五年制高等職業教育教材《數學》編寫組編數學第二冊（下）五年制高等職業教育教材數學第二冊（下）目錄第十六章不定積分第十七章定積分第十八章

多元函數微積分簡介第十九章

級

數目錄第十六章不定積分第十七章定積分第十八章多元函數微積第十六章不定積分§16-1

不定積分的概念§16-2

積分的基本公式和法則§16-3

換元積分法§16-4分部積分法§16-5

簡易積分表及其應用第十六章不定積分§16-1不定積分的概念§16-2§16-1

不定積分的概念一、原函數定義

從設函數F(x)與f(x)定義在同一區間內,并且對該區間內的任一點,都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函數F(x)就稱為函數f(x)在該區間內的原函數.

定理1(原函數族定理)

如果函數f(x)在某區間內有一個原函數F(x),那么它在該區間內就有無限多個原函數,并且原函數的全體由形如F(x)+C的函數所組成(其中C是任意常數).§16-1不定積分的概念一、原函數定義從設函數F(x)定理2(原函數存在定理)

如果函數f(x)在某一區間內連續,則函數f(x)在該區間內的原函數必定存在.例如,因為f(x)=2x在區間(-∞,+∞)內連續,所以它在這個區間內存在原函數x2+C(C為任意常數).定理2(原函數存在定理)如果函數f(x)在某一區間內連續,§16-1

不定積分的概念二、不定積分定義

從設函數若F(x)是f(x)在某區間內的一個原函數,那么表達式F(x)+C

(C為任意常數)稱為f(x)在該區間內的不定積分,記作∫f(x)dx,

即∫f(x)dx=F(x)+C.其中“∫”叫做積分號,f(x)叫做被積函數,f(x)dx叫做被積表達式,x叫做積分變量.§16-1不定積分的概念二、不定積分定義從設函數若F(

從不定積分的概念可知,“求不定積分”和“求導數”或“求微分”互為逆運算

從不定積分的概念可知,“求不定積分”和“求導數”

§16-1

不定積分的概念二、不定積分的幾何意義

積分曲線族中每一條曲線上具有相同的橫坐標的點處的切線互相平行.§16-1不定積分的概念二、不定積分的幾何意義

例2

求經過點(1,3),且其切線的斜率為2x的曲線方程.解設所求曲線方程為y=f(x),由f'(x)=2x,得y=f(x)=∫2xdx=x2+C,將x=1,y=3代入上式,得C=2,所以所求的曲線方程為y=x2+2.例2求經過點(1,3),且其切線的斜率為2x的曲線方程.解§16-2

積分的基本公式和法則二、積分的基本公式k

x

C(k是常數)，arctanx

C

，arcsinx

C

，ln|x|C，§16-2積分的基本公式和法則二、積分的基本公式kxsinx

C

，cosx

C

，sinxC，cosxC，

例2

例1例2例1§16-2

積分的基本公式和法則二、積分的基本運算法則∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

§16-2積分的基本公式和法則二、積分的基本運算法則∫[

§16-3

換元積分法一、第一類換元積分法

一般地,若不定積分的被積表達式能寫成f[φ(x)]φ'(x)dx=f[φ(x)]dφ(x)的形式,令φ(x)=u,當積分∫f(u)du可求時,設F(u)是f(u)的一個原函數,則∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C.

通常把這樣的積分方法稱為第一類換元積分法.§16-3換元積分法一、第一類換元積分法一般地,

§16-3

換元積分法二、第二類換元積分法

設x=φ(t)單調且可導(φ'(t)≠0),其反函數為t=φ-1(x),F'(t)=f[φ(t)]φ'(t),則∫f(x)dx=F[φ-1(x)]+C.通常把這樣的積分法稱為第二類換元積分法.

§16-3換元積分法二、第二類換元積分法

§16-4

分部積分法二、第二類換元積分法

設函數u=u(x)及v=v(x)有連續導數.乘積的微分法則為d(uv)=udv+vdu,移項,得udv=d(uv)-vdu.對上式兩邊求不定積分,得∫udv=uv-∫vdu.上式稱為分部積分公式.解選取u=x,dv=exdx=d(ex),則

∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+C=ex(x-1)+C.例1求∫xexdx.§16-4分部積分法二、第二類換元積分法解選取u=x,dv=cosxdx=d(sinx),則

∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx

=xsinx+cosx+C.解

∫lnxdx=xlnx-∫xd(lnx) =xlnx-∫dx=xlnx-x+C =x(lnx-1)+C.例2求∫xcosxdx.例3求∫lnxdx.解選取u=x,dv=cosxdx=d(sinx),則解∫

例4求∫xarctanxdx.例5求∫arcsinxdx.

例4求∫xarctanxdx.例5求∫arcsinx

例7求∫exsinxdx.

例7求∫exsinxdx.§16-5

簡單積分表及其應用

為了便于使用,人們已將一些函數的不定積分匯編成表,這種表叫積分表.本書后面附錄列出的簡易積分表是按照被積函數的類型編排的,其中包括一些常用的積分公式,下面舉例說明表的查法.

§16-5簡單積分表及其應用為了便于使用

例5查表求∫sin4xdx.

例5查表求∫sin4xdx.第十七章定積分§17-1

定積分的概念§17-2

定積分的性質§17-3

牛頓

萊布尼茲公式§17-4

定積分的換元法與分部積分法§17-5

定積分在幾何上的應用§17-6

定積分在物理上的應用§17-7

積分區間為無限的廣義積分第十七章定積分§17-1定積分的概念§17-2定積1、曲邊梯形的面積§17-1定積分的概念一、兩個實例

1、曲邊梯形的面積§17-1定積分的概念一、兩個實例

設y=f(x)在[a,b]上連續,且f(x)≥0,求以曲線y=f(x)為曲邊,以[a,b]為底邊的曲邊梯形的面積A.

