眼科醫院的病床安排眼科醫院的病床安排眼科醫院的病床安排資料僅供參考文件編號：2022年4月眼科醫院的病床安排版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發布日期：原隊號：86翟晨曦鄭心如原隊號：86翟晨曦鄭心如梁樂摘要解決眼科醫院病床的安排問題屬于統計學的范疇。在對既給數據進行統計分析后，針對不同問題，我們分別采用了層次分析法（APH法）、加權排隊模型、單母體正態分布區間估計、多目標優化模型，就充分利用醫院的有限資源建立模型解決病床合理安排的問題。問題一，針對問題，篩選確定評價指標，包括病床周轉率、病人入院等待時間、病人術前等待時間、量化公平度（用各類疾病平均入院等待時間的方差量化）。利用APH法科學計算權重，最終確定綜合指標，綜合指標越小，表示安排模型越好。根據題目所給所有出院病人信息，對于現有的安排模型進行評價，計算得到綜合指標為4.703。問題二首先運用蒙特卡羅方法建立隨機仿真模型，對已做手術病人的出院時間進行模擬，從而得到第二天擬出院病人數。再根據一定的優先規則建立基于優先級的病床分配模型，確定第二天應該安排哪些病人住院。最后用問題一中建立的評價體系對分配方案進行評價，得綜合評價指標為4.424,比按照FCFS原則得到綜合評價指標要小，說明所見模型能改善醫院病床安排現狀。 問題三，為了能夠讓病人在門診時就能被告知大致入住醫院的時間區間，我們根據對2008年9月12日以后擬入院病人的數據，統計得到除急癥病人外，其他病人的平均入院等待時間，然后建立區間估計模型，對門診病人的入住時間進行估計。在不考慮外傷的情況下，可近似認為每種病的患者的入院等待時間服從正態分布，在總體方差未知情況下對入院等待時間做區間估計，得入住時間區間如下表所示：病種外傷白內障（單）白內障（雙）青光眼視網膜疾病入住時間區間1[10,13][9,11][10,13][14,18]問題四要求在醫院周六、周日不安排手術的情況下對病床分配及手術安排進行討論。首先仍然按照第二問中的模型安排病床并重新對其進行評價，得到評價的結果不好，說明不能采用第二問中的安排模型；然后分析第二問模型分配不合理的原因，說明無法通過病床安排改善模型，必須調整醫院手術時間安排，并對調整后得到的模型進行評價。最終我們得到將周一、周三的白內障手術改放在周三、周五做時模型最優。問題五，基于各類病人占用病床比例大致固定的思想建立多目標病床比例優化分配模型。在考慮病人平均逗留時間最短之后，再考慮使得醫院效益最大化，即在平均逗留時間最短的前提下，讓病床周轉率最大，病床利用率固定為100%。最終選擇最優床位數目為：類型白內障（單眼）白內障（雙眼）青光眼視網膜疾病外傷病床分配/位141571726最后給出模型評價和推廣。關鍵詞：APH法優先級蒙特卡羅法區間估計多目標優化問題重述由于床位數目的限制，對于床位的安排需要考慮排隊的方法。考慮某醫院眼科病床的合理安排，此醫院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫院眼科手術主要分四大類：白內障、視網膜疾病、青光眼和外傷。白內障手術較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫院眼科手術條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術條件的限制，但考慮到手術醫生的安排問題，通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（FirstCome,FirstServe）規則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫院方面希望你們能通過數學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫院資源的有效利用。針對2008年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況。分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優劣。同時就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據已知的第二天擬出院病人數來確定第二天應該安排哪些病人住院。并利用指標體系作出評價。同時根據當時住院病人及等待住院病人的統計情況，分析確定在病人門診時即告知其大致入住時間區間。考慮到住院部周六、周日不安排手術，重新安排病人的住院情況，并且綜合評價。在各類病人占用病床的比例大致固定的情況下，建立使得所有病人在系統內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。