N(μ1,m

~N(μ2,2),n有D

Y)

D(X)

σσ σ 正態總

N(

2的樣本均值和樣本方有以下兩個重要定理定理X1

X2,,Xn

是總體Nμ,σ2的樣本XS2分別是樣本均值則有

(n1)Sσ

~χ

(n

XS

獨立例9設X1，…，X10是取自N(2,16)的樣本5S 2

a}

0.95,求9S

10119i2

(XiX25S

9S ~

a}

a}

9s2

9a}

9a

2

(9)

a

定理

X1

X2,,Xn

是總體N(

2樣本

X,S

分別是樣本均值,則有TX

X

~t(nn(n1)S nnn

~N

~

(n且兩者獨立,由tXnXn(n1)Sσ2(n

t(n定理

X1

X2,

與Y1Y2,

分別是n1具有相同方差的兩Nn1

,σ2

N(

,σ212的樣本且這兩個樣本互相X12

XiiY

i

分別是這兩個樣本11

1

(XiXi

,S2 n2n

(YiYi2分別是這兩個樣本,則有2(1)F

SS//~ FSS//~

1,

當

2時12T(12

Y)

(1

2

~

2),

1)S

1)SSwn1Swn11n2

Sw Swn1n2Sw證明(1)(n1)S (n1)S ~2~ ~2~S1S

222

由假

S2

2獨立

則由

分布的定義12(n1)S12 F ~(1,F ~(1,(n1)S (n S2/S即/~ F(n11,即/~

X

~N

2, n 2所以U

~N(XY)(12(XY)(12112 12

~

2 ~

且它們相互獨立

分布的可加性(n1)S

(n1)S 22V 1 22

2 2~

由于U與

相互獨立,按

分布的定義V/(nV/(n1n2(XY)(XY)(12Swn11n2

例10(1)設V1,V2V6,是來自正態總體N(2,3)6本.求b,使P{(Vi b}2

i

X,Y的方差分別為

設兩正態總 在總體X,Y中分別取出樣本容量為n1=61,n2=31

S2S2率P{S2/S2

例10(1)設V1,V2V6,是來自正態總體N(2,3)6本.求b,使P{(Vi b}23Vi3

i~N(0,1),i V2 3故( 3i

~ V2 0.95

P{i

b}

( 3i 31

P{

2(6)

例10(1)設V1,V2V6,是來自正態總體N(2,3)6本.求b,使P{(Vi b}2i62

V2 0.95

P{i

b}

( 3i 31P{2(6)b即需P{

2

b}3

查表知

P{2

12.592}

故b3

12.592b

例10(2)設兩正態總體X,Y的方差分別為2 ，在總體X,Y中分別取出樣本容量為n1=61,n2=31

S2S2 概 P{S2/S2 S2/S

解：P{S

/S

P{ 2 1

/

212/2S2/SP{

122/12查表知，F0.05(60,301S2故有P{S21S2

重要結論及關系圖設總體X,Y為正態分布 m與Y1,...,Yn分別為其樣本σX的標準化XσX的標準化Xn~N(n1)Sσ2~χ(nt t

1)S2

Sw2 XY的標準化服從N(0,1)tSw2 XY的標準化服從N(0,1)t分布定2σ2/σS2/S 1~t(n1n211(XY)(μ1μ21~F(n11,n2Xμ~t(n1)

2

Sw 三、小三個來自正態分布的抽樣分布2分布

t分布

F分布辛設隨

Xn

相互獨立，服從一分布，且具有數學

1

則對于任意正數

有n

P Xknk

附表2- 標準正態分布z0123456789 0附表2- 標準正態分布z0123456789附表4-

分布

附表4-分布n1234567 89附表4-

分布

31

附表3-

t分布

附表3-t分布n1234567891 附表5- F分布n n2

1123456789附表5- F分布1234567891234567892222

2資RonaldAylmerBor