人教版A版高中數學選修2-2全套PPT課件●課程目標(1)理解函數在某點的平均變化率的概念，掌握函數平均變化率的求法．(2)理解運動物體的速度在某時刻的瞬時變化率(瞬時速度)，知道函數在某點x0處的瞬時變化率就是導數，理解導數的概念和定義，會求函數在某點處的瞬時變化率(導數)．(3)理解導數的幾何意義，并會求出曲線在某點處的切線方程．(4)了解常數函數和冪函數的求導方法和規律，會求任意冪函數y＝xα(α∈Q)的導數，掌握基本初等函數的導數公式，并能利用這些公式求基本初等函數的導數．(6)能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數的導數．(7)了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性；會求不超過三次的多項式函數的單調區間．(8)結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會利用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值，以及在給定區間上的不超過三次的多項式函數的最大值、最小值．(9)了解導數在實際問題中的應用，結合給出的實際問題(如使利潤最大、效率最高、用料最省等問題)，體會導數在解決實際問題中的作用．(10)通過求曲邊梯形的面積、變力做功等實例，了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，了解定積分的概念．(11)通過實例了解微積分基本定理．(12)應用定積分解決一些簡單的幾何、物理問題．●重點難點本章學習重點：1．理解導數的概念及符號記法，體會導數的思想及其內涵；2．能夠利用公式求簡單函數的導數及簡單復合函數的導數；3．能利用導數研究函數的單調性，求函數的極值和最值；4．利用導數知識解決一些最優化問題；5．了解定積分的概念，了解微積分基本定理的含義．本章學習難點：1．導數概念的理解；2．用導數研究函數的單調性，求函數的極值和最值；3．利用導數知識解決一些最優化問題；4．定積分概念的理解．●學法探究導數是微積分的初步知識，是研究函數、解決實際問題的有力工具．學習本章要認真理解平均變化率、瞬時速度的概念，進一步理解導數的概念和導函數的定義，掌握導數的幾何意義，掌握基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，通過具體實例，認識導數的工具性及其與實際問題的聯系，感受導數在解題中的作用，充分體會數形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想及理論聯系實際的思想方法．認真領會掌握依據定義求導數的方法、求定積分的方法．深刻體會“以直代曲”、“以不變代變”和“無限逼近”的微積分的基本思想方法．導數概念的核心是變化率，學習導數應從物理和幾何兩方面去理解導數的意義，對很多運動變化問題的研究最后都會歸結為研究各式各樣的函數，導數是研究函數的有力工具．由f′(x)的符號可知函數f(x)是增還是減，由f′(x)絕對值的大小可知函數變化得急劇還是平緩．導數也是解決函數極值問題從而是解決優化問題的一種通法，利用導數，我們可以將求函數極值的問題轉化為求方程f′(x)＝0的解及研究在解的兩側導函數的符號問題．變化率問題1．通過實例了解平均變化率的概念．2．會求一些簡單函數的平均變化率．本節重點：函數的平均變化率的概念．本節難點：函數平均變化率的求法．1．Δx是自變量x在x0處的改變量，它可以為正，也可以為負，但不能等于零，而Δy是相應函數值的改變量，它可以為正，可以為負，也可以等于零，特別是當函數為常數函數時，Δy＝0.2．求函數平均變化率的步驟求函數y＝f(x)在點x0附近的平均變化率：(1)確定函數自變量的改變量Δx＝x1－x0；[例1]求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之間的平均變化率．[分析]依據函數平均變化率的定義求解．[點評]

這類題目的關鍵是熟記平均變化率公式的形式．已知函數f(x)＝x2＋2x，求f(x)從a到b的平均變化率．(1)a＝1，b＝2；(2)a＝3，b＝3.1；(3)a＝－2，b＝1.5.[解析]

(1)a＝1，b＝2時，f(1)＝12＋2×1＝3，f(2)＝22＋2×2＝8，∴f(x)從1到2的平均變化率為(2)a＝3，b＝3.1時，f(3)＝32＋2×3＝15，f(3.1)＝3.12＋2×3.1＝15.81，∴f(x)從3到3.1的平均變化率為[分析]本題直接利用概念求平均變化率．先求出表達式，再直接代入數據可以求得相應的平均變化率的值．[點評]此類題易錯之處容易將平均變化率與平均數相混淆，關鍵是理解平均變化率的概念．過曲線f(x)＝x3上兩點P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲線的割線，求出當Δx＝0.1時割線的斜率．[解析]

∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，[分析]先將正弦函數在每個自變量的附近的平均變化率求出，然后進行大小的比較．[點評]本題的關系是將平均變化率的式子進行變形，以便于判斷k1與k2的大小．一、選擇題1．質點運動規律為s(t)＝t2＋3，則從3到3＋Δt的平均速度為 (

