直觀定義——事件A出現的可能性大小.統計定義——事件A在大量重復試驗下出現的頻率的穩定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法直觀定義——事件A出現的可能性大小.§1.2概率的非負性公理：

P(A)0;正則性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……互不相容，則1.2.1概率的公理化定義定義1.2.1設Ω為樣本空間，F

是由Ω的一些子集組成的事件域，若?AF,實值函數P(A)滿足:非負性公理：P(A)0;1.2.1概率的公理化定義定從n個元素中任取r個，求取法數.排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復排列：nr選排列：1.2.2排列與組合公式從n個元素中任取r個，求取法數.1.2.2排列與組合組合：重復組合：組合組合：重復組合：求排列、組合時，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.注意求排列、組合時，要掌握和注意：注意加法原理完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.加法原理完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中隨機試驗可大量重復進行.1.2.3確定概率的頻率方法進行n次重復試驗，記n(A)為事件A的頻數，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩定于某一常數(穩定值).用頻率的穩定值作為該事件的概率.隨機試驗可大量重復進行.1.2.3確定概率的頻率方法進行

古典概型若一個隨機試驗(Ω,F,P)具有以下兩個特征：

(1)有限性:樣本空間的元素(基本事件)只有為有限個，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；(2)等可能性:每個基本事件發生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).

則稱這類隨機試驗的數學模型為古典概型.則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點的個數/樣本點總數1.2.4

確定概率的古典方法古典概型1.2.4確定概率的古典方法拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此樣本空間中的樣本點等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}此樣本空間中的樣本點不等可能.注意拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次注意例1.2.1六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接．求成環的概率.解：用乘法原則直接計算所求概率為例1.2.1六根草，頭兩兩相接、解：用乘法原則直接計算所n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)．例1.2.2n個人圍一圓桌坐，解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐n個人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點數：甲先坐、乙后坐，則共有n(n1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n2)個位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n2)種可能．由此得所求概率為：例1.2.3n個人坐成一排，解：1)先考慮樣本空間的樣本點數：例1.21.2.5確定概率的幾何方法幾何概型若①可度量性．樣本空間充滿某個區域，其度量(長度、面積、體積)為S；

②等可能性．落在中的任一子區域A的概率，只與子區域的度量SA有關，而與子區域的位置無關，則事件A的概率為:P(A)=SA/S1.2.5確定概率的幾何方法幾何概型幾何概型的例子

例1.2.3

蒲豐(Buffon)投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.幾何概型的例子例1.2.3蒲豐(Buffon)投針問題蒲豐投針問題(續1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角.易知樣本空間滿足：0x

d/2;0

.形成x-平面上的一個矩形，其面積為：S=(d)/2.

蒲豐投針問題(續1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

(

l/2)sin.針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法求解得蒲豐投針問題(續2)A=“針與平行線相交”的充要條件是:蒲豐投針由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實際去做N次試驗，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：2lN/(dn).歷史上有一些實驗數據.的隨機模擬蒙特卡羅（MonteCarlo）法由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一個邊長為a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形與平行線相交的概率．分析：三角形與平行線相交有以下三種情況：

1)一個頂點在平行線上;

2)一條邊與平行線重合;

3)兩條邊與平行線相交.前兩種情況出現的概率為零.所以只要去確定兩條邊與平行線相交的概率.蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab,ac,bc,

a,b,c與平行線相交的概率，則所求概率為p=P(三角形與平行線相交)=Pab+Pac+Pbc.由蒲豐投針問題知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).因為Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d).解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab在單位圓內隨機地取一條弦，其長超過該圓內接等邊三角形的邊長√3的概率等于多少？這個問題看似簡單，結果卻讓人大跌眼鏡．我們可以用三個完全正確的方法，得到三個完全不同的答案！貝特朗奇論1．根據幾何學原理，圓內弦的長度與弦到圓心的距離有關．從圖一可以看出，當弦心距小于1/2時，這條弦的長度大于三角形邊長，所以這樣求出的概率為1/2．在單位圓內隨機地取一條弦，其長超過該圓內貝特朗奇論1．根2．將弦的一段固定在等邊三角形的某一個頂點上，然后另一端繞著圓周旋轉．可以在圖二中發現，只有當另一端點位于上方的圓弧時，這條弦的長度才會超過三角形的邊長，由此可得所求概率為1/3．3．再來考慮一條弦的中點，根據圖三可以得出：只有當弦的中點位于半徑為1/2的小圓內部時這條弦的長度才滿足要求，同時因為這個小圓的面積是大圓的1/4，所以所求概率也是1/4．2．將弦的一段固定在等邊三角形的某一個頂點上，然后另一端繞著你能說出到底哪種方法是錯的嗎？如果它們都是對的，那么這樣的一道客觀題又怎么會有三個不同的答案呢？其實這三種說法都是正確的．但是它們的結果之所以不同，只是因為它們各自對問題的理解不同，采用了不同的等可能性假定．在第一種方法中，我們默認的是“圓內弦到圓心的距離是均勻分布的”；在第二種方法中，我們默認的假設是“圓內弦的端點在圓周上是均勻分布的”；第三種方法默認的假設則是“圓內弦的中點在整個圓的內部是均勻分布的”．這三種假設對應著三種不同的求解方法．你能說出到底哪種方法是錯的嗎？如果它們都是對的，那么這樣需要說的是，隨意指責哪個假設是不合理的是有所不妥，因為它們都是有依據的．不妥的地方在問題本身，這個問題問的并不嚴謹，沒有對問題中的“基本空間”進行定義，導致在解題人求解時只能依靠自己的理解補充解題所需條件．如此一來，一問三解就不足為怪了．上述問題被稱為“貝特朗奇論”，是數學家貝特朗在上世紀初提出來的，用于批判當時尚不嚴謹的概率論．也正是在貝特朗工作的推動下，此后概率論的研究開始向公理化方向發展．需要說的是，隨意指責哪個假設是不合理的是有所不妥，因為它直觀定義——事件A出現的可能性大小.統計定義——事件A在大量重復試驗下出現的頻率的穩定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法直觀定義——事件A出現的可能性大小.§1.2概率的非負性公理：

