§8.7保角變換和曲線坐標學習思路：

彈性力學問題的求解有賴于邊界條件的簡化。對于復雜的邊界形狀，如果利用空間的變換，將是簡化問題求解的最好途徑。保角變換就是充分發揮復變函數的特長，將孔口問題映射到平面的單位圓。

這一節將介紹保角變換和曲線坐標的概念。由于應用保角變換，矢量－位移，張量－應力公式以及K-M函數等均必須做出曲線坐標描述。保角變換使得問題的公式復雜，但是邊界條件的簡化，以及柯西積分的應用將簡化問題的分析。

在本節學習之前，請你先學習附錄2，（有關保角變換的知識）學習要點：

1.保角變換和曲線坐標；

2.矢量的保角變換；

3.位移分量的曲線坐標表達式；

4.應力分量的曲線坐標表達式。為了便于根據邊界條件確定K-M函數，采取保角變換z=()

將物體在z平面上所占的區域變為在平面所占的區域。一般的說，通過保角變換可以將非圓邊界映射為圓邊界，使得問題得以簡化。

假設將z平面上的有限區域或者無限區域S映射為平面的單位圓內的區域，并且將z平面上的區域S的邊界l映射為單位圓，對應的關系如下表：平面z平面=0（無窮遠點）z=0（原點）=const（圓）=const（曲線）=const（半射線）=const（曲線）域域Sddz

由于平面上的任一點可以表示為，。和是點的極坐標。

而根據保角變換公式z=()，則z平面任意一點也可以通過和表示。因此，和又稱為曲線坐標。對于某些問題的描述中，采用曲線坐標形式表示位移和應力有利于問題的分析。曲線坐標的概念：平面的一個圓周=const和一條徑向直線=const分別對應于z平面的兩條曲線，這兩條曲線就記作=const和=const。

于是和可以看作z平面上一點的曲線坐標。由于變換的保角性，這個曲線坐標總是正交的，而且坐標軸和的相對位置和坐標軸Ox和Oy的相對位置相同，如圖所示。首先討論矢量的保角變換。設曲線坐標，即=const與x軸夾角，如果A為z平面上的任一矢量，設A與曲線坐標夾角。設Ax,Ay分別表示矢量A在x，y軸的投影；A,A表示在=const和=const上的投影，則上式的幾何意義為，將矢量A繞z點順時針方向轉動角后，其在Oxy坐標系的位置，相當于A在曲線坐標系（，）中的位置，如圖所示。

如果用u,u分別表示曲線坐標下的位移矢量分量，則

根據保角變換，有所以

沿曲線（）取微分線段dz，則在平面對應的有d，由于

所以，取其共軛可得

。

將上式回代到公式，可得下面通過保角變換對彈性力學的公式作對應的轉換。首先，設K-M函數和(z)分別使用和1(z)代替，同時令

根據位移表達式，有

在z平面上，將位移矢量向曲線坐標和投影。由公式可得

上式兩邊同時乘以2G，可得

上式是平面上的曲線坐標系表達的位移表達式。下面建立曲線坐標中應力分量的復變函數表達式。如果用,,表示物體在曲線坐標中的應力分量。則

因為和,而由公式

所以

上式為經過保角變換后，z平面上的曲線坐標系中的應力分量的復變函數表達式。§8.8無限大薄板的孔口問題學習思路：

本節的主要任務是將保角變換用于無限大薄板的孔口問題，確定K-M函數的基本求解公式。推導中首先確定無限大板孔口問題的保角變換公式，將K-M函數轉換為曲線坐標形式。采用的方法仍然是將K-M函數分解為以級數表達的解析函數和對數表達的多值函數兩部份。

對于K-M函數的級數形式，通過孔口面力邊界條件可以確定級數函數的求解方程。這個求解過程，利用保角變換后孔口邊界的特殊性質，使用柯西積分使得計算簡化。學習要點：

1.保角變換公式與K-M函數；

2.利用孔口邊界條件確定K-M函數求解公式；

3.柯西積分確定K-M函數的級數形式。保角變換的目標是：將z平面上的孔口邊界l映射為平面上的單位圓，將l以外的無限區域S映射為平面上的單位圓內的有限區域，將z平面上的無窮遠點映射為平面的坐標原點，如圖所示。

保角變換公式：

是將l以外的無限區域映射為單位圓內（||＜1）的普遍變換式，公式中R為實數，Ck為復數，而且<1。

保角變換公式確定以后，可以確定K-M函數和()，即將K-M函數和1(z)變換到曲線坐標中去。其中

因為

由于<1，將上式展開，有

所以，

lnz=ln+單位圓內部的解析函數。

另外

。

根據上述分析，的各項都轉變為單位圓內的單值解析函數。因此其中，

。討論邊界條件確定K-M函數和0()。根據面力邊界條件，經過保角變換后，可得

在單位圓的圓周上，。所以上述面力邊界條件可以表示為

根據公式，則在邊界即單位圓周上

將上述K-M函數的邊界值回代面力邊界條件，并且將已知函數與需要確定的未知函數分開，可得其中已知函數為因為和0()是單位圓內的泰勒級數，它們是從z平面上lR之外無窮區域的羅倫級數轉化而來的。因此對于公式冪級數求解時，由于方程兩邊都含有k=eik的各個項（k由－∞到∞），比較各個同類項的系數，即可求得ak，bk的值。不過這樣作太麻煩了，由于和0()在單位圓內是解析的，而且在圓內和圓周上是連續的，因此可以直接采用柯西積分計算。

將邊界條件的第一式兩邊乘以