問題分析對于問題一，分析所給表格以及查閱相關資料，確定綜合評價體系中的每個指標，進而運用層次分析法確定綜合指標中每個指標的權重。進而建立綜合評價模型，對于現有病床安排模型進行評價。對于問題二，要建立床位安排模型，首先需要對第二天出院病人數進行模擬，確定空床數。然后對病床進行分配，此時我們需要根據醫院的實際手術安排情況和疾病的特點確定病人住院的優先級，再根據優先級求取合理的分配方案。對于問題三，對2008年9月12日擬出院病人的數據，統計得到除急癥病人外，其他病人的平均入住等待時間，然后建立區間估計模型，對門診病人的住院時間進行估計。對于問題四，若該住院部周六、周日不安排手術，其實就是問題二的模型在遇到特殊情況時，進行一定的調整使病床的分配趨于合理，在無法通過改變病人住院優先級得到合理的病床分配方案時，我們考慮對醫院的手術時間安排作出相應調整以保證模型最優。對于問題五，在考慮病人平均逗留時間最短之后，再考慮使得醫院效益最大化，即在平均逗留時間最短的前提下，讓病床周轉率最大化，病床利用率固定為1，建立多目標優化模型。模型假設醫院康復的病人當天出院時，安排在當天入住的病人必須住院；手術費用及住院期間每天的治療費用不變；在所考慮的時間段內醫院不會改進醫院基礎設施；除外傷外無其他急癥；醫院的手術條件充分，不會因為醫生和設備條件問題耽誤手術時間；手術都能成功進行，病人享受同等醫療待遇；病人在等待入住時不會中途轉到其它醫院或者放棄手術；白內障（雙眼）患者在同一周完成手術，即周一先做一只，在同一周的周三做另外一只，并且不能夠和其他的眼科手術（急癥除外）安排在一天。模型建立與求解4.1問題一病床安排評價模型 首先約定如下的符號：符號說明r病床周轉率t病人入院等待時間t’病人入院治療時間pi第i天入住病人人數pi’第i天出院病人人數pi’’第i天門診病人人數P病人總數N病床總數sj第j個病人門診時間sj’第j個病人入院時間sj’’第j個病人手術時間sj’’’第j個病人出院時間E公平度g綜合評價指標病床安排模型的評價包括多種因素，針對所給數據分析選定以下幾個因素進行考慮[1]。病床周轉率病床周轉率是反映醫院工作質量指標之一。每天均會有病人出院，不同時間出院人數不同，病床周轉率即為平均每張床在一定時期內周轉的次數，說明在一定時期內，平均每一張病床收治了多少病人，從而了解病床的利用情況和治療情況。則前天內每天病床周轉率為：當越大，表示在相同天數病床周轉次數越大，則對于有限數目的病床的利用率越高，對于醫院來說，其滿意度越高，則病床安排越合理。此指標為正向指標。病人入院等待時間在病人門診后并不能夠馬上入院，必須依據排隊的原則具體安排入院時間。故在病人門診后和入院之間有一定時間間隔，間隔的長短，則可視作醫院處理病人的效率的評價。故可將此指標看作對于病床安排評價的指標。 對于病人來講，入院等待時間越短，其滿意度越高，且存在著由于等待時間過長病人自動退出等待隊列的可能性。則等待時間越短，病床安排越合理。則此指標為負向指標。病人術前等待時間對于不同病情，考慮到手術的準備時間，以及對于白內障病人必須在周一和周三兩天進行手術以及白內障手術與其他手術（急癥除外）不安排在同一天做。從入住到進行手術需要一定的等待時間。 對于病人來講，手術前等待時間越短，其滿意度越高，則病床安排越合理。則此指標為負向指標。公平度在現有的病床安排的規則下，非急癥病人均按照FCFS的規則進行排隊。病人在門診后需要等待病床，一旦有空床哪一類病人先入住必須要兼顧到公平性。定義公平度E為四類病人（不考慮外傷病人）的入院等待時間歸一化后的方差。公平度越大表示四類病人的平均入院等待時間的差別越大，也就是越不公平，病床安排方法越不合理。則此指標為負向指標。對于以上指標，利用APH法[2]來確定上述四個指標的權重，綜合指標確定層次結構圖如下：病床安排的評價病床安排的評價病床周轉率r入院等待時間t術前等待時間t’公平度E待評價方案圖1綜合指標層次結構圖首先根據專家打分來確定成對比較矩陣，由于總共有4個指標，故可得到一個四階的成對比較矩陣如表1所示：表1四個指標的成對比較矩陣表周轉率r入院等待時間t術前等待時間t’公平度E周轉率r1437入院等待時間t0.25115術前等待時間t’0.333115公平度E0.1430.20.21即構造矩陣：然后進行一致性檢驗，定義一致性指標CI和一致性比率CR： 其中，為成對比較矩陣的最大特征根，由于指標的個數為4，RI取為0.90[3]。當0.1時，通過一致性檢驗，否則不通過檢驗。經計算最大特征根為4.1125，計算得CR=0.0417<0.1，通過了一致性檢驗，則成對比較矩陣設置合理。計算可得最大特征根所對應的特征向量，經歸一化為：即為每個指標的權重。再根據各指標的正負性得綜合評價指標為： g越小，表明病床安排越合理。