)[答案]

A2．已知函數f(x)＝2x2－4的圖象上兩點A，B，且xA＝1，xB＝1.1，則平均變化率為 (

)A．4 B．4xC．4.2 D．4.02[答案]

C3．已知函數f(x)，當自變量由x0變化到x1時函數值的增量與相應的自變量的增量比是函數 (

)A．在區間[x0，x1]上的平均變化率B．在x0處的變化率C．在x1處的變化率D．以上結論都不對[答案]

A[解析]

符合平均變化率的概念，故應選A.二、填空題4．已知函數f(x)＝x3－2，則f(x)從2到2.1的平均變化率為________．[答案]

12.61三、解答題6．已知函數f(x)＝x2，分別計算函數f(x)在區間[1,3]，[1,2]，[1,1.1]，[1,1.001]上的平均變化率．[解析]

函數f(x)在[1,3]上的平均變化率為：導數的概念1．知道函數的瞬時變化率的概念，理解導數的概念．2．能利用導數的定義求函數的導數．本節重點：導數的定義．本節難點：用導數的定義求函數的導數．對導數的定義要注意：第一：Δx是自變量x在x0處的改變量，所以Δx可正可負，但Δx≠0；Δy是函數值的改變量，可以為0；第二：函數在某點的導數，就是在該點的函數值改變量與自變量改變量之比的極限．因此，它是一個常數而不是變量；[例1]已知自由落體的運動方程為s＝ gt2，求：(1)落體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度；(2)落體在t0時的瞬時速度；(3)落體在t0＝2秒到t1＝2.1秒這段時間內的平均速度；(4)落體在t＝2秒時的瞬時速度．[點評]應注意區分平均速度與瞬時速度的概念、瞬時速度是運動物體在t0到t0＋Δt這一段時間內的平均速度當Δt→0時的極限，即運動方程s＝f(t)在t＝t0時對時間t的導數．以初速度v0(v0＞0)豎直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)＝v0t－gt2，求物體在t0時刻的瞬時速度．[例2]求函數y＝x2在點x＝3處的導數．[分析]利用導數定義求導．[解析]

(1)求y在點x＝3處的增量．取Δx≠0，Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2.(2)算比值．[點評]求函數y＝f(x)在點x0處的導數的方法．由導數的意義可知，求函數y＝f(x)在點x0處的導數的方法是：[分析]已知函數f(x)在x＝a處的導數為A，要求所給的極限值，必須將已給極限式轉化為導數的意義．[點評]概念是分析解決問題的重要依據，只有熟練掌握概念的本質屬性，把握其內涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題，解決這類問題的關鍵是等價變形，使問題轉化．[答案]－2A求：(1)物體在t∈[3,5]內的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時的瞬時速度．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①物體的運動方程已知；②求物體在某一時間段的平均速度和物體在某一時刻的瞬時速度．解答本題可先根據要求的問題選好使用的函數解析式，再根據求平均變化率和瞬時變化率的方法求解平均速度和瞬時速度．[解析]

(1)∵物體在t∈[3,5]內的時間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵物體在t＝0附近的平均變化率為(3)物體在t＝1時的瞬進速度即為函數在t＝1處的瞬時變化率．∵物體在t＝1附近的平均變化率為[點評]

如果一個質點從固定點A開始運動，在時間t的位移函數y＝s(t)＝t3＋3.求：(1)t＝4時，物體的位移s(4)；(2)t＝2到t＝4的平均速度；(3)t＝4時，物體的速度v(4)．[答案]

C2．設f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，則a等于 (

)A．2 B．－2C．3 D．－3[答案]

A[答案]

A二、填空題4．自由落體運動在t＝4s的瞬時速度是________．[答案]

39.2m/s5．對于函數y＝x2，其導數等于原來的函數值的點是______________．[答案]

(0,0)和(2,4)導數的幾何意義理解導數的幾何意義，會求曲線的切線方程．本節重點：導數的幾何意義及曲線的切線方程．本節難點：求曲線在某點處的切線方程．1．深刻理解“函數在一點處的導數”、“導函數”、“導數”的區別與聯系(1)函數在一點處的導數f′(x0)是一個常數，不是變量．(2)函數的導數，是針對某一區間內任意點x而言的．函數f(x)在區間(a，b)內每一點都可導，是指對于區間(a，b)內的每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數f′(x0)．根據函數的定義，在開區間(a，b)內就構成了一個新的函數，就是函數f(x)的導函數f′(x)．(3)函數y＝f(x)在點x0處的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在點x0處的函數值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函數在某一點處的導數，一般是先求出函數的導函數，再計算這點的導函數值．2．函數f(x)在點x0處有導數，則在該點處函數f(x)的曲線必有切線，且導數值是該切線的斜率；但函數f(x)的曲線在點x0處有切線，而函數f(x)在該點處不一定可導，如f(x)＝在x＝0處有切線，但它不可導．1．導數的幾何意義①割線斜率與切線斜率2．函數的導數當x＝x0時，f′(x0)是一個確定的數，則當x變化時，f′(x)是x的一個函數，稱f′(x)是f(x)的導函數(簡稱導數)．f′(x)也記作y′，即f′(x)＝y′＝

.