為了計算A,用一組垂直于x軸的直線段把整個曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形.因為f(x)是連續變化的,可用小曲邊梯形的底邊作為寬,以它底邊上任意一點所對應的函數值f(x)作為長的小矩形面積來近似代替這個小曲邊梯形的面積.再把所有這些小矩形面積加起來,就可以得到曲邊梯形的面積A的近似值.設y=f(x)在[a,b]上連續,且f(x)≥0,求以

根據上面的分析,曲邊梯形面積可按下述“分割取近似,求和取極限”的步驟來計算:(1)細分

在區間[a,b]中任取若干分點:a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b,把曲邊梯形的底[a,b]分成n個小區間:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…,[xn-1,xn].小區間[xi-1,xi]的長度記為Δxi=xi-xi-1

(i=1,2,3,…,n).過各分點作垂直于x軸的直線段,把整個曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,其中第i個小曲邊梯形的面積記為ΔAi(i=1,2,…,n).根據上面的分析,曲邊梯形面積可按下述“分割取近似,求和(2)取近似

在第i個小曲邊梯形的底[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),它所對應的函數值是f(ξi).用相應的寬為Δxi、長為f(ξi)的小矩形面積來近似代替這個小曲邊梯形的面積,即ΔAi≈f(ξi)Δxi.

(2)取近似

2.變速直線運動的路程

設一物體做變速直線運動,已知速度v=v(t)是時間區間[a,b]上t的連續函數,且v(t)≥0,求該物體在由a到b這段時間內所經過的路程s.

速度函數v=v(t)是連續變化的,所以在很短的一段時間內速度的變化很小,近似于等速.因此,若把時間間隔分得很小,那么在一小段時間內,就可以用勻速直線運動的路程作為這一小段時間內變速直線運動路程的近似值.因此,我們可采用與求曲邊梯形面積相仿的四個步驟來計算路程s.2.變速直線運動的路程設一物體做變速直線運動,已知速(1)細分

任取區間[a,b]內n-1個分點:a=t0<t1<t2<…<ti-1<ti<…<tn-1<tn=b,這些分點把時間區間[a,b]分成n個小區間:[t0,t1],[t1,t2],…,[ti-1,ti],…,[tn-1,tn].小區間[ti-1,ti]的長度記為Δti=ti-ti-1

(i=1,2,…,n).(2)取近似

在小區間[ti-1,ti]上,用其中任一時刻ξi的速度v(ξi)(ti-1≤ξi≤ti)來近似代替小區間[ti-1,ti]上各個時刻的速度,從而得到Δsi的近似值:Δsi≈v(ξi)Δti.(1)細分(2)取近似

二、定積分的定義

§17-1定積分的概念二、定積分的定義

§17-1定積分的概念

其中f(x)叫做被積函數,f(x)dx叫做被積表達式,x叫做積分變量,a與b分別叫做積分的下限和上限,[a,b]叫做積分區間.

其中f(x)叫做被積函數,f(x)dx叫做被積表達

§17-1定積分的概念二、定積分的幾何意義

§17-1定積分的概念二、定積分的幾何意義

例1用定積分表示圖中四個圖形陰影部分的面積.

例1用定積分表示圖中四個圖形陰影部分的面積.

§17-2定積分的性質

假設函數在所討論的閉區間上都是連續的.§17-2定積分的性質

假設函數在所討論的閉區間上都是

這就是說,如果將積分區間分成兩部分,則在整個區間上的定積分等于這兩部分區間上定積分之和.

這就是說,如果將積分區間分成兩部分,則在整個區間

總之,不論c點在[a,b]內還是在[a,b]外,只要上述兩個積分存在,性質4總是正確總之,不論c點在[a,b]內還是在[a,b]外,只要

在[a,b]上至少能找到一點ξ,使以f(ξ)為高,[a,b]為底的矩形面積等于曲邊梯形abNM的面積.

在[a,b]上至少能找到一點ξ,使以f(ξ)為高,[§17-3

牛頓-萊布尼茲公式一、積分上限函數

函數Φ(x)稱為定義在區間[a,b]上的積分上限函數.§17-3牛頓-萊布尼茲公式一、積分上限函數

函數Φ(x

§17-3

牛頓-萊布尼茲公式二、牛頓-萊布尼茲公式公

§17-3牛頓-萊布尼茲公式二、牛頓-萊布尼茲公式公

§17-4

定積分的換元法與分部積分法一、定積分的換元法公

§17-4定積分的換元法與分部積分法一、定積分的換元法公

§17-4

定積分的換元法與分部積分法二、定積分的分部積分法公

§17-4定積分的換元法與分部積分法二、定積分的分部積分

例7求由曲線y=arctanx與直線x=0,x=1及y=0所圍成的圖形的面積.

例7求由曲線y=arctanx與直線x=0,x=1及y

§17-5

定積分在幾何上的應用一、定積分的元素法和平面圖形的面積

設函數y=f(x)在區間[a,b]上連續且f(x)≥0.用[x,x+dx]表示一個小區間,并取這個小區間的左端點x為ξi.這樣,以點x處的函數值f(x)為長,以dx為寬的小矩形面積f(x)dx就是區間[x,x+dx]上的小曲邊梯形面積ΔA的近似值.§17-5定積分在幾何上的應用一、定積分的元素法和平面圖

例2求由拋物線y2=2x與直線2x+y-2=0所圍成的圖形面積.