統計2008年7月13日至2008年9月11日之間的病人信息可得r=0.002116、t=12.495、t’=2.6793、E=0.000143，最后計算得綜合指標為：4.2問題二病床安排模型 首先約定如下的符號：符號說明t病人術后觀察時間ξ服從U(0,1)的隨機數q病型優先級ti入院等待時間優先級p病人入院優先級為了合理安排病床，我們首先在以往數據的基礎上運用蒙特卡羅算法建立隨機仿真模型，模擬出已住院病人術后觀察時間，進而確定其出院時間。然后根據一定的優先規則得到每位病人每天的優先級，將這些病人按優先級進行排隊。由已知第二天擬出院病人數來確定第二天應該安排哪些病人住院。最后運用第一問的評價對該病床安排模型進行評價。4.2.1病人出院時間隨機仿真模型(1)術后觀察時間的分布由于病人手術后康復的速度不同導致其在手術后的術后觀察時間t不同，具有一定的隨機性，對于白內障雙眼患者，其術后觀察時間從第一次手術后開始算起.通過對以往病人術后觀察時間進行統計分析得到不同種類的病的術后觀察時間其分布情況如下圖所示：白內障白內障白內障（雙眼）青光眼視網膜疾病外傷圖2各病癥術后觀察時間分布圖(2)殘缺分布下的仿真 下面我們以青光眼為例說明隨機產生該病的術后觀察時間t的過程。由以上的統計結果可得到青光眼術后觀察時間的頻數及頻率統計如下表所示。表2青光眼頻數及頻率統計表 從上表可知該病的術后觀察時間對應于上的8個區間（準確的講是8個時間點），即。當要知道某一位患該病的病人的術后觀察時間時，我們運用蒙特卡羅方法[4]產生一個隨機數服從U(0,1)均勻分布的隨機數，判斷的值落在上表中的哪個區間，這個區間所對應的就是這個病人的術后觀察時間。考慮到實際情況中沒有在9月11號之前出院的患者，所以此處，我們建立殘缺分布下的蒙特卡洛仿真模型。即當按照完全分布仿真出現與現實相矛盾的情況時，認為該模擬出院時間無效，繼續進行模擬，重新仿真直到得到有效的值為止。 該過程利用MATLAB編程實現。將部分結果示于下表。表3病人擬出院時間安排表序號類型門診時間入院時間第一次手術時間第二次手術時間出院時間1視網膜疾病2008/8/152008/8/292008/8/31/2008/9/132視網膜疾病2008/8/162008/8/292008/8/31/2008/9/133白內障(雙眼)2008/8/192008/9/12008/9/82008/9/102008/9/14……71視網膜疾病2008/8/302008/9/112008/9/13/2008/9/2672外傷2008/9/42008/9/52008/9/6/2008/9/1673外傷2008/9/52008/9/62008/9/7/2008/9/1274外傷2008/9/52008/9/62008/9/7/2008/9/134.2.2基于優先級的排隊模型 經過上述對病人出院時間的仿真，我們確定了9月11日以后病人的出院時間。下面我們將按照基于優先級的排隊模型對已門診的102位患者的入院時間進行確定。排隊病人優先級的確定。 在確定病人優先級的時候，我們需要明確醫院在一周內手術時間的安排，知道各類病人術后住院時間的長短，以便最大程度上減少患者住院空等的時間，提高病床使用效率，縮短病人平均等待時間。同時我們考慮病人等待時間越長，病人的不滿意度越大，隊長可能變得長，因此，我們設定病人等待時間越長，其優先級越高。綜合上述討論，我們遵循如下規則確定病人隊列的優先級： 1．外傷最優先考慮，入院后第二天即安排手術； 2．白內障病人準備一天即可手術； 3．青光眼及視網膜病人準備兩天才可手術； 4．白內障單眼最適合在周二，周日入住； 5．白內障雙眼眼最適合在周日入住； 6．病人術前等待時間盡量接近相應必需的準備時間，以縮短空等時間，提 高病床使用率。 7．病人等待時間越長，其優先級越高； 因此優先級安排按以下兩方面確定：對于一個星期中的某一天，考慮住院安排的原則，不同類型患者的優先級不一樣，記此優先級為q，按劃分的等級數確定它的大小，將優先級劃分為四個等級，則其值有四個，即104，103，102，10。在優先級相同的情況下，我們進一步考慮等待時間的因素，患者等待的時間越長，優先級越高，記此優先級為ti。總的優先級等于兩部分之和p=q+ti。外傷始終為最高優先級。 按此規則，我們排出了如下優先級表：表4優先級白內障白內障雙眼青光眼視網膜疾病星期一104+ti10+ti103+ti102+ti星期二星期三102+ti10+ti104+ti103+ti星期四星期五星期六103+ti104+ti103+ti102+ti星期日入院安排及結果。 按照上述優先級，我們將正在等待的病人進行優先級排隊，然后按此排隊順序依次給病人安排入院。利用MATLAB編程實現，安排結果部分示于下表。