西城區高三期末考試數學理有答案西城區高三期末考試數學理有答案11/11西城區高三期末考試數學理有答案北京市西城區2010—2011學年度第一學期期末試卷高三數學（理科）第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集UR，會合A{xx10}，B{xx30}，那么會合(CUA)B（A）{x1x3}（B）{x1x3}（C）{xx1}（D）{xx3}2.已知點A(1,1)，點B(2,y)，向量a=(1,2)，若AB//a，則實數y的值為A）5（B）6（C）7（D）83.已知ABC中，a1,b2，B45，則角A等于A）150（B）90（C）60（D）304．在極坐標系中，過點(1,0)而且與極軸垂直的直線方程是（A）cos（B）sin（C）cos1（D）sin15.閱讀右邊程序框圖，假如輸出的函數值在區間[1,1]開始x的取值范圍是42內，則輸入的實數輸入x（A）(,2]（B）[2,1]x[2,2]（C）[1,2]（D）[2,)是6.設等比數列an的前n項和為Sn，若8a2a50，則f(x)2x式子中數值不可以確立的是輸出f(x)（A）a5（B）S5（C）an1（D）Sn1結束a3S3anSn7．如圖，四邊形ABCD中，ABADCD1，ABD2，BDCD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四周體ABCD，使平面BDBABD平面BCD，則以下結論正確的選項是C（A）ACBD（B）BAC90（C）CA與平面ABD所成的角為30（D）四周體ABCD的體積為1

否f(x)2以下ADC38．關于函數①f(x)4x15，②f(x)log2x(1)x，③f(x)cos(x2)cosx，x2判斷以下兩個命題的真假：命題甲：f(x)命題乙：f(x)

在區間(1,2)上是增函數；在區間(0,)上恰有兩個零點x1,x2，且x1x21.能使命題甲、乙均為真的函數的序號是A）①B）②C）①③D）①②第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.9.i為虛數單位，則2______.i)2(110.在(2x)5的張開式中，x2的系數為_____.xy10,11.若實數x,y知足條件xy2,則2xy的最大值為_____.x1,P12.以以下圖，過圓C外一點P做一條直線與圓C交于A，B兩點，ABA2AP，PT與圓C相切于T點.已知圓C的半徑為2，CTCAB30,則PT_____.13．雙曲線C:x2y21的漸近線方程為_____；B若雙曲線C的右極點為A，過A的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于P,Q兩點，且PA2AQ，則直線l的斜率為_____.14.在平面直角坐標系中，定義d(P,Q)x1x2y1y2為兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“折線距離”.則坐標原點O與直線2xy250上一點的“折線距離”的最小值是____；圓x2y21上一點與直線2xy250上一點的“折線距離”的最小值是____.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出必需的文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知函數（Ⅰ）若點

f(x)3sin2x2sin2x.P(1,3)在角的終邊上，求f( )的值；（Ⅱ）若x[,]，求f(x)的值域.6316.（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側面ABBA，ACC1A1均為正方形，∠BAC=90,11點D是棱B1C1的中點.B1（Ⅰ）求證：AD⊥平面BBCC；D111（Ⅱ）求證：AB//平面ADC；C11A111（Ⅲ）求二面角DACA的余弦值.1BCA（本小題滿分13分）一個袋中裝有6個形狀大小完滿同樣的小球，球的編號分別為1,2,3,4,5,6.（Ⅰ）若從袋中每次隨機抽取1個球，有放回的抽取2次，求拿出的兩個球編號之和為6的概率；（Ⅱ）若從袋中每次隨機抽取2個球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6號球的概率；（Ⅲ）若一次從袋中隨機抽取3個球，記球的最大編號為X，求隨機變量X的散布列.（本小題滿分13分）已知橢圓x2y21（ab0）的右焦點為F(3,0)，離心率為e.a2b22（Ⅰ）若e3，求橢圓的方程；2（Ⅱ）設直線ykx與橢圓訂交于A，B兩點，M,N分別為線段AF2,BF2的中點.