[例1]求函數y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3處的導數．[分析]求函數在某點處的導數，一種方法是直接求函數在該點的導數；另一種方法是先求函數在x＝x0處的導數表達式，再代入變量求導數值，上一節已經學過第一種方法．現在我們用第二種方法求解．已知函數y＝f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.(1)點P處的切線的斜率；(2)點P處的切線方程．[分析]求函數f(x)圖象上點P處的切線方程的步驟：先求出函數在點(x0，y0)處的導數f′(x0)(即過點P的切線的斜率)，再用點斜式寫出切線方程．[點評]一般地，設曲線C是函數y＝f(x)的圖象，點P(x0，y0)是曲線C上的定點，點Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是C上與P鄰近的點，有y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，[例3]在曲線y＝x2上過哪一點的切線，(1)平行于直線y＝4x－5；(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；(3)傾斜角為135°.[分析]解此類題的步驟為：①先設切點坐標(x0，y0)；②求導函數f′(x)；③求切線的斜率f′(x0)；④由斜率間的關系列出關于x0的方程，解方程求x0；⑤由于點(x0，y0)在曲線y＝f(x)上，將x0代入求y0，得切點坐標．[點評]此類題的易錯之處是將切點的橫坐標代入導函數來求切點坐標．直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：y＝x3－x2＋1相切．(1)求a的值；(2)求切點的坐標．[例4]已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，(1)求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程；(2)第(1)小題中切線與曲線C是否還有其它公共點？[分析]

(1)關鍵是求出切線斜率k＝f′(1)及切點坐標；(2)將(1)中的切線方程與曲線C聯立，根據方程組的解的情況判斷．＝12x3－6x2－18x.∴切線的斜率為k＝12－6－18＝－12.∴切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.[點評]此例說明：曲線與直線相切并不只有一個公共點，當曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確．求曲線y＝x3在點(3,27)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積．一、選擇題1．曲線y＝－2x2＋1在點(0,1)處的切線的斜率是(

)A．－4

B．0

C．4

D．不存在[答案]

B2．曲線y＝x3在點P處的切線斜率為3，則點P的坐標為(

)A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)[答案]

B[答案]

B二、填空題4．拋物線y2＝x與x軸、y軸都只有一個公共點，在x軸和y軸這兩條直線中，只有___________是它的切線，而__________不是它的切線．[答案]

y軸x軸[解析]

如圖所示，可知y軸是它的切線，而x軸不是它的切線．[答案]

k[解析]

由導數的幾何意義知，曲線y＝f(x)在x0處的切線斜率即為函數y＝f(x)在x＝x0時的導數．三、解答題6．求曲線y＝x2在x＝1處的切線方程．[解析]

由y＝x2得Δy＝(x＋Δx)2－x2＝2x·Δx＋(Δx)2，即f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2×1＝2.曲線y＝x2在x＝1處切線的斜率為2，又x＝1時，y＝x2＝1，切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

幾個常用函數的導數

學習導航學習目標新知初探?思維啟動1.幾個常用函數的導數12x2.基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)＝cf′(x)＝____f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝__________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝__________f(x)＝exf′(x)＝_____f(x)＝logaxf′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝________0αxα－1cosx－sinxaxlnaex想一想典題例證?技法歸納題型探究例1【名師點評】

求函數的導數,一般不用定義,而主要應用導數公式.這就要求必須熟記常見函數的導數公式.應用公式時,一定要遵循“先化簡,再求導”的基本原則.在實施化簡時,首先要注意化簡的等價性,避免不必要的運算失誤.變式訓練例2【名師點評】

求函數在某一點處的導數需要先對原函數進行求導,再將變量值代入導函數求解.變式訓練答案:－2例3【名師點評】

(1)求過點P的切線方程時應注意,P點在曲線上還是在曲線外,兩種情況的解法是不同的;(2)如果已知點不在曲線上,則切線方程不是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),即要區分“在”與“過”某點處的切線.變式訓練備選例題已知直線x＋2y－4＝0與拋物線y2＝4x相交于A、B兩點,O是坐標原點,試在拋物線的