例2求由拋物線y2=2x與直線2x+y-2=0所圍成的

§17-5

定積分在幾何上的應用一、旋轉體的體積旋轉體是由曲邊y=f(x),直線x=a,x=b及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而形成的.它的主要特征是垂直于曲邊梯形底邊的平面截旋轉體所得的截面都是圓.§17-5定積分在幾何上的應用一、旋轉體的體積旋轉體是由

解設圓錐的旋轉軸重合于x軸,即圓錐是由直角三角形ABO繞OB旋轉而成,直線OA的方程為(1)取積分變量為x,積分區間為[0,h].

解設圓錐的旋轉軸重合于x軸,即圓錐是由直角三角形ABO繞

例4求圓x2+y2=R2繞y軸旋轉所形成的球的體積.解球是關于x軸對稱的,故可先求上半球的體積.上半球是由曲邊三角形

例4求圓x2+y2=R2繞y軸旋轉所形成的球的體積.解

(1)取積分變量為y,積分區間為[0,R].

(1)取積分變量為y,積分區間為[0,R].

例5求由曲線y2=x,x2=y所圍成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積

例5求由曲線y2=x,x2=y所圍成的圖形繞x軸旋轉而

(2)在區間[0,1]上任取一小區間[x,x+dx],與它對應的薄片體積近似于πxdx-πx4dx,即dV=π(x-x4)dx.

(2)在區間[0,1]上任取一小區間[x,x+dx],與它§17-6

定積分在物理上的應用一、變力做功公例1把一個帶+q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處,它產生一個電場.這個電場對周圍的電荷有作用力.由物理學知道,如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方,那么電場對它的作用力的大小為當這個單位正電荷在電場中從r=a處沿r軸移動到r=b(a<b)處時,計算電場力F對它所做的功.§17-6定積分在物理上的應用一、變力做功公例1把一個

解(1)取積分變量為r,積分區間為[a,b].

解(1)取積分變量為r,積分區間為[a,b].

§17-6

定積分在物理上的應用二、液體的壓力公例3設有一豎直的閘門,形狀是等腰梯形,它的某些尺寸如圖所示.當水面齊閘門頂時,求閘門所受的水壓力.§17-6定積分在物理上的應用二、液體的壓力公例3設有解(1)建立直角坐標系,如圖所示.取積分變量為x,積分區間為[0,6].

解(1)建立直角坐標系,如圖所示.取積分變量為x,積分區

§17-7

積分區間為無限的廣義積分先看下面的例子

§17-7積分區間為無限的廣義積分先看下面的例子

第十八章多元函數微積分簡介§18-1

空間直角坐標系§18-2

向量的坐標表示§18-3

向量的數量積和向量積§18-4

曲面和曲線§18-7

多元函數的極值§18-5

多元函數的極限與連續§18-6

偏導數§18-8

二重積分第十八章多元函數微積分簡介§18-1空間直角坐標系§§18-1

空間直角坐標系一、空間直角坐標系的概念

在空間取三條相互垂直且相交于O點的數軸構成空間直角坐標系.這三條數軸按右手系依次稱為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸),三條軸統稱為坐標軸,點O稱為坐標原點.§18-1空間直角坐標系一、空間直角坐標系的概念

任意兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標面.空間直角坐標系共有xOy、yOz、zOx三個坐標面,這三個坐標面相互垂直且相交于原點O.它們把空間分成八個部分,每一部分稱為一個卦限.

空間中的點M與三元有序數組(x,y,z)之間具有一一對應關系.(x,y,z)稱為點M的坐標,記作M(x,y,z).x,y,z分別稱為點M的橫坐標、縱坐標和豎坐標(或稱為x坐標、y坐標、z坐標).任意兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標面.空間直角坐標系

八個卦限里以及原點、坐標軸、坐標面上點的坐標的特征列表如下。卦限坐標符號特殊點坐標一(+,+,+)原點(0,0,0)或x=y=z=0二(-,+,+)x軸上的點(x,0,0)或y=z=0三(-,-,+)y軸上的點(0,y,0)或x=z=0四(+,-,+)z軸上的點(0,0,z)或x=y=0五(+,+,-)xOy面上的點(x,y,0)或z=0六(-,+,-)yOz面上的點(0,y,z)或x=0七(-,-,-)zOx面上的點(x,0,z)或y=0八(+,-,-)

八個卦限里以及原點、坐標軸、坐標面上點的坐標的特征列例1指出下列各點所在的卦限:(2,-1,-4),(-1,-3,1),(2,1,-1).解點(2,-1,-4)在第八卦限,點(-1,-3,1)在第三卦限,點(2,1,-1)在第五卦限.例1指出下列各點所在的卦限:(2,-1,-4),(-1,-例2在空間直角坐標系中作出點(2,-1,3)、(-1,2,-1)、(2,0,2).

例2在空間直角坐標系中作出點(2,-1,3)、(-1,2,§18-1

空間直角坐標系二、空間兩點間的距離設M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)是空間兩點,

稱為空間兩點間的距離公式.例3求點M(x,y,z)到三條坐標軸的距離.§18-1空間直角坐標系二、空間兩點間的距離設M1(x1

例5在y軸上求與點A(1,-3,7)和B(5,7,-5)等距離的點.

例5在y軸上求與點A(1,-3,7)和B(5,7,-5)§18-2

向量的坐標表示一、向量的坐標表示

§18-2向量的坐標表示一、向量的坐標表示

以原點為起點的向量與三元有序數組(x,y,z)是一一對應的.因此,把x,y,z稱為向量a的坐標,并記作{x,y,z},即a={x,y,z}.稱為向量a的坐標表示式.以原點為起點的向量與三元有序數組(x,y,z)是一一

特別地,0,i,j,k的坐標表示式分別為

0={0,0,0},i={1,0,0},j={0,1,0},k={0,0,1}.

