多自由度線性系統(tǒng)的振動第五章多自由度線性系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)：具有有限個自由度的系統(tǒng)，又稱為：集中參數(shù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)在振動理論研究中，常用一個由有限個慣性元件(質(zhì)量塊)、彈性元件(彈簧)和阻尼元件(阻尼器)組成的一個集中參數(shù)系統(tǒng)，作為多自由度振動系統(tǒng)的研究對象。將研究二自由度系統(tǒng)振動,得到的結(jié)論可推廣到任意多自由度系統(tǒng)。二自由度系統(tǒng)舉例連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)過適當離散化后，可近似表示為多自由度系統(tǒng)m1m2x1x2多自由度線性系統(tǒng)的振動m1200k1k3k212001200

yxycθ下圖中有兩個質(zhì)塊;由《材料力學》知，對于彈性模量為E，截面積A的拉壓桿，外力F與端點位移δ(變形)的關系是E,AE,AlllE,4Ax2x1質(zhì)量—彈簧模型建立多自由度線性系統(tǒng)的振動這表明拉壓桿就相當于一個彈簧，其彈簧系數(shù)從振動特性分析角度來說，彈簧模型與軸向拉壓桿模型是等價的。k4kkmmx1x2一般來說，若一個系統(tǒng)的位移(變形)可用N個獨立坐標來描述，則為N個自由度系統(tǒng)。其運動規(guī)律用N個二階常系數(shù)微分方程來確定。

N個自由度振動系統(tǒng)，具有N個固有頻率和N個相應的固有振(動)型(式)。它們構(gòu)成系統(tǒng)的N個特征對。多自由度線性系統(tǒng)的振動固有振型

：多自由度系統(tǒng)以某個固有頻率自由振動時，系統(tǒng)各自由度(坐標)將產(chǎn)生的同步諧和運動。而各自由度之間的相對振幅即為固有振型。多自由度線性系統(tǒng)的振動響應(自由振動和強迫振動)都可以由各個模態(tài)振動響應迭加而成。多自由度系統(tǒng)振動問題是一個多變量問題。對多變量問題，矩陣表示非常簡潔，物理概念清晰，數(shù)學求解方法系統(tǒng)規(guī)范，是分析多自由度振動系統(tǒng)的有力工具。多自由度振動系統(tǒng)的特征值分析通常歸結(jié)為矩陣特征值問題。模態(tài)（也稱固有模態(tài)或主模態(tài)）：是多自由度線性系統(tǒng)的一種固有屬性，可由系統(tǒng)的特征值與特征向量（固有振型）二者共同表示。多自由度線性系統(tǒng)的振動5.1多自由度系統(tǒng)振動方程的建立基本方法—牛頓第二定律以圖示二自由度系統(tǒng)為例畫出兩個質(zhì)量塊m1、m2分別有位移x1、x2時的分離體圖k1k2k3c1c2c3m2m1x1x2f1f2m2根據(jù)牛頓第二定律，有整理可得m1多自由度線性系統(tǒng)的振動

再簡寫其中質(zhì)量矩陣剛度矩陣阻尼矩陣位移(列)向量激振力(列)向量上述矩陣的特點：對稱陣(正定或半正定)，矩陣階數(shù)等于系統(tǒng)自由度數(shù)。對角元稱為主項，非對角元稱為耦合項。這是集中參數(shù)系統(tǒng)振動方程的一般形式。寫成矩陣微分方程形式多自由度線性系統(tǒng)的振動對于圖（a)中的系統(tǒng)，在前面得到的方程中，令(a)代入以上方程得到對與圖(a)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)等價的軸向拉壓桿系統(tǒng)，我們將采用另外一種方法來建立其振動方程k4kkmmx1x2f2多自由度線性系統(tǒng)的振動根據(jù)《結(jié)構(gòu)力學基礎》，桿單元的剛度矩陣為：以下將用k代替。1#桿2#桿3#桿x2E,AE,AlllE,4Ax1(b)1#桿2#桿3#桿03按桿件連接情況裝配總體剛度矩陣[K]多自由度線性系統(tǒng)的振動由于結(jié)點0、3是固定點，沒有位移，應在總剛陣中劃去相應的行和列，得到二自由度系統(tǒng)的剛度矩陣工程方法—采用達朗伯原理：將達朗伯慣性力引入，然后按結(jié)構(gòu)靜力分析方法建立方程。約束力多自由度線性系統(tǒng)的振動剛度法—根據(jù)結(jié)構(gòu)力學剛度方程建立振動微分方程：柔度法—根據(jù)柔度方程建立振動微分方程：[R]為系統(tǒng)的柔度矩陣實例操作如下：剛度影響系數(shù)