上求一點P,使△ABP的面積最大.方法技巧對指數函數、對數函數的導數公式進行記憶時,要明確區分公式的結構特征,一要從縱的方面區分“(lnx)′與(logax)′”和“(ex)′與(ax)′”,二要從橫的方面區分“(logax)′與(ax)′”,找出它們的差異,加強記憶.方法感悟失誤防范1．熟記基本初等函數的導數公式，理解導數的四則運算法則．2．能利用導數的四則運算法則和導數公式，求簡單函數的導數．本節重點：導數公式和導數的運算法則及其應用．本節難點：導數公式和運算法則的應用．1．函數和與差的導數運算法則可推廣到任意有限個可導函數的和(或差)．4．注意f(x)在x＝a處有定義，則f′(a)與(f(a))′不同，(f(a))′＝0恒成立，因為f(a)是一個常數．1．基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)＝cf′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝

(a>0)f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝(a>0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝0nxn－1cosx－sinxaxlnaex2.導數的四則運算法則設函數f(x)、g(x)是可導的，則(1)(f(x)±g(x))′＝

(2)(f(x)·g(x))′＝

f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)[點評]運算的準確是數學能力高低的重要標志，要從思想上提高認識，養成思維嚴謹、步驟完整的解題習慣，要形成不僅會求，而且要求對、求好的解題標準．求下列函數的導數：(1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y＝e0.[解析]

由求導公式得[分析]這些函數是由基本初等函數經過四則運算得到的簡單函數，求導時，可直接利用函數加減的求導法則進行求導．[點評]

1.多項式的積的導數，通常先展開再求導更簡便．2．含根號的函數求導一般先化為分數指數冪，再求導．(1)求下列函數的導數．①y＝x2sinx

②y＝x2(x2－1)[例3]已知拋物線y＝ax2＋bx＋c通過點(1,1)，且在點(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求a、b、c的值．[分析]

題中涉及三個未知量，已知中有三個獨立條件，因此，要通過解方程組來確定a、b、c的值．[解析]

因為y＝ax2＋bx＋c過點(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲線過點P(2，－1)的切線的斜率為4a＋b＝1.又曲線過點(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.[點評]本題主要考查了導數的幾何意義，導數的運算法則及運算能力．求過曲線y＝x3＋x上的點P(1,2)的切線方程．[答案]

C2．函數y＝(x－a)(x－b)在x＝a處的導數為(

)A．ab

B．－a(a－b)C．0 D．a－b[答案]

D[解析]

∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab∴f′(x)＝2x－(a＋b)，∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故應選D.[答案]

D5．設f(x)＝(2x＋a)2，則f′(2)＝20，則a＝________.[答案]

1[解析]

∵f(x)＝(2x＋a)2＝4x2＋4ax＋a2∴f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a，又f′(2)＝20，∴16＋4a＝20，∴a＝1.三、解答題6．求下列函數的導數(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x·tanx；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；函數的單調性與導數借助于函數的圖象了解函數的單調性與導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會用導數法求函數的單調區間．本節重點：利用導數研究函數的單調性．本節難點：用導數求函數單調區間的步驟．1．在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域，解決問題的過程中，只能在定義域內通過討論導數的符號，來判斷函數的單調區間．2．在對函數劃分單調區間時，除了必須確定使導數等于零的點外，還要注意定義區間內的不連續點或不可導點．3．注意在某一區間內f′(x)>0(或f′(x)<0)是函數f(x)在該區間上為增(或減)函數的充分條件．如f(x)＝x3是R上的可導函數，也是R上的單調遞增函數，但當x＝0時，f′(x)＝0.4．由導數的幾何意義可知，函數f(x)在x0的導數f′(x0)即f(x)的圖象在點(x0，f(x0))的切線的斜率，在x＝x0處f′(x0)＞0，則切線的斜率k＝f′(x0)＞0，若在區間(a，b)內每一點(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，則曲線在該區間內是上升的．反之若在區間(a，b)內，f′(x)＜0，則曲線在該區間內是下降的．因此當區間(x1，x2)很小時，平均變化率可近似表示函數y＝f(x)在這個區間內的單調性．6．如果函數f(x)在點x0附近，當x＜x0時f′(x)＜0，當x＞x0時f′(x)＞0，則點(x0，f(x0))我們稱作臨界點，通過畫圖你能觀察出f(x0)與臨近點函數值的大小關系嗎？同樣當x＜x0時，f′(x)＞0，當x＞x0時，f′(x)＜0，再畫圖觀察f(x0)的值與鄰近點的函數值之間有何關系？7．我們注意到f(x)＝2x、g(x)＝3x、f′(x)＝2、g′(x)＝3有f′(x)＜g′(x)，畫圖可見，g(x)與f(x)都是增函數，但g(x)比f(x)增長的快得多．自己再觀察幾個函數導數值的大小關系，你會發現，導數絕對值的大小反映了函數在某個區間上或某點附近變化的快慢程度，導數絕對值越大，函數增長(f′(x)＞0)或減少(f′(x)＜0)的越快．1．函數y＝f(x)在區間(a，b)內的單調性與導數的關系如果f′(x)＞0，那么函數y＝f(x)在這個區間內