特別地,0,i,j,k的坐標表示式分別為0§18-2

向量的坐標表示二、向量的加、減及數乘運算的坐標表示

§18-2向量的坐標表示二、向量的加、減及數乘運算的坐標設向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則

a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k={ax+bx,ay+by,az+bz},

a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k={ax-bx,ay-by,az-bz},

λa=λaxi+λayj+λazk={λax,λay,λaz}

(λ為實數).例1設向量a=3i-j+2k,b=-2i-2j+k,用基本單位向量的分解式表示a+b,a-b,-3a.設向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk解a+b=(3i-j+2k)+(-2i-2j+k)=(3-2)i+(-1-2)j+(2+1)k=i-3j+3k.a-b=(3i-j+2k)-(-2i-2j+k)=[3-(-2)]i+[-1-(-2)]j+(2-1)k=5i+j+k.

-3a=-3(3i-j+2k)=-9i+3j-6k.解a+b=(3i-j+2k)+(-2i-2j+k)a-b=§18-2

向量的坐標表示三、向量的模和方向余弦的坐標表示

§18-2向量的坐標表示三、向量的模和方向余弦的坐標表示

§18-3

向量的數量積和向量積一、兩向量的數量積

§18-3向量的數量積和向量積一、兩向量的數量積

定理兩向量a、b垂直的充要條件是a·b=0.

設向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,由向量數量積的運算性質得

a·b=(axi+ayj+azk)·(bxi+byj+bzk)=axbx(i·i)+axby(i·j)+axbz(i·k)+

aybx(j·i)+ayby(j·j)+aybz(j·k)+

azbx(k·i)+azby(k·j)+azbz(k·k),所以a·b=axbx+ayby+azbz.稱為向量的數量積的坐標表示式.定理兩向量a、b垂直的充要條件是a·b=0.設向量

例1已知向量a={11,10,2},b={4,0,3},求:(1)a·b;(2)a與b的夾角.解(1)根據向量數量積的坐標表示式得a·b=axbx+ayby+azbz=11×4+10×0+2×3=50.

例1已知向量a={11,10,2},b={4,0,3}§18-3

向量的數量積和向量積二、兩向量的向量積

§18-3向量的數量積和向量積二、兩向量的向量積

兩向量的向量積有以下運算性質:(1)a×a=0;(2)a×0=0;(3)b×a=-a×b;(4)結合律(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

(λ為實數);(5)分配律(a+b)×c=a×c+b×c.定理兩向量a、b平行的充要條件是a×b=0.兩向量的向量積有以下運算性質:定理兩向量a、b平行的充要條

設向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,由向量積的運算性質得

a×b=(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)=axbx(i×i)+axby(i×j)+axbz(i×k)+

aybx(j×i)+ayby(j×j)+aybz(j×k)+

azbx(k×i)+azby(k×j)+azbz(k×k)=(aybz-azby)i-(axbz-azbx)j+(axby-aybx)k.

設向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj

例2已知向量a={2,1,-1},b={1,-1,2},求a×b以及以a、b為邊的平行四邊形的面積.

例2已知向量a={2,1,-1},b={1,-1,2}

例3設向量a=i+j,b=k,求同時垂直于a、b的單位向量.

例3設向量a=i+j,b=k,求同時垂直于a、b的單位向§18-4

曲面和曲線一、曲面與方程

在空間解析幾何中,可將曲面視為動點的運動軌跡.如果曲面Σ與三元方程F(x,y,z)=0有如下關系:(1)曲面Σ上任意一點的坐標(x,y,z)都滿足方程F(x,y,z)=0;(2)不在曲線Σ上的點的坐標都不滿足方程F(x,y,z)=0,則稱方程F(x,y,z)=0是曲面Σ的方程,而稱曲面Σ是方程F(x,y,z)=0的圖形.§18-4曲面和曲線一、曲面與方程在空間解析幾何中關于曲面與方程,討論如下兩類問題.(1)已知曲面,建立該曲面的方程

大致有以下幾個步驟:首先建立適當的空間直角坐標系;其次設曲面上的動點為P(x,y,z),根據已知條件建立含有x,y,z的等式;最后把此等式化簡,即得所求的曲面方程.例1一動點P(x,y,z)與兩定點A(1,1,0)、B(2,0,1)等距離,求動點P的軌跡方程.解動點為P(x,y,z),依題意有|AP|=|BP|,利用兩點間的距離公式得關于曲面與方程,討論如下兩類問題.(1)已知曲面,建立該曲將上式兩端平方后化簡得2x-2y+2z-3=0,此方程即為所求動點P的軌跡方程.

動點P的軌跡是線段AB的垂直平分面,因此所求方程也是線段AB的垂直平分面方程.

將上式兩端平方后化簡得2x-2y+2z-3=0,此方程即為所§18-4

曲面和曲線二、幾種常用的曲面1.平面(1)平面的點法式方程

過空間一點作與已知直線垂直的平面是唯一的.因此,如果已知平面上一個點及垂直于該平面的一個非零向量,那么這個平面的位置由這個已知點和這個非零向量完全確定.§18-4曲面和曲線二、幾種常用的曲面1.平面(1)垂直于平面的任一非零向量稱為這個平面的法向量.

這個方程稱為平面的點法式方程.垂直于平面的任一非零向量稱為這個平面的法向量.