表5病人擬入院安排表序號類型門診時間入院時間第一次手術時間第二次手術時間出院時間1白內障雙眼2008/8/302008/9/132008/9/152008/9/172008/9/202視網膜疾病2008/8/302008/9/192008/9/21/2008/9/273青光眼2008/8/302008/9/122008/9/14/2008/9/26……99視網膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/8100白內障2008/9/112008/9/212008/9/22/2008/9/25101視網膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/3102視網膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/2 按照4.1中模型一的評價標準對此模型評價。得病床周轉率r=0.1174，平均入院等待時間t=12.961，術前等待時間t’=1.6863，公平度E=0.0318。最終綜合評價指標為：同4.1中FCFS方案對比知，本模型得出的方案要優于FCFS模型。具體從各指標來看，病床周轉率大大提升，術前等待時間顯著縮短，這說明了醫院的工作效率提高了，公平度也大有提高。但病人平均等待時間略有增加。通過進一步分析模型和結果，我們可以進一步抽象出一種分配的更一般準則，稱為“最優分配準則”，總結為在一天中對住院優先級最高的病人優先安排入院，后面的依次，直至沒有空床為止。即每一天中優先級高者優先入院。這樣就給出了一個更簡單直觀的準則，是這個模型的優點。4.3問題三門診病人大致入住時間區間的估計 首先約定如下的符號：符號說明ξik第i種病第k個病人入院等待時間μi第i類病人入院等待時間母體期望σi第i類病人入院等待時間母體標準差第i類病人入院等待時間樣本均值Si第i類病人入院等待時間樣本標準差ni第i類病人總數α區間估計置信度水平 為了能夠讓病人在門診時就能被告知大致入住醫院的時間區間，我們根據當時已經出院病人的數據，統計得到除急癥病人外，其他病人的平均住院時間，然后建立區間估計模型，對門診病人的住院時間進行估計。在不考慮外傷的情況下，可近似認為第i種病第k個患者的入院等待時間ξik服從正態分布Ni(μi,σi2)，其中方差σi2未知，故第i種病患者的平均等待時間μi的置信度為1-α=0.95的置信區間[5]為： 對2008年9月12日之后前來門診的病人通過模型二預測計算得入院等待時間及Si，代入上式得置信區間，對左邊界向下取近似，對右邊界向上取近似，得入住時間區間如下表所示：表6入住時間區間病種外傷白內障（單）白內障（雙）青光眼視網膜疾病入住時間區間1[10,13][9,11][10,13][14,18] 根據上表當有病人前來就診時，院方可以根據患者的病型告訴病人大約等待多久可以安排住院。4.4問題四周六周日不工作的病床安排模型沿用4.2中符號說明。我們考慮在不更改手術時間的基礎上，即白內障手術仍然安排在周一和周三，根據實際情況，為病人等待隊列重新分配優先級進行排序，然后，按照優先級對病人進行入院時間的安排。優先級分配采用與問題二中相同的規則。優先級確定如下表所示：表7優先級（白內障手術安排在周一和周三）白內障白內障雙眼青光眼視網膜疾病周一周二104+ti10+ti103+ti102+ti周三10+ti102+ti104+ti103+ti周四至周日103+ti104+ti102+ti10+ti 按照此表設定的優先級，仍然采用MATLAB編程實現入院時間的安排，部分結果示于下表。表8擬住院病人安排表（白內障手術安排在周一和周三）序號類型門診時間住院時間第一次手術時間第二次手術時間出院時間1白內障（雙眼）2008/8/302008/9/122008/9/152008/9/172008/9/212視網膜疾病2008/8/302008/9/212008/9/23/2008/10/43青光眼2008/8/302008/9/172008/9/19/2008/10/1……100白內障2008/9/112008/9/202008/9/22/2008/9/25101視網膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/5102視網膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/4 按照4.1模型一評價體系，進行評價得綜合指標g=5.458，發現這樣安排得到的評價不好。 分析原因在于，當醫院周六、周日不安排手術時從住院的情況分析周四、周五不管誰來住院手術準備時間都較長，因此這兩天的利用效率很低。而造成這種情況的根本原因就是，白內障手術只能在每周一、三做，做雙眼白內障手術只能周一先做一只，周三再做另一只，且其它眼科疾病手術不安排在周一、周三做。