；如果f′(x)＜0，那么函數y＝f(x)在這個區間內．如果f′(x)＝0，那么函數y＝f(x)在這個區間內為 ．2．求函數單調區間的步驟(1)確定f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相應的x的范圍．當f′(x)＞0時，f(x)在相應區間上是

；當f′(x)＜0時，f(x)在相應區間上是 ．單調遞增單調遞減常數函數增函數減函數[例1]判斷y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的單調性．[解析]

∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)當a>0時，y′≥0，函數在R上單調遞增；(2)當a<0時，y′≤0，函數在R上單調遞減；(3)當a＝0時，y′＝0，函數在R上不具備單調性．[點評]

判斷函數單調性的方法有兩種：(1)利用函數單調性的定義，在定義域內任取x1，x2，且x1<x2，通過判斷f(x1)－f(x2)的符號確定函數的單調性；(2)利用導數判斷可導函數f(x)在(a，b)內的單調性，步驟是：①求f′(x)；②確定f′(x)在(a，b)內的符號；③得出結論．[解析]

(1)函數f(x)的定義域為Rf′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，則3x2－3＞0.即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.∴函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)和(1，＋∞)令f′(x)＜0，則3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.∴函數f(x)的單調遞減區間為(－1,1)．[點評]求函數單調區間時需注意：1．步驟：2．含有參數的函數求單調區間時注意正確運用分類討論思想．3．如果一個函數具有相同單調性的單調區間不止一個，那么這些單調區間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字隔開．[解析]

(1)函數f(x)的定義域為Rf′(x)＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)令f′(x)＞0，則4x(x－1)(x＋1)＞0，解得－1＜x＜0，或x＞1，∴函數f(x)的單調遞增區間為(－1,0)和(1，＋∞)，令f′(x)＜0，則4x(x－1)(x＋1)＜0，解得x＜－1或0＜x＜1，∴函數f(x)的單調遞減區間為(－∞，－1)和(0,1)．(2)函數f(x)的定義域為(0，π)∵x∈(0，π)，∴cosx∈(－1,1)∴f′(x)＝cosx－1＜0恒成立∴函數f(x)＝sinx－x在(0，π)上是單調遞減函數．[例3]已知x>1，求證：x>ln(1＋x)．[點評]此類題的解題步驟一般是：首先構造函數，然后再采用求導的方法證明．利用函數的單調性證明不等式也是證明不等式常用的方法．已知：x>0，求證：x>sinx.[證明]

設f(x)＝x－sinx(x>0)f′(x)＝1－cosx≥0對x∈(0，＋∞)恒成立∴函數f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是單調增函數又f(0)＝0，∴f(x)>0對x∈(0，＋∞)恒成立即：x>sinx(x>0)．[例4]已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函數f(x)＝a·b在區間(－1,1)上是增函數，求t的取值范圍．[分析]由向量的數量積和運算法則求函數f(x)的解析表達式，再f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，求出t的范圍．[解析]

解法1：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋tf′(x)＝－3x2＋2x＋t∵函數f(x)在(－1,1)上是增函數，∴f′(x)≥0在x∈(－1,1)上恒成立∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立令g(x)＝3x2－2x，x∈(－1,1)故要使t≥3x2－2x在區間(－1,1)上恒成立，只需t≥5，即所求t的取值范圍為：t≥5.解法2：依題意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋tf′(x)＝－3x2＋2x＋t∵函數f(x)在區間(－1,1)上是增函數，∴f′(x)≥0對x∈(－1,1)恒成立又∵f′(x)的圖象是開口向下的拋物線∴當且僅當f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0時，即t≥5時，f′(x)在區間(－1,1)上滿足f′(x)＞0使f(x)在(－1,1)上是增函數故t的取值范圍是t≥5.[點評]已知函數的單調性，確定字母的取值范圍是高考考查的重點內容，解決這類問題的方法主要有兩種，其一，轉化為函數求最值，其二，若能比較容易求出函數的單調區間時，可利用子區間來解決．特別注意的是，若導函數為二次函數時，也可借助圖象，利用數形結合思想來解決，如上例中的解法2.[解析]

f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]當a－1≤1，即a≤2時，函數f(x)在(1，＋∞)上為增函數，不合題意．當a－1＞1，即a＞2時，函數f(x)在(－∞，1)上為增函數，[例5]

f′(x)是f(x)的導函數，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是 (

)[分析]導函數值的正負決定了函數的增減，導函數值增減決定了函數值變化的快慢．[答案]