這個方程稱為(2)平面的一般式方程

將平面的點法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0展開,得Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0,記-(Ax0+By0+Cz0)=D,得Ax+By+Cz+D=0

(A,B,C不全為零).這個方程稱為平面的一般式方程.

平面的方程為一個三元一次方程;反之,任何一個三元一次方程均表示一個平面.(2)平面的一般式方程將平面的點法式方程A(x-x0

特別地,當一般式方程中某些系數或常數項為零時,平面對于坐標系具有特殊的位置關系.（1）通過原點的平面方程為Ax+By+Cz=0

(D=0).（2）坐標面的方程為（3）平行于坐標面的平面的方程為x=a

(平行于yOz面),y=b

(平行于zOx面),z=c

(平行于xOy面).x=0

(yOz面),y=0

(zOx面),z=0

(xOy面).特別地,當一般式方程中某些系數或常數項為零時,平面對于（4）平行于坐標軸的平面的方程為Ax+By+D=0

(不含z,平行于z軸),Ax+Cz+D=0

(不含y,平行于y軸),By+Cz+D=0

(不含x,平行于x軸).例3設一平面經過點(3,-4,5),且與向量n={6,-4,7}垂直,求此平面的方程.解由平面的點法式方程得所求平面的方程為6(x-3)-4(y+4)+7(z-5)=0,即6x-4y+7z-69=0.例4求過三點M1(1,1,1)、M2(2,0,1)、M3(-1,-1,0)的平面方程.（4）平行于坐標軸的平面的方程為Ax+By+D=0(不含z

(3)平面的截距式方程

(3)平面的截距式方程

這個方程稱為平面的截距式方程.其中a,b,c分別稱為平面在x軸、y軸、z軸上的截距.(4)點到平面的距離

這個公式稱為點到平面的距離公式.這個方程稱為平面的截距式方程.其中a,b,c分別稱為例5求兩個平行平面19x-4y+8z+21=0與19x-4y+8z+42=0之間的距離.解因為這兩個平面平行,所以只需求出一個平面上的任意一點到另一平面的距離即可.設點M0(x0,y0,z0)為平面19x-4y+8z+21=0上的一點,則有19x0-4y0+8z0=-21.

例5求兩個平行平面19x-4y+8z+21=0與19x-42.二次曲面

由一個三元二次方程表示的曲面稱為二次曲面.(1)球面

與一定點的距離為定長的空間點的軌跡叫做球面.這個定點叫做這個球面的球心,定長叫做這個球面的半徑.

2.二次曲面由一個三元二次方程表示的曲面稱為二次曲面特別地,球心在原點O(0,0,0)、半徑為R的球面方程為x2+y2+z2=R2.

一般地,方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0稱為球面的一般方程.(2)柱面

一動直線L沿已知曲線C移動,且始終與某一條定直線平行,這樣形成的曲面稱為柱面.其中L稱為柱面的母線,C稱為柱面的準線.特別地,球心在原點O(0,0,0)、半徑為R的球面方程為

設準線是xOy面內的曲線,即C:F(x,y)=0,則準線為曲線C、母線為L平行于z軸的柱面方程為F(x,y)=0

(不含z).

準線是二次曲線的柱面稱為二次柱面.常見的二次柱面有以下幾種.

設準線是xOy面內的曲線,即準線是二次曲線的

③拋物柱面:y2=2px

(p>0).

柱面方程也可以是F(y,z)=0(不含x,母線平行于x軸)或F(x,z)=0(不含y,母線平行于y軸).

③拋物柱面:y2=2px(p>0).柱面方程(3)旋轉曲面

一條平面曲線C繞其平面上的一條定直線L旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.曲線C稱為旋轉曲面的母線,定直線L稱為旋轉曲面的旋轉軸.球面、圓柱面都是旋轉曲面.

(3)旋轉曲面一條平面曲線C繞其平面上的一條定直線

以坐標面上的曲線為母線,以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方程的一般求法:已知某坐標面上的曲線C繞某坐標軸旋轉,為了求此旋轉曲面的方程,只要使曲線方程中與旋轉軸同名的坐標變量保持不變,而以其他兩個坐標變量平方和的平方根來代替方程中的另一個坐標變量.例6求yOz面上的拋物線z=ay2繞z軸旋轉所得的旋轉曲面方程.

以坐標面上的曲線為母線,以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方例7求yOz面內的拋物線z=6-y2繞z軸旋轉所成的旋轉曲面方程.

例7求yOz面內的拋物線z=6-y2繞z軸旋轉所成的旋轉曲

§18-4

曲面和曲線三、空間曲線1.空間曲線的一般方程

§18-4曲面和曲線三、空間曲線1.空間曲線的一般方程

解方程x2+y2+z2=16表示以原點為球心、以4為半徑的球面;y=3表示平行于zOx面的平面,方程組

解方程x2+y2+z2=16表示以原點為球心、以4為半

2.空間曲線在坐標面上的投影

以空間曲線C為準線、母線平行于z軸的柱面,稱為空間曲線C關于xOy面的投影柱面.投影柱面與xOy面的交線C'稱為C在xOy面上的投影曲線,簡稱投影.

2.空間曲線在坐標面上的投影以空間曲線C為準線、

這個方程稱為空間曲線C關于xOy面的投影柱面方程.

從曲線C的方程中分別消去x和y,可分別求得曲線C關于yOz面和zOx面的投影柱面方程R(y,z)=0和T(z,x)=0.

這個方程稱為空間曲線C關于xOy面的投影柱面方程.

§18-5

多元函數的極限與連續一、多元函數的概念定義設在某個變化過程中有三個變量x、y、z,如果對于變量x、y在其允許的實數范圍內所取的每一組值(x,y),按照某種對應法則,變量z總有確定的實數與之對應,則稱z是x、y的二元函數,記作z=f(x,y).其中x、y稱為自變量,z稱為因變量.自變量x、y所允許的取值范圍稱為函數的定義域.

