/

20

2P

/

20P/2P/2N0102

/

20 2

/

201/21/2laaa2aa2aaaaEADx2

22

(

2P

2

2a

P

1

a)

1.914Pa2

2

EA

BD解：PBCDEaaaP1234567A

8F

9CE123456A

8F

9P

1/

2a7DE2aEA

2 2a

P

1

a

2)

0.207P2

2a

EA2P

1

1

(DP

1/

2aB123456789N－P002P

/

20

2P

/

20P/2P/2N0001/

2a000-1/2a-1/2alaaa2aa2aaaa[練習2]求圖示桁架結點D

的豎向位移，各桿EA

相同。BDaaa1A

45P

1C

C3

12

23A

4

D

5B12345N2P

/

20

2P

/

2P/2P/2N

2

/

21

2

/

21/21/2l2aa2aaaDy

2

(

P

1

a)

PaEA

2

2

2EA解：

PEIl§8–4

靜定梁、剛架的位移計算應用虛功原理計算靜定梁、剛架的位移時，拉壓、剪切較彎曲的內力虛功小得多，可略去不計。于是，虛功方程可簡化為：

MM

dx解題步驟：⒈計算實際荷載下各段桿的彎矩Mi

；⒉在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載（求結點位移加單位力，求截面轉角加單位力偶）；⒊計算單位荷載下各段桿的彎矩Mi

；⒋將Mi

、M

i

代入虛功方程求位移。加單位荷載PABCDPABCDP

1m

1求結點C

的豎向位移求B

截面的轉角BCDPABCDP

1m

1求C、E兩點的相對位移求鉸C兩側截面的相對轉角EAPP

1[例8－5]求圖示1/4圓弧形曲梁B端的鉛直位移、水平位移和轉角。P、R、EI已知。ABPddsABddsABP

1P解：M

(

)

PR(1

cos

);M

()

R(1

cos)ds

Rd

ds

RdEI

EIMM

MMlBydEI20

PR3

(1

cos)2EI202PR3)d(1

2

cos

cosddsABPddsABP

1By

202PR3(1

2

cos

cos

)d1

12

420sin

2][

2sin

EIEIPR34EI

(3

8)PR3（向下）ddsABPddsAB

P

1EIEIMMBxRd

20PR3(1

cos)

sin

dPR3M

(

)

PR(1

cos

);M

()

R

sin

032

(1

cos)d

cosEIPR0122

/

2cos

][cos

EI3

PR

（向左）2EIddsAddsABm

1EIEIBPMMBRd

20PR2(1

cos)d(

2)PR2M

(

)

PR(1

cos

);M

()

10

/

2[

sin

]EI

2EI2

PR注意※：M與M轉向的假設必須一致，結果為正表示位移與單位荷載同向；結果為負表示位移與單位荷載反向。（順時針）lAlEI[例8－6]求圖示剛架B

點的水平位移和C

截面的轉角。

AC

B

C

BEI

EIEIP

1x1x1x2x21ql/2ql/2ql/211M

(x1)M

(x1)M

(x2

)M

(x2

)11解：ql/2ql/211M

(x1)M

(x1)M

(x2

)M

(x2

)1

12M

(x

)

1

qlx22221221qxM

(x

)

ql

M

(x1

)

x1M

(x2

)

l

x222

2

2021

10x

dxqlEI

2lBx

1

[

q

(l

2

x2

)(l

x

)dx

]l8EI4

3ql（向右）11BACEIEIx2x11/lm

1M

(x1)1/l1/lM

(x2

)m

11

12M

(x

)

1

qlx2222121qxM

(x

)

ql1

1lM

(x

)

1

x2M

(x

)

0x

dxlC6EIql

321

102

1

qEI

2（順時針）ABx1l/2EIlx2

PCABx1x2YA=1/2l/2EIl[練習3]求圖示外伸梁C

端的豎向位移△Cy和轉角C

。

P

1C1

12M

(x

)

1

PxM(x2

)

Px2YA=P/2解：112M

(x

)

1

xM

(x2

)

x2022

221

10

1

[l

/

2lCyPx

dx

]dx

xPEI

4P

PPl33

l

3

l

/

2x1

x2

12EI

0

3EI

0

8EIABx1YA=P/2l/2EIlx2

PCAx1x2YA=1/ll/2EIlB

Cm

11

12M

(x

)

1

PxM(x2

)

Px211lM

(x

)

1

xM

(x2

)