D[解析]

由圖可知，當b>x>a時，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)為增函數．且又由圖知f′(x)在區間[a，b]上先增大后減小，即曲線上每一點處切線的斜率先增大再減小，故選D.[點評]本題的關鍵是正確理解導函數與函數之間的關系．如圖所示，單位圓中弧AB的長為x，f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數y＝f(x)的圖象是(

)[答案]

D因為當0≤x<π時，f(x)＝x－sinx≤x，所以函數的圖象在y＝x的下方；當π≤x≤2π時，f(x)＝x－sinx≥x，所以函數的圖象在y＝x的上方．故選D.一、選擇題1．函數y＝x4－2x2＋5的單調減區間為 (

)A．(－∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)[答案]

A[解析]

y′＝4x3－4x令y′<0，即4x3－4x<0解得x<－1或0<x<1，所以函數的單調減區間為(－∞，－1)和(0,1)，故應選A.2．函數y＝xlnx在區間(0,1)上是 (

)A．單調增函數B．單調減函數[答案]

C3．若在區間(a，b)內有f′(x)＞0，且f(a)≥0，則在(a，b)內有 (

)A．f(x)＞0

B．f(x)＜0C．f(x)＝0 D．不能確定[答案]

A[解析]

∵在區間(a，b)內有f′(x)>0，且f(a)≥0，∴函數f(x)在區間(a，b)內是遞增的，∴f(x)>f(a)≥0.二、填空題4．函數y＝(x＋1)(x2－1)的單調減區間為________．[答案]－4[解析]

因為f′(x)＝x2－3x＋a.令x2－3x＋a≤0，由題意知x2－3x＋a≤0的解集恰為[－1,4]，則由韋達定理知a＝－1×4＝－4.三、解答題6．已知函數f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；(2)是否存在實數a，使f(x)在(－1,1)上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；(3)證明f(x)＝x3－ax－1的圖象不可能總在直線y＝a的上方．[解析]

(1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是單調遞增函數，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2對x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，在x∈(－1,1)恒成立．∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3.當a＝3時，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上為減函數，∴a≥3.故存在實數a≥3，使f(x)在(－1,1)上單調遞減．(3)證明：∵f(－1)＝a－2<a，∴f(x)的圖象不可能總在直線y＝a的上方．函數的極值與導數1．掌握極值的概念，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件．2．會用導數求一些函數的極大值和極小值．本節重點：函數極值的概念與求法．本節難點：函數極值的求法．1．曲線在極值點處切線的斜率為0，曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正，據此得到可導函數極值的概念．對此概念的幾點說明如下：(1)函數f(x)在點x0及其附近有定義，是指在點x0及其左右鄰域都有意義．(2)極值是一個局部概念，是僅對某一點的左右兩側鄰域而言的．(3)極值總是函數f(x)定義域的某個開區間內的點，因而端點絕不是函數的極值點．(4)連續函數f(x)在其定義域上的極值點可能不止一個，也可能沒有．函數的極大值與極小值沒有必然的大小關系，函數的一個極小值也不一定比極大值小．2．求可導函數極值的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的全部實根；(4)檢查f′(x)在f′(x)＝0的根左、右兩側值的符號，如果左正右負(或左負右正)，那么f(x)在這個根處取得極大值(或極小值)．3．極值點與導數為0的點的關系：(1)導數為0的點不一定是極值點．如函數f(x)＝x3在x＝0處的導數是0，但它不是極值點．對于可導函數，極值點的導數必為0.因此對于可導函數，導數為0是點為極值點的必要而不充分條件．(2)函數的導數不存在的點也可能是極值點．如函數f(x)＝|x|，在x＝0處，左側(x＜0時)f′(x)＝－1＜0，右側(x＞0時)f′(x)＝1＞0，當x＝0時f(x)＝0是f(x)的極小值點，但f′(0)不存在．1．極值點與極值(1)極小值與極小值點(對可導函數)如圖，若a為極小值點，f(a)為極小值，則必須滿足：①f(a)

f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函數值)；②f′(a)＝

；③在x＝a附近的左側f′(x)

0，函數單調遞

；在x＝a附近的右側f′(x)

0，函數單調遞

<0<減>增(2)極大值與極大值點(對可導函數)如圖，若b為極大值點，f(b)為極大值，則必須滿足：①f(b)

f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函數值)；②f′(b)＝

；③在x＝b附近的左側，f′(x)

0，函數單調增；在x＝b附近的右側，f′(x)