二元函數在點P0(x0,y0)所取得的函數值記作f(x0,y0)或f(P0)§18-5多元函數的極限與連續一、多元函數的概念定義設

類似地可以定義三元函數u=f(x,y,z)以及三元以上的函數.一般地,可以定義n個自變量的函數u=f(x1,x2,…,xn).n個自變量的函數稱為n元函數.自變量的個數大于或等于2的函數統稱為多元函數.

在討論二元函數z=f(x,y)的定義域時,如果函數是由實際問題得到的,其定義域根據它的實際意義來確定;對于用解析式表示的二元函數,其定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍.二元函數z=f(x,y)的定義域一般是xOy面上的平面區域.如果區域延伸到無限遠處,就稱這樣的區域是無界的;否則,它總可以被包圍在一個以原點O為中心而半徑適當大的圓內,這樣的區域稱為有界的.圍成平面區域的曲線稱為該區域的邊界.包含邊界的區域為閉區域,不包括邊界的區域為開區域.類似地可以定義三元函數u=f(x,y,z)以及三元以

解(1)要使函數有意義,x,y必須滿足R2-x2-y2≥0,所以函數的定義域是x2+y2≤R2.滿足x2+y2≤R2的全體(x,y)構成xOy面上的有界閉區域:{(x,y)|x2+y2≤R2}.

解(1)要使函數有意義,x,y必須滿足R2-x2-y2

(3)函數的定義域是-1≤x+y≤1.這是xOy面上介于兩條直線x+y=-1、x+y=1之間(包含這兩條直線)的一個無界閉區域:{(x,y)|-1≤x+y≤1}.

(3)函數的定義域是-1≤x+y≤1.這是xOy面上介于§18-5

多元函數的極限與連續二、二元函數的幾何表示

設二元函數z=f(x,y)的定義域是xOy面上的區域D.對于D內的每一點P(x,y),把它所對應的函數值z=f(x,y)作為豎坐標,就有空間中的一點M(x,y,z)相對應.當P(x,y)在D內變動時,點M(x,y,z)就在空間變動,點M的軌跡就是二元函數z=f(x,y)的圖形.一般說來,它是一個曲面,該曲面在xOy面上的投影即為函數的定義域D.

§18-5多元函數的極限與連續二、二元函數的幾何表示§18-5

多元函數的極限與連續三、二元函數的極限

§18-5多元函數的極限與連續三、二元函數的極限

說明1.定義中要求存在某個鄰域,使函數在該鄰域內除點P0外的所有點上都有定義,但事實上,只要在點P0的任意鄰域內都有函數定義域中的點即可.

說明1.定義中要求存在某個鄰域,使函數在該鄰域內除點P0外

§18-5

多元函數的極限與連續四、二元函數的連續性

如果函數z=f(x,y)在區域D內每一點處都連續,則稱函數z=f(x,y)在區域D內連續.§18-5多元函數的極限與連續四、二元函數的連續性

設函數z=f(x,y)在區域D內及其邊界上有定義,當點P(x,y)從D內趨近于邊界點P0(x0,y0)時,如果f(x,y)的極限存在且等于f(x0,y0),則稱函數z=f(x,y)在邊界點P0(x0,y0)處連續.如果在區域D的邊界上每一點處都具有上述意義的連續,則稱函數z=f(x,y)在區域D的邊界上連續.

如果函數z=f(x,y)在區域D內每一點都連續,且在D的邊界上每一點也連續,則稱函數z=f(x,y)在閉區域D上連續.

二元連續函數的圖形是一個沒有任何空隙和裂縫的曲面設函數z=f(x,y)在區域D內及其邊界上有定義,當

使二元函數不連續的點稱為函數的間斷點.例如:

一切二元初等函數在其定義區域內都是連續的.使二元函數不連續的點稱為函數的間斷點.例如:

在有界閉區域上的二元連續函數具有類似于閉區間上的一元連續函數的性質:性質1(最大值和最小值定理)如果二元函數f(x,y)在有界閉區域D上連續,那么f(x,y)在D上必能取得最大值和最小值.性質2(介值定理)若二元函數f(x,y)在有界閉區域D上連續,則函數f(x,y)在D上必能取到介于它的最小值與最大值之間的任何數值.在有界閉區域上的二元連續函數具有類似于閉區間上的一元§18-6

偏導數一、二元函數的偏導數定義

設二元函數

z

f

(

x,

y)在點(

x0

,

y0

)

處及其附近有定義,當自變量

y保持

y0

不變,而

x

在x0

處有改變量

x時

,

函數有相應增量f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

).如果極限

lim f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)

存在,

x0x則稱此極限值為函數z

f

(

x,

y)在點(

x0

,

y0

)處關于

x

的偏導數,記作fx(

x0

,

y0

)或x或f

(

x0

,

y0

) zx0y

y0x

x或z0y

y0xx

x§18-6偏導數一、二元函數的偏導數定義設二元函數z即fx(

x0

,

y0

)

limf

(

x0

x

,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)x0x.類似地,函數

z

f

(

x,

y)

在點

(

x0

,

y0

)

處關于

y的偏導數為

lim f

(

x0

,

y0

y)

f

(

x0

,

y0

)

,記作

y0y

fy(

x0

,

y0

)或y或0y

y0x

xzy或zy

,0y

y0x

xf

(

x0

,

y0

)即fy(

x0

,

y0

)

limf

(

x0

,

y0

y)

f

(

x0

,

y0

)y0y.即fx(x0,y0)limf(x0如果函數

z

f

(

x,

y)

