PAGEPAGE420052006學(xué)年第2學(xué)期《量子力學(xué)》期末考試試卷（A卷）（時(shí)間120分鐘）年級(jí) 院系專(zhuān)業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 座位號(hào)題號(hào)題號(hào)得分一二三四五六七八得分一、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共40分）得 分,，寫(xiě)出粒子在球殼rrdr中被測(cè)到的幾率。解：Pr2drsin解：

r,,

2。0 0一質(zhì)量為 的粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱V(x),

0x2axx2a中運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出其狀態(tài)波函數(shù)和能級(jí)表達(dá)式。解：

(x)

sin1a2a1a

0x2a,n 0E 22n2,n 8a2

x0,x2an1,2,3,寫(xiě)出電子自旋

的二本征值和對(duì)應(yīng)的本征態(tài)。

,

1) )

；s

(s)0。z 2 12

0 z 2

2

1何謂正常塞曼效應(yīng)？何謂反常塞曼效應(yīng)？何謂斯塔克效應(yīng)？解：在強(qiáng)磁場(chǎng)中，原子發(fā)出的每條光譜線(xiàn)都分裂為三條的現(xiàn)象稱(chēng)為正常塞曼效應(yīng)。在弱磁場(chǎng)中，原子發(fā)出的每條光譜線(xiàn)都分裂為(2j)條（偶數(shù)）電場(chǎng)中，它發(fā)出的光譜線(xiàn)會(huì)發(fā)生分裂的現(xiàn)象稱(chēng)為斯塔克效應(yīng)。(x

(x)展n開(kāi)：(x) cn n

(x)，寫(xiě)出展開(kāi)式系數(shù)cn

的表達(dá)式。n解： cn

n

(x),(x)*(x)(x)dx。n

,2

rs r ，寫(xiě)出表示電子自旋z ,2 r 解：電子自旋向上（srzr

、位置在r處的幾率密度為

r,/2 2；電子自旋向下（sz

2）的幾率為

d3r /22。量子力學(xué)中，一個(gè)力學(xué)量Q守恒的條件是什么？用式子表示。Qt

0 [QH0。描述電子組態(tài)的四個(gè)量子數(shù)是什么？答：主量子數(shù)，角量子數(shù)，磁量子數(shù)，自旋量子數(shù)二、計(jì)算證明題（共60分）得得分計(jì)算下列對(duì)易式： d d (1) x, ? （2） , x2? （15） dx dx 解：設(shè)(x)是任意波函數(shù)。(1)

x, d(x)xd

d x(x)

dx dx dxd(x)xd(x)(x)(x)，ddx dx因(x)任意，所以

x

ddx

1。 d d d（2）

, x2(x) x(x)x2 (x)dx

dx dxx2

(x)2x(x)x2 (x)2x(x)d dx dxd d 因(x)任意，所以

, x22x。dx 110．在狀態(tài)()1

cos

的值，并求l

z。（10分）zzzzz

的本征函數(shù)為

121 1

, m0,1,2,3,...1 1112but112

ei)

2

2 ei顯然，

()

11

是由

的兩個(gè)本征函數(shù)疊加而成，這兩個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)于2l?2

，且取 and-的概率相同，各為

21。2z的本征值自然為零1()01()0。2z 2對(duì)于氫原子基態(tài),求電子處于經(jīng)典禁區(qū)的幾率(已知?dú)湓幽芗?jí)e

e

E n

n

,基態(tài)波函數(shù)a n

a

era,a eBohr半徑,勢(shì)能Ver

（15）解：氫原子基態(tài)波函數(shù)為 1 1/2100

a3

er/a,

a2 e2Bohr半徑。相應(yīng)的能量 E e1

22e22a 。動(dòng)能 T(r)E Ve2e2 。1 2a rTEV0是經(jīng)典禁區(qū)。由上式解出r2a 。因此，電子處于經(jīng)典禁區(qū)的幾率為P a

a

er/ardrsindd令r/a) a a

ede.。a2一維無(wú)限深勢(shì)阱0xaa2Hx/a, xa/xa), a/xa的作用，求基態(tài)能量的一級(jí)修正（20分） 0 a解：一維無(wú)限深勢(shì)阱的能量本征值及本征函數(shù)為ana

nxE()n

a

, ()n

sin aaa

,n,,,基態(tài)， E()

a

, ()

sina。基態(tài)能量的一級(jí)修正為E(1)

H

a(0)(x)

2H(x)dx1 11 0 12a2

sin

x

2x

dx2a

sin

x21xdx a 0 a adx

a a

a a作變換： ua

au, x

a, dx

du；代入上式完成積分：

vxa

av, xa

a, dx

dv。E1

2

2sin2uudu40