0，函數單調 ．極小值點、極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．極值反映了函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質．>0><減2．求可導函數y＝f(x)的極值的方法是：解方程f′(x)＝0.當f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側

，右側

，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側

，右側

，那么f(x0)是極小值．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞0[例1]判斷函數y＝x3在x＝0處能否取得極值．[分析]可由極值的定義來判斷，也可由導數來判斷．[解析]

解法1：當x＝0時，f(x)＝0，在x＝0的附近區域內，f(x)有正有負，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝x3在x＝0處取不到極值．解法2：y′＝3x2，當x≠0時，y′>0，當y＝0時，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函數，因為單調函數沒有極值，所以y＝x3在x＝0處取不到極值．[點評]

(1)f′(x0)＝0是函數y＝f(x)在x＝x0處有極值的必要條件而不是充分條件，如果再加上x0附近導數的符號相反，才能判定在x＝x0處取得極值．(2)在區間上的單調函數是沒有極值的，像這樣的重點結論可記熟．判斷函數y＝|ax－b|(a>0)在其定義域內是否存在極值．[例2]求下列函數的極值．(1)y＝x2－7x＋6；(2)y＝x3－27x.[分析]求函數極值需求f′(x)＝0的解及f′(x)，f(x)的變化情況．∴當x＝－3時，y有極大值，且y極大值＝54.當x＝3時，y有極小值，且y極小值＝－54.[點評]

1.判斷可導函數極值的基本方法：設函數y＝f(x)在點x0及其附近可導，且f′(x0)＝0.(1)如果f′(x)的符號在點x0的左右由正變負，則f(x0)為函數f(x)的極大值．(2)如果f′(x)的符號在點x0的左右由負變正，則f(x0)為函數f(x)的極小值．(3)如果f′(x)的符號在點x0的左右不變號，則f(x0)不為函數f(x)的極值．2．求可導函數極值的基本步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的全部實根；(4)檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右兩側值的符號，如果左正右負(或左負右正)，那么f(x)在這個根處取得極大值(或極小值)．總之，求可導函數的極值的核心是：解方程f′(x)＝0；列表；模擬圖象；確定極大值或極小值．求y＝4x3－x2－2x的極值點和相應的極值．[解析]

y′＝12x2－2x－2＝2(6x2－x－1)＝2(3x＋1)(2x－1)，[例3]已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處的極大值為4，極小值為0，試確定a、b、c的值．[分析]本題的關鍵是理解“f(x)在x＝±1處的極大值為4，極小值為0”的含義．即x＝±1是方程f′(x)＝0的兩個根且在根x＝±1處f′(x)取值左右異號．[解析]

f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)當a＞0時，x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)y′＋0－0－0＋y極大值無極值極小值[點評]緊扣導數與極值的關系對題目語言進行恰當合理的翻譯、轉化是解決這類問題的關鍵．函數f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，在x＝1時有極值10，則a、b的值為 (

)A．a＝3，b＝－3，或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1，或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正確[答案]

D[解析]

f′(x)＝3x2－2ax－b∵x＝1是函數f(x)的極值點，且在x＝1處的極值為10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0①f(1)＝1－a－b＋a2＝10②當a＝3，b＝－3時f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2當x＜1時，f′(x)＞0當x＞1時，f′(x)＞0∴當x＝1時函數不存在極值．當a＝－4，b＝11時符合題意，故應選D.[例4]求函數f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)內的極值(a>0)[解析]

由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值由此可得：當0<a<1時，f(x)在(a－1，a＋1)內有極大值f(0)＝－2，無極小值；當a＝1時，f(x)在(a－1，a＋1)內無極值；當1<a<3時，f(x)在(a－1，a＋1)內有極小值f(2)＝－6，無極大值；當a≥3時，f(x)在(a－1，a＋1)內無極值．綜上得：當0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值；當1<a<3時，f(x)有極小值－6，無極大值；當a＝1或a≥3時，f(x)無極值．[點評]判斷函數極值點的注意事項(1)函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點．(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在區間(a，b)上的單調函數沒有極值．(3)導數不存在的點也有可能是極值點，如f(x)＝|x|在x＝0處不可導，但由圖象結合極小值定義知f(x)＝|x|在x＝0處取極小值．(4)在函數的定義區間內可能有多個極大值點或極小值點，且極大值不一定比極小值大．(5)在討論可導函數f(x)在定義域內的極值時，若方程f′(x)＝0的實數根較多時，應注意使用表格，使極值點的確定一目了然．(6)極值情況較復雜時，注意分類討論．(1)當cosθ＝0時，判斷函數f(x)是否有極值；(2)要使函數f(x)的極小值大于零，求參數θ的取值范圍；(3)若對(2)中所求的取值范圍內的任意參數θ，函數f(x)在區間(2a－1，a)內都是增函數，求實數a的取值范圍．[分析]