定義為沿坐標j發(fā)生單位位移，而其它坐標保持不動，由此在坐標i上所產(chǎn)生的力。柔度影響系數(shù)

定義為沿坐標j的柔度影響系數(shù)作用單位力，其它坐標沒有任何作用力，此時在坐標i上所產(chǎn)生的位移。多自由度線性系統(tǒng)的振動沿坐標x1上施加單位力1，求各自由度的位移:k1k2k3m1m2x1x21同理可得：由柔度法得振動方程：多自由度線性系統(tǒng)的振動對于一個實際工程結(jié)構(gòu)設計，如飛機結(jié)構(gòu)設計，在做振動分析之前，已先做了靜力分析，剛度陣[K]是現(xiàn)成的，只需準備質(zhì)量陣[M]就可建立振動方程。因此在實際工作中，剛度法遠比用牛頓第二定律的方法使用更方便。如果能通過試驗可以得到結(jié)構(gòu)的柔度陣[R]，如果測試條件允許,柔度法也是可取的方法。用實物測試具有較好精度。

在單自由度情況下，剛度和柔度互為倒數(shù)。在兩和多自由度情況下，剛度矩陣和柔度矩陣互為逆矩陣，但其元素之間不存在倒數(shù)關系。即5.2普遍方法—拉格朗日方程拉格朗日方程的優(yōu)點：無需逐個取分離體，不必考慮理想約束的反力，從系統(tǒng)的總體能量出發(fā)，格式步驟統(tǒng)一。多自由度線性系統(tǒng)的振動基本原理（虛位移原理）：在理想約束下，質(zhì)點系平衡的必要而充分的條件為所有主動力在虛位移上所做虛功之和為0。其中，T為系統(tǒng)的動能。U為系統(tǒng)的勢能，n為系統(tǒng)的自由度數(shù)，qj

為系統(tǒng)第j個獨立坐標，又稱為廣義坐標。Qj為對應于第j個廣義坐標的廣義力，這里Qj

是指除有勢力以外的所有廣義力，即非有勢力，如外激勵、阻尼力等。對于無阻尼自由振動的系統(tǒng)，廣義力為零。

拉格朗日方程：

求廣義力：廣義力在廣義坐標虛位移上所做虛功等同于系統(tǒng)主動力在物理坐標虛位移上所做虛功之和。多自由度線性系統(tǒng)的振動用拉格朗日方程建立振動微分方程的統(tǒng)一步驟選定系統(tǒng)獨立的廣義坐標qj；用廣義坐標表示系統(tǒng)的動能T和系統(tǒng)勢能U(標量函數(shù))，并計算有關偏導數(shù)；求出對應于各廣義坐標的廣義力(或力矩)；按廣義坐標分別代入拉格朗日方程。寫成矩陣形式并進行檢查如果能夠確定阻尼的耗能函數(shù)D，則廣義阻尼力可表示為：假設粘性阻尼的耗能函數(shù)為：多自由度線性系統(tǒng)的振動設翼段質(zhì)量為m，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為J0。取俯仰角，剛心平移位移w為系統(tǒng)兩個廣義坐標，系統(tǒng)的動能為：(質(zhì)心平動動能+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能)計算有關偏導數(shù)可得：質(zhì)心ekbwkv同理可得：再無其他非有勢力(重力在取坐標原點時已經(jīng)考慮過)勢能為：用拉格朗日方程建立下圖所示系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程多自由度線性系統(tǒng)的振動按廣義坐標分別代入拉格朗日方程可得：寫成矩陣形式：此例剛度陣是對角陣，質(zhì)量陣是非對角陣，稱該振動方程是慣性耦合(質(zhì)量耦合)的。在前面的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)中，質(zhì)量陣是對角陣，而剛度陣是非對角陣，稱這樣的方程是彈性耦合(剛度耦合)的。如果沒有非對角線項，即無耦合情況發(fā)生，則用兩個廣義坐標表示的振動方程相互獨立。完全可以用前面學過的單自由度系統(tǒng)分析方法處理。多自由度線性系統(tǒng)的振動這時，質(zhì)量矩陣是對角陣，而剛度矩陣是非對角陣。系統(tǒng)振動方程是彈性(剛度)耦合的。慣性(質(zhì)量)耦合與彈性(剛度)耦合統(tǒng)稱為坐標耦合。顯然，坐標耦合情況與系統(tǒng)廣義坐標的選取有關。如果我們?nèi)C翼俯仰角和質(zhì)心平移位移v為系統(tǒng)兩個廣義坐標，系統(tǒng)的動能和勢能為代入拉格朗日方程可得：質(zhì)心ekbw