P(A)0;正則性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……互不相容，則1.2.1概率的公理化定義定義1.2.1設Ω為樣本空間，F

是由Ω的一些子集組成的事件域，若?AF,實值函數P(A)滿足:非負性公理：P(A)0;1.2.1概率的公理化定義定從n個元素中任取r個，求取法數.排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復排列：nr選排列：1.2.2排列與組合公式從n個元素中任取r個，求取法數.1.2.2排列與組合組合：重復組合：組合組合：重復組合：求排列、組合時，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.注意求排列、組合時，要掌握和注意：注意加法原理完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.加法原理完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中隨機試驗可大量重復進行.1.2.3確定概率的頻率方法進行n次重復試驗，記n(A)為事件A的頻數，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩定于某一常數(穩定值).用頻率的穩定值作為該事件的概率.隨機試驗可大量重復進行.1.2.3確定概率的頻率方法進行

古典概型若一個隨機試驗(Ω,F,P)具有以下兩個特征：

(1)有限性:樣本空間的元素(基本事件)只有為有限個，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；(2)等可能性:每個基本事件發生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).

則稱這類隨機試驗的數學模型為古典概型.則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點的個數/樣本點總數1.2.4

確定概率的古典方法古典概型1.2.4確定概率的古典方法拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此樣本空間中的樣本點等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}此樣本空間中的樣本點不等可能.注意拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次注意例1.2.1六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接．求成環的概率.解：用乘法原則直接計算所求概率為例1.2.1六根草，頭兩兩相接、解：用乘法原則直接計算所n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)．例1.2.2n個人圍一圓桌坐，解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐n個人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點數：甲先坐、乙后坐，則共有n(n1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n2)個位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n2)種可能．由此得所求概率為：例1.2.3n個人坐成一排，解：1)先考慮樣本空間的樣本點數：例1.21.2.5確定概率的幾何方法幾何概型若①可度量性．樣本空間充滿某個區域，其度量(長度、面積、體積)為S；

②等可能性．落在中的任一子區域A的概率，只與子區域的度量SA有關，而與子區域的位置無關，則事件A的概率為:P(A)=SA/S1.2.5確定概率的幾何方法幾何概型幾何概型的例子

例1.2.3

蒲豐(Buffon)投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.幾何概型的例子例1.2.3蒲豐(Buffon)投針問題蒲豐投針問題(續1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角.易知樣本空間滿足：0x

d/2;0

.形成x-平面上的一個矩形，其面積為：S=(d)/2.

蒲豐投針問題(續1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

(

l/2)sin.針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法求解得蒲豐投針問題(續2)A=“針與平行線相交”的充要條件是:蒲豐投針由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實際去做N次試驗，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：2lN/(dn).歷史上有一些實驗數據.的隨機模擬蒙特卡羅（MonteCarlo）法由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一個邊長為a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形與平行線相交的概率．分析：三角形與平行線相交有以下三種情況：

1)一個頂點在平行線上;

2)一條邊與平行線重合;

3)兩條邊與平行線相交.前兩種情況出現的概率為零.所以只要去確定兩條邊與平行線相交的概率.蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab,ac,bc,

a,b,c與平行線相交的概率，則所求概率為p=P(三角形與平行線相交)=Pab+Pac+Pbc.由蒲豐投針問題知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).因為Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d).解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab在單位圓內隨機地取一條