若坐標原點O在以MN為直徑的圓上，且2e32，求k的取值范圍.2（本小題滿分14分）已知函數f(x)1ax2(2a1)x2lnx(aR).2(Ⅰ)若曲線yf(x)在x1和x3處的切線相互平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的單一區間；(Ⅲ)設g(x)x22x，若對隨意x1(0,2]，均存在x2(0,2]，使得f(x1)g(x2)，求a的取值范圍.（本小題滿分14分）已知數列{an}，{bn}知足bnan1an，此中n1,2,3,.（Ⅰ）若a11,bnn，求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bbb(n2)，且b1,b2.n1n1n12（ⅰ）記cna6n1(n1)，求證：數列{cn}為等差數列；（ⅱ）若數列{an}中隨意一項的值均未在該數列中重復出現無數次.求首項a1應滿n足的條件.北京市西城區2010—2011學年度第一學期期末高三數學參照答案及評分標準（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.題號12345678答案ACDCBDBD二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.9.i10.8011.412.313.xy0，314.55，2注：13、14題第一問2分，第二問3分.三、解答題：（本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同樣，正確者可參照評分標準給分.）（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由于點P(1,3)在角的終邊上，因此sin31，，cos22因此f()3sin22sin223sincos2sin223(3)12(3)23.222（Ⅱ）f(x)3sin2x2sin2x3sin2xcos2x12sin(2x)1，6由于x[,]，因此2x5，666163sin(2x)1，因此26因此f(x)的值域是[2,1].（本小題滿分13分）（Ⅰ）證明：由于側面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，因此AA1AC,AA1AB,因此AA1平面ABC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱.由于A1D平面A1B1C1，因此CC1A1D，又由于A1B1ACBC中點，11，D為11因此A1DB1C1.,,,,,3分由于CC1B1C1C1,因此A1D平面BBC11C.,,,,,C114分yC

,,,,,,2分,,,,,,4分,,,,,,5分,,,,,,6分,,,,,,8分,,,,,,10分,,,,,,11分,,,,,,13分,,,,,,1分,,,,,,2分zB1DA1xOBA（Ⅱ）證明：連接AC1，交AC1于點O，連接OD，由于ACC1A1為正方形，因此O為AC1中點，又D為B1C1中點，因此OD為ABC11中位線，因此AB1//OD，,,,,,,6分由于OD平面A1DC，AB1平面A1DC，因此AB1//平面A1DC.,,,,,,8分(Ⅲ)解：由于側面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，BAC90，因此AB,AC,AA1兩兩相互垂直，以以下圖成立直角坐標系Axyz.設AB111，則C(0,1，0),B(1,0,0),A1(0,0,1),D(,,1).(1,1,0),AC122A1D(0,1，1)，,,,,,,9分22設平面A1DC的法向量為n=(x,y,z)，則有nA1D0xy0yz，nA1C，z，x0y0取x1，得n(1,1,1).,,,,,,10分又由于AB平面ACC1A1，因此平面ACC1A1的法向量為AB(1,0，0)，,,,11分cosn,ABnAB13，,,,,,,12分nAB33由于二面角DACA是鈍角，1因此，二面角DAC1A的余弦值為3,,,,,,13分.3（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）設先后兩次從袋中拿出球的編號為m,n，則兩次取球的編號的全部可能結果(m,n)有6636種，,,,,,,2分此中和為6的結果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5種，則所求概率為5.,,,,,,4分36（Ⅱ）每次從袋中隨機抽取C5112個球,抽到編號為6的球的概