這就使得其它眼科疾病除了周四、周五之外，其它時間也沒有較合理的住院時間，而也找不到一種病在周四、周五住院合理。為了解決這個問題，必須調整醫院手術時間安排即調整白內障的手術時間。 首先，我們考慮將白內障手術時間安排在周二和周四，按照模型二的規則為病人隊列分配優先級，結果如下：表9優先級（白內障手術安排在周二和周四）周一103+ti104+ti102+ti10+ti周二周三104+ti10+ti103+ti102+ti周四周五周六102+ti10+ti104+ti103+ti周日103+ti104+ti102+ti10+ti 按照此表設定的優先級，仍然采用MATLAB編程實現入院時間的安排，部分結果示于下表。表10擬住院病人安排表（白內障手術安排在周二和周四）序號類型門診時間住院時間第一次手術時間第二次手術時間出院時間1白內障（雙眼）2008/8/302008/9/142008/9/162008/9/182008/9/222視網膜疾病2008/8/302008/9/192008/9/22/2008/10/53青光眼2008/8/302008/9/122008/9/15/2008/9/24……100白內障（雙眼）2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/9/26101視網膜疾病2008/9/112008/9/222008/9/24/2008/10/7102視網膜疾病2008/9/112008/9/222008/9/24/2008/10/3 按照4.1模型一的評價體系，進行評價得綜合指標g=5.311，有所改善。 其次，我們考慮將白內障手術時間安排在周三和周五，按照模型二的規則為病人隊列分配優先級，結果如下：表11優先級（白內障手術安排在周三和周五）周一周二103+ti104+ti102+ti10+ti周三周四104+ti10+ti103+ti102+ti周五周六周日102+ti10+ti104+ti103+ti 按照此表設定的優先級，仍然采用MATLAB編程實現入院時間的安排，部分結果示于下表。表12擬住院病人安排表（白內障手術安排在周三和周五）序號類型門診時間住院時間第一次手術時間第二次手術時間出院時間1白內障（雙眼）2008/8/302008/9/152008/9/172008/9/192008/9/232視網膜疾病2008/8/302008/9/142008/9/16/2008/9/263青光眼2008/8/302008/9/122008/9/15/2008/9/24……100白內障2008/9/112008/9/242008/9/26/2008/9/30101視網膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/2102視網膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/2 按照4.1模型一的評價體系，進行評價得綜合指標g=4.732。 最終采用最后一個方案，即將視網膜手術改在周三和周五做。4.5問題五 首先約定如下的符號：符號說明n疾病種數L影響床位分配的因素數量m床位總數xij第j個因素對第i種病人影響的指標值wj第j個影響因素的權重eij第j個因素對第i種病人影響的指標規范化取值qi分配給第i種病患者的床位數 對于問題五，我們考慮到平均逗留時間最短的的方案可能有多種，而各種病床安排方案從效益和效率來講可能有差異，因此我們考慮建立多指標床位分配模型[6]。該問題可描述如下：設一共有n種病人，影響床位分配的因素有L個，第j個因素對第i種病人影響的指標值為xij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,L)。指標矩陣為：第j個影響因素的權重為wj(j=1,2,...,L)，。可供分配的床位總數為m，第i種病人分到的床位為xi(i=1,2,...,n)，xi為整數，考慮如何為這n種病人“合理分配”這m個床位。通常指標值分為“效益指標”、“成本指標”和“固定指標”。所謂效益指標是指標值越大越好的指標（病床周轉率），成本指標是指標值越小越好的指標（平均逗留時間），固定指標是指標值穩定在某個固定值為最好的指標（病床利用率）。 考慮到不同指標屬性不同，量綱也可能不同，因此應當對指標作如下規范化處理： 對于效益指標： 對于成本指標： 對于固定指標：其中是為第j個影響因素對第i種病人的最佳指標值。 因此指標矩陣規范化為： 利用主觀賦值法或客觀賦權法確定各指標的權重wj(j=1,2,?,L)。 考慮到多指標床位的合理分配應該按各種病人綜合指標的比例來分配，即盡可能地滿足各種病人的“綜合配額”。設分配給