在區域

D

內的每一點(

x,

y)

處關于

x

的偏導數都存在,這個偏導數仍是

x,

y

的二元函數,稱其為函數

z

f

(

x,

y)

關于

x

的偏導函數,簡稱偏導數,記作fx

(

x

,

y)或z fx x或 或zx

.類似地,可以定義函數

z

f

(

x,

y)

關于

y

的偏導函數,記作fy

(

x

,

y)或z fy y或 或zy

.如果函數z f(x,y)在區域D內的每一點fy

(

x0

,

y0

)=

fy

(

x

,

y)

x

x

0y

y0說明：推廣[n元函數的偏導數]例如：三元函數uf(x,y,z)，有三個偏導數，分別記為ux,uy和uz.偏導數的求法：fx(

x0

,

y0

)

fx(

x,

y)

(

x

,

y

)0 0求多元函數對某個變量的偏導數時,將其余變量視為常量.fy(x0,y0)=fy(x,y)

將

y視為常量對

x

求偏導數,得解：

將

x

視為常量對

y求偏導數,得

將y視為常量對x求偏導數,得解：將x視為常量對例

2

設z

yx

,試證

y

z

1z

2z.x

y ln

y

x證：

將

y視為常量對

x

求偏導數,z

yx

ln

y,x將

x

視為常量對

y求偏導數,z

xyx1,y于是z

y

xyx1

y

z

11yx

ln

y

x

y ln

y

x xln

y

2

yx

2z例2設zyx,試證yz1z 2z例3

設ux2

y2

z2,試證根據函數ux2

y2

z2的自對稱性,有(

u

)2

(

u

)2

(

u

)2

1.x y z證

:所以2 22(

u

)2

(

u

)2

(

u

)2

xx2

y2

z2

1.y

zx

y

z例3設ux2y2z2,試證根據函§18-6

偏導數二、高階偏導數定義

設

z

f

(

x,

y)在區域

D

內具有偏導數

zx和

z

,如果它們關于

x

,

y的偏導數也存在，則y稱這兩個偏導數的偏導數為z

f

(

x,

y)的二階偏導數.§18-6偏導數二、高階偏導數定義設z f(

z

2

z2

fxx

(

x,

y)

zxx

(

x,

y),x

xx

z

2

z

f (

x,

y)

z

(

x,

y),yxyxx

yyx

z

2

z2

fyy

(

x,

y)

zyy

(

x,

y).y

yy

z

2

z

f (

x,

y)

z

(

x,

y),xyxyy

xxy

這樣的二階偏導數共有四個,分別記作 z 2z2 fxx(x,y)其中偏導數 , 稱為二階混合偏導數.

2

z

2

zxy

yx同樣還可以定義三階、四階乃至n階偏導數,例如:二階以及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.其中偏導數 , 稱為二階混合偏導數.2z 2zz

y2exy,z

exy

xyexy

exy(1

xy),x y

z2

yexy

(1

xy)

e

xy

y

yx2

xexy

(1

xy)

exy

x

y2

z23 xy

z

y

e ,x2xy

2yexy

xy2exy,

z2解:例1

求z

yexy的二階偏導數.

2

yexy

xy2exy

,

2xe

x2

yexy

.xyzy2exy,zexyx

§18-7

多元函數的極值一、二元函數的極值定義設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內有定義.如果對于該鄰域內所有異于點P0的點P(x,y)都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),則稱函數f(x,y)在點P0(x0,y0)處有極大值(或極小值)f(x0,y0).極大值和極小值統稱為函數的極值.相應地,稱點P0為極大值點(或極小值點).極大值點和極小值點統稱為極值點.§18-7多元函數的極值一、二元函數的極值定義設函數z例1函數f(x,y)=x2+y2+1在點(0,0)處有極小值1.

例3函數z=xy在點(0,0)處沒有極值,因為在點(0,0)的任何鄰域內函數值不可能都是正值或都是負值.定理1(極值存在的必要條件)設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處有極值,且在點P0(x0,y0)處的偏導數存在,則函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處的兩個偏導數必為零,即fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.例1函數f(x,y)=x2+y2+1在點(0,0)處有極小

定理1說明,只要函數z=f(x,y)的偏導數存在,那么它的極值點一定是駐點.但是,函數的駐點不一定是極值點.定理2(極值存在的充分條件)設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內具有連續的一階、二階偏導數,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.記fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,Δ=B2-AC,

定理1說明,只要函數z=f(x,y)的偏導數存在,(1)當Δ<0時,函數z=f(x,y)在P0(x0,y0)處有極值,并且若A>0,則f(x0,y0)為極小值;若A<0,則f(x0,y0)為極大值.(2)當Δ>0時,函數z=f(x,y)在P0(x0,y0)處沒有極值.(3)當Δ=0時,函數z=f(x,y)在P0(x0,y0)處可能有極值,也可能沒有極值.求函數z=f(x,y)極值的主要步驟歸納如下:

(1)當Δ<0時,函數z=f(x,y)在P0(x0,y0)例4求函數f(x,y)=3xy-x3-y3的極值.

例4求函數f(x,y)=3xy-x3-y3的極值.

像一元函數一樣,可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值.一般地說,如果函數f(x,y)在閉區域D上連續,則f(x,y)在D上必定能取得它的最大值和最小值.例5欲做一個容量一定的長方體箱子,問應選擇怎樣的尺寸,才能使做此箱子的材料最省?