率p.C623,,,,,,6分因此，3次抽取中，恰有2次抽到6號球的概率為C32p2(1p)3(1)2(2)2.,,,,,,8分]339（Ⅲ）隨機變量X全部可能的取值為3,4,5,6.,,,,,,9分P(X3)C331，C6320P(X4)C323，C6320P(X5)C4263C6320，10P(X6)C52101.,,,,,,12分C63202因此，隨機變量X的散布列為:X3456,,,,,13分18、（本小題滿分13分）c3解：（Ⅰ）由題意得c3，得a23.,,,,,,2分a2聯合a2b2c2，解得a212，b23.,,,,,,3分因此，橢圓的方程為x2y21.,,,,,,4分123x2y21,得(b2a2k2)x2a2b2（Ⅱ）由a2b20.kx,A(x1,y1),B(x2,y2).因此x1x20,x1x2a2b2,,,,,,6分222，bak依題意，OMON，易知，四邊形OMF2N為平行四邊形，因此AF2BF2，,,,,,,7分由于FA(x3,y)，FB(x3,y)，211222因此FAFB(x3)(x3)yy(1290.,,,,,,8分即k)xx22121212a2(a29)(1k2)90，,,,,,,9分a2k2(a29)將其整理為k2a418a28121a481.,,,,,,10分a418a218a2由于2e3，因此23a32，12a218.,,,,,,11分22因此k21，即k(,2](2,].,,,,,,13分84419.（本小題滿分14分）解：f(x)ax(2a1)20).,,,,,,2分(xx（Ⅰ）f(1)f(3)，解得a2.,,,,,,3分3（Ⅱ）f(x)(ax1)(x2)(x0).,,,,,,5分x①當a0時，x0，ax10，在區間(0,2)上，f(x)0；在區間(2,)上f(x)0，故f(x)的單一遞加區間是(0,2)，單一遞減區間是(2,).,,,,,,6分②當0a112，時，a2在區間(0,2)和(1,)上，f(x)0；在區間(2,1)上f(x)0，aa故f(x)的單一遞加區間是(0,2)和(1,)，單一遞減區間是(2,1).,,,,7分aa1時，f(x)(x2)2，故f(x)的單一遞加區間是(0,).,,,8分③當a2x21時，012，④當aa2在區間(0,1)和(2,)上，f(x)0；在區間(1,2)上f(x)0，aa故f(x)的單一遞加區間是(0,1)和(2,)，單一遞減區間是(1,2).,,,9分aa（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有f(x)maxg(x)max.,,,,,,10分由已知，g(x)max0，由（Ⅱ）可知，①當a1時，f(x)在(0,2]上單一遞加，2故f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln22a22ln2，因此，2a22ln20，解得aln21，故ln21a1,,,,,11分.2②當a1時，f(x)在(0,1]上單一遞加，在[1,2]上單一遞減，2aa故f(x)maxf(1)212lna.a2a由a1可知lnaln1ln11，2lna2，2lna2，22e因此，22lna0，f(x)max0，,,,,,,13分綜上所述，aln21.,,,,,,14分（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）當n2時，有ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1b1b2bn1,,,,2分1(n1)nn2n1.,,,,,,3分222又由于a11也知足上式，因此數列{an}的通項為ann2n1.,,,,,,4分22bn1bn（Ⅱ）（ⅰ）由于對隨意的nN*有bn651bn，,,,,,,5分bn4bn3bn2因此cn1cna6n5a6n1b6n1b6nb6n1b6n2b6n3b6n41221117(n1)，22因此數列{cn}為等差數列.,,,,,,7分（ⅱ）設cna6ni(n0)，（此中i為常數且i{1,2,3,4,5,6}），因此cn1cna6n6ia6nib6nib6ni1b6ni2b6ni3b6ni4b6ni57(n0)因此數列{a6ni}均為以7為公差的等差數列.,,,,,,9分a6kai7k7(i6k)ai7i7ai7i設fki666，6kii6ki6k6i6k（此中n6ki(k0)，i為{1,2,3,4,5,6}中的一個常數），當ai7i6ki有an7；,,,,,,10分時，對隨意的nn66當ai7i時，6ai7iai7i7i11fk1fk66(ai6(k1)i6ki)(6(k1)i)66ki(ai7i)([6(k6)6