1021

10l

/

2lC

Px2dx2

]x

dxPEI

2l

1

[P

P7Pl23

l

2

l

/

2x1

x2

6EIl

0

2EI

0

24EI§8–5

圖乘法等截面梁、剛架，虛功方程可寫為：EIl

1

MM

dx其中積分

l

MMdx

可通過幾求之，即通過彎矩圖圖乘求之，故稱為圖乘法。x

dxM圖yCxCyCM

(x)M

(x)l

M

(x)M

(x)dxAM圖BB

xAOl

M

(x)xtgdxl

tg

M

(x)xdx

tg

SyP

C

tg

x

P

yC于是得P

CEI

1

y其中P

為M

圖的面積，yC為M

圖的形心所對應的M圖的豎距。Cl/2

l/2P

lhCl/3

2l/3hh1P

2

lhl/2

l/2C一、解題注意事項⒈M

圖與M

圖在桿的同側時，圖乘為正；在桿的兩側時，圖乘為負。⒉當M

圖為同一直線時才能圖乘，若

M

圖為折線，需分段圖乘。二、幾種常用幾何圖形的面積和形心位置矩形

三角形

標準拋物線P23

h182ql

)lh

(h

三、解題步驟⒈畫荷載下的彎矩圖—M圖，均布荷載下的彎矩圖按疊加原理畫；⒉

在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載，并畫彎矩圖—

M圖；⒊用圖乘法求位移。[例8－7]求圖示階梯形懸臂梁端的撓度和轉角。AP2EI

C

EI

Ba

aM圖2PaPaAP

12EI

C

EI

B2aM

圖C2

C1C3y3y2y112EIB[Pa

a

3a

Pa

a

5a

]2

2

31

Pa

a

2aEI

2

3y

3Pa32EI解：AP2EI

C

EI

Ba

aM

圖2PaPaAm

12EI

C

EI

B1C1C2y2

y1M

圖11

Pa

a

1EI

2

1

(2Pa

Pa)a

2EI

2B

2

5Pa4EI

（順時針）[例8－8]求圖示簡支梁C

截面的撓度和A

截面的轉角。PA

BEI

C2l/3

l/3YA=P/3

YA=2P/3EIAC2Pl

/

92l

/

9M

圖M

圖C1

C2P

1y1y2

1

l

2Pl

1

l

2E

2yC243EI2

3

93

4PlB解：ABYA=P/3l/3EI2l/3PCYA=2P/3EIACm

12Pl

/

9M圖M

圖C1C2y1y2

1

l

2Pl

2)2

3

9

9

1

(

1

2l

2Pl

5EI

2

3

9

9A4Pl

21B

（順時針）81EIqAll/3BCM

圖3[例8－9]求圖示外伸梁C截面的撓度和B

截面的轉角。P

qlql2/9ql2/8AP

1CBl/3M

圖1

1

l

ql2

l

2EI

2

3

9yC

[

3

321

ql2

l

l

2

9

3

3ql2

l

2

l

]3

8

61944

EI5ql4解：qAll/3BCM

圖3P

qlql2/9ql2/8CB1M

圖A[

l

1

1

ql2

2EI

2

9

3B

]

2

l

ql2

13

8

2ql216

EI3

m

1（逆時針）[練習4]求圖示外伸梁C

截面的撓度和轉角。ABl/2EIlPCPl

/

2BEIll

/

2P

1Cl/2l

2

1

l

Pl

l

22

3

2

2

2

2

31

l

PlEI

2

2yC

(

8EIPl3

)

解：M

圖M圖ABEIlPCPl

/

2EI

Bl

l/2Cm

1EI

2

2

3

2

2

2C24EI2

1

(

l

Pl

2

1

l

Pl

1)

7Pll/21M

圖AM圖AlAlEI[例8－10]求圖示剛架B

點的水平位移和C

截面的轉角。AC

B

C

BEIP

11qlql/2ql/211ql2

/

2ql2

/

2ql2

/

8llM圖M圖解：ql2

/

2ql2

/

2ql2

/

8llM圖M圖Bx8EI3

82

3EI

2l

3ql42l

ql2ql2

2l(

2

)

2

1

lB

lAClEIEIBAm

1

C1/lqlql/2ql/2ql2

/

2ql2

/

2ql2

/

81M圖M圖1/lC2

ql32(

)

EI

2

2

3

6EI

1

l

ql[例8－11]求圖示剛架C

截面的撓度和A

截面的轉角。ACEIP=qaqaa/3aD

EI

B18qa2qa281

qa

2721

qa

2

1qa

2BADP

1Cqaa/3M圖M圖解：18qa

2

1

qa

2qa28721qa

2a/3M圖M圖Dqa2B1

qa

2BD

段彎矩圖可由下列幾種圖形疊加而成。qa21

qa

28181

qa

21

[EC2

1

a

qa2

3

183

y

9[

EI

62

74

qa81EI4

5qaACEIP=qaqaa/3aD

EI

B18qa2qa281

qa

2721

qa

2

1qa

2BACDm

1qaM圖M圖1118qa

2

1

qa

2qa28721qa

2M圖Dqa2B1

qa

2BD

段彎矩圖可由下列幾種圖形疊加而成。qa21

qa

28181

qa

21]23

123

qa

EIA

[3

qa

[

1

19

1

1]EI

2

108

24

2216EI3

187qaM圖11[例8－12]求圖示剛架A、B

兩點的相對位移xAB

，EI

為常數。ABPPaaABP

1P

1PaaPa

PaPaPaPaaa

aaaaM圖M圖解：PaPa

PaPaPaPaaa

aaaaM圖M圖21

Pa2

2a3

10Pa3EI

4

Pa

a

2)2

3xAB

EI

([練習5]求圖示結構K

點的水平位移。K2EIEI2EIqaqaaa2EIEIK2EIP

1qa/21aaa3

qa

22qa28qa2qa2M圖M圖解：aaa3

qa

22qa28qa2qa2M圖M圖xK(

a

3)

24

4

qa

(1

1

1

qa2EI

2

3

24

3EI4

35qa48EI§8–6支座移動引起的位移AA'BB'cc2c1

3△BP

1BR13A

RR2靜定結構，支座發生移動時，各點也將發生位移，但桿件無變形發生。故外力虛功不等于零，內力虛功等于零。AA'BB'c1c2c3△BP

1BR1R23A

R在B

點加一單位荷載，單位荷載下支座的約束反力為R1,

R2

,

R3.外力虛功：W

1B

R1c1

R2c2

R3c3

B

Rici內力虛功：U

0由虛功原理得虛功方程：W

B

Rici

U

0即

Ricici—支座實際移動位移；Ri—單位荷載下支座的約束反力。解題步驟：⒈在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載；⒉計算單位荷載下的支座反力；⒊將單位荷載下的支座反力代入虛功方程求結點位移。[例8－13]圖示剛架支座B

發生水平位移a

、豎向位移b

，求鉸C

左右截面的相對轉角和C

點的豎向位移。ABB'CC'CABbl/2

l/2

ahm

1

m

1001/h1/hC左右