像一元函數一樣,可以利用函數的極值來求函數的最大值和

在實際問題中,如果函數f(x,y)在區域D內一定能取得最大值(或最小值),而f(x,y)在D內只有唯一駐點,那么可以肯定該駐點處的函數值就是函數f(x,y)在區域D上的最大值(或最小值).

在實際問題中,如果函數f(x,y)在區域D內一定能§18-7

多元函數的極值二、條件極值拉格朗日乘數法

前面所討論的極值問題,自變量的變化是在函數的定義域范圍內,除此之外沒有其他附加條件的限制,因此這種極值有時又稱為無條件極值.但在許多實際問題中,函數的自變量還要滿足某些附加條件,這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.條件極值有以下兩種求法.1.轉化為無條件極值

對一些簡單的條件極值問題,利用附加條件,消去函數中的某些自變量,將條件極值轉化為無條件極值.§18-7多元函數的極值二、條件極值拉格朗日乘數法

2.拉格朗日乘數法

求函數z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的可能極值點的方法——拉格朗日乘數法,步驟如下:

2.拉格朗日乘數法求函數z=f(x,y)在條件φ(1)構造拉格朗日函數F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ是某個常數;

(1)構造拉格朗日函數

例6利用拉格朗日乘數法求解

欲做一個容量一定的長方體箱子,問應選擇怎樣的尺寸,才能使做此箱子的材料最省?解設箱子的長、寬、高分別為x、y、z,容量為V(常數),表面積為S,則所要解決的問題就是求函數S=2(xy+yz+xz)在條件xyz=V限制之下的最小值.構造拉格朗日函數F(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-V).求出函數F(x,y,z)的三個偏導數,并令它們都為0,然后與條件方程xyz=V聯立,組成方程組例6利用拉格朗日乘數法求解解設箱子的長、寬、高分別為x、

§18-8

二重積分一、二重積分的概念1.問題的提出(1)曲頂柱體的體積

設有一個立體,它的底是xOy面上的有界閉區域D,它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x,y)≥0且在D上連續.這種立體叫做曲頂柱體.§18-8二重積分一、二重積分的概念1.問題的提出(1

求曲頂柱體的體積可以像求曲邊梯形的面積那樣采用“分割取近似,求和取極限”的方法來解決.步驟如下:①用有限條曲線將區域D分割為n個小區域Δσ1,Δσ2,…,Δσn,同時用上述記號表示各小區域的面積,相應地把曲頂柱體分為n個以Δσi為底面、母線平行于z軸的小曲頂柱體,其體積記為ΔVi(i=1,2,…,n).②在每個小區域Δσi上任取一點M(xi,yi),可得高為f(xi,yi)、底為Δσi的小平頂柱體,并用這個小平頂柱體的體積作為第i個小曲頂柱體體積的近似值,即ΔVi≈f(xi,yi)Δσi

(i=1,2,…,n).求曲頂柱體的體積可以像求曲邊梯形的面積那樣采用“分割

2.二重積分的定義

2.二重積分的定義

定理(二重積分存在定理)若函數f(x,y)在有界閉區域D上連續,則函數f(x,y)在D上可積.

定理(二重積分存在定理)若函數f(x,y)在有界閉區域D3.二重積分的幾何意義

3.二重積分的幾何意義

4.二重積分的性質

4.二重積分的性質

這個性質的幾何意義表示:高為1的平頂柱體的體積,在數值上就等于柱體的底面積.

這個性質的幾何意義表示:高為1的平頂柱體的體積§18-8

二重積分一、直角坐標系中二重積分的計算

§18-8二重積分一、直角坐標系中二重積分的計算

用垂直于x軸的任一平面x=x0(a≤x0≤b)去切割曲頂柱體,

用垂直于x軸的任一平面x=x0(a≤x0≤b)去切割曲

如果積分區域D的邊界線(平行于x軸或y軸的直線段除外)與平行于x軸或y軸的直線的交點多于兩個,則應將積分區域分為若干小區域,再利用性質3進行計算.

計算二重積分的步驟歸納如下:(1)畫出積分區域D的圖形,考察區域D是否需要分塊;如果積分區域D的邊界線(平行于x軸或y軸的直線段除外(2)選擇積分次序,將區域D用不等式組表示,以確定二次積分的上、下限;(3)利用公式計算二次積分,得出積分結果.

(2)選擇積分次序,將區域D用不等式組表示,以確定二次積分

D1和D2可合并成一個區域D.根據D的圖形把D改寫成x型區域,并用不等式組表示為

D1和D2可合并成一個區域D.根據D的圖形把D改寫成x型

§18-8

二重積分三、二重積分應用舉例例5求兩個半徑相同的直交圓柱體公共部分的體積.解建立如圖所示的坐標系.設兩圓柱體底半徑為R,其圓柱面方程分別為x2+y2=R2,x2+z2=R2.利用對稱性,只要求出兩直交圓柱體公共部分在第一卦限(即x≥0,y≥0,z≥0)部分的體積,然后乘以8即可.§18-8二重積分三、二重積分應用舉例例5求兩個半徑相

例6求由拋物線y=x2-2與直線y=x所圍成的平面圖形的面積.

例6求由拋物線y=x2-2與直線y=x所圍成的平面圖形的面例7有一個等腰直角三角形薄片,腰長為a,各點處的面密度等于該點到直角頂點距離的平方,求此薄片的質量.

例7有一個等腰直角三角形薄片,腰長為a,各點處的面密度等于

第十九章級數§19-1

常數項級數§19-2

冪級數§19-3

函數的冪級數展開式§19-4

傅里葉級數第十九章級數§19-1常數項級數§19-2冪級數§19-1

常數項級數一、常數項級數的基本概念

一般地,我們把上式的前n項的和Sn=u1+