f(x)是否有極值，需研究是否存在x0點，使f′(x0)＝0且在x0左、右f′(x)的符號相反；求參變量范圍注意其他條件．當x變化時，f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：[點評]本例主要考查了運用導數研究函數的單調性與極值，解不等式等基本知識，要注意分析題目，培養綜合分析和解決問題的能力．(2009·陜西文，20)已知函數f(x)＝x3－3ax－1，a≠0(1)求f(x)的單調區間；(2)若f(x)在x＝－1處取得極大值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．[分析]本小題主要考查函數、導數的應用等基礎知識，考查分類整合思想、推理和運算能力．[解析]

(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，當a<0時，對x∈R，有f′(x)>0，∴當a<0時，f(x)的單調增區間為(－∞，＋∞)．∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的單調性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.∵直線y＝m與函數y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，結合f(x)的單調性可知，m的取值范圍是(－3,1)．一、選擇題1．若函數y＝f(x)是定義在R上的可導函數，則f′(x0)＝0是x0為函數y＝f(x)的極值點的 (

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]

B[解析]

如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函數y＝x3的極值點．2．函數y＝x3＋1的極大值是 (

)A．1

B．0

C．2

D．不存在[答案]

D[解析]

∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函數y＝x3＋1在R上是單調增函數，∴函數y＝x3＋1無極值．3．三次函數當x＝1時，有極大值4；當x＝3時，有極小值0，且函數過原點，則此函數是 (

)A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x[答案]

B[解析]

適合題意的函數滿足f(1)＝4，排除A、C、D.二、填空題4．若函數f(x)＝x3＋ax在R上有兩個極值點，則實數a的取值范圍是________．[答案]

a<0[解析]

f′(x)＝3x2＋a由題設條件知f′(x)＝0應有兩個不同實數根，∴a＜0.5．若x＝2是函數f(x)＝x(x－m)2的極大值點，則函數f(x)的極大值為________．[答案]

32[解析]

f′(x)＝(x－m)2＋2x(x－m)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)三、解答題6．求下列函數的極值．(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x2e－x.[解析]

(1)函數f(x)的定義域為R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.當x變化時，f′(x)，f(x)變化狀態如下表：從表中可以看出，當x＝－2時，函數有極大值16.當x＝2時，函數有極小值－16.x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值f(－2)＝16極小值f(2)＝－16(2)函數的定義域為R.f′(x)＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當x變化時，f′(x)，f(x)變化狀態如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)極小值0極大值4e－2函數的最大(小)值與導數1．理解函數最值的概念及閉區間上函數存在最值的定理．2．掌握用導數求閉區間上函數最大值和最小值的方法．本節重點：函數在閉區間上最值的概念與求法．本節難點：極值與最值的區別與聯系，求最值的方法．極值與最值的區別和聯系(1)函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局部對函數值的比較；函數的最值是函數在整個定義域上的情況，是對函數在整個定義域上的函數值的比較．(2)函數的極值不一定是最值，需對極值和區間端點的函數值進行比較，或者考察函數在區間內的單調性．(3)如果連續函數在區間(a，b)內只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．(4)可用函數的單調性求f(x)在區間上的最值，若f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)，若f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．1．函數f(x)在閉區間[a，b]上的最值設函數y＝f(x)在閉區間[a，b]上的圖象是一條連續不間斷的曲線，則該函數在[a，b]上一定能取得

，函數的

必在

或

取得．但在開區間(a，b)內可導的函數f(x)

有最大值與最小值．2．求可導函數y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟：(1)求f(x)在開區間(a，b)內的

；(2)計算函數f(x)在各

和

處的函數值f(a)，f(b)比較，其中

的一個為最大值，

的一個為最小值．最大值與最小值最值極值點區間端點不一定極值極值點端點最大最小[例1]求函數f(x)＝x3－2x2＋1在區間[－1,2]上的最大值與最小值．[分析]首先求f(x)在(－1,2)內的極值，然后將f(x)的各極值與f(－1)，f(2)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．[解析]

f′(x)＝3x2－4x.[點評]注意比較求函數最值與求函數極值的不同．求函數f(x)＝x3－3x2＋6x－2在區間[－1,1]上的最值．[解析]

f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3[(x－1)2＋1]因為f′(x)在[－1,1]內恒大于0，所以f(x)在[－1,1]上是增函數．故當x＝－1時，y最小＝－12，當x＝1時，y最大＝2，即f(x)的最大值為2，最小值為－12.[例2]已知a是實數，函數f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)求f(x)在區間[0,2]上的最大值．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①函數f(x)＝x2