數學建模講通過對一些簡單的數學建模過程的分析,使隊員了解數學建模的基本過程,掌握數學建模的基本知識和一些簡單常用的數學基礎學會查閱資料,積累相應的數學與數學建差商代替微有

fxfxhfh

fxfxfxhfxfxhfx由泰勒公式很容易得到它們的余項分O（h，O（h，O（h2，h插值型數值微分公 n=10 f0

1

y1h

y0

x01x011 yfxLx Rxhf22

0

f1三點公式n=2，xix0110

f(x)yi0,1,22Lx=2

00122兩端求導得Lx122

y y

yy yy（i=0，1，2）式0fx0

1

4

y2 fx1yy fx2

y04y13y2

ifxLx1y2yy

h2 利用樣條函數求數值微此用三次樣條插值函數Sx的導數近似函數的導數不僅可靠性好而且可計算非節點處即fkxSk fkxSkxOh4k如以二階導數為參數的三次樣條插值x

x

y ifxSx i

i1iM

fxSxSix

xxiM

xxi1ii

xi1,xi

Mi－

sxi1

sxi二數值積[a,b](k=0,1,…,n)，設

xxxb用被積函數 f(x)在這些點的函數值f

af(x)dx k

Akf(xk稱為數值求積公式，其中 個點(k=0,1,…,n)記

(k=0,1,…,n)bR[f]b

nnf(x)dxAkf(xkkiin一個方法就是利用插值多項式P(x)來構造求n

fx

P(x)

Af(x

b b

k梯形公bf(x)dxbaf(a)f (bR[f]

f(辛浦生公bf(x)dxbaf(a)4f(ab)f (b

復化梯形公bab

h22

N2k

fxk

fRNfbah2f

復化辛浦生公

h

N

6afx6

f

NkN

fx2k

k

f

fbR(N)[f]bah4f(4)

(a, 6逐次分半求積 hfa22N1fxkhfb422 42

k Th

fa2k1hN其中hbaN

22k1 22I

＋1

T

1

T2

2

4

2 5求積公 43 RNC2

(C2

) 2 43 42 CNS2

2N

) 2 42kn2T2Rk2020121222323424525三非線性方程求xg(x)f(x)0轉化為等價方程(2.1)的方法是定義迭代法）設方程為xg(x)選取方程根的一個初始近似x0，且x1g(x0x2g(x1xxk1g(xkg(x)如果由迭代法產生的序列xk有極k存在，即limkk

x，則稱

為收斂或稱迭kk程收斂。否則稱x不收kk設g(x)

kkk

xxg(x即x為方程的解（稱x為函數g(x)的不動點xlimk

k

kkk

)g(limxk)g(xk f(x)0轉化為等價的方程xg(x)時，選擇不同的迭代函數g(x)，就會產生不同的序列x（即使初始值x選擇一定理設有方程xg( 設g(x)于[ab當x[ab]時，有g(x)[a當x[ab時，g(x)g(x)L1。xg(x)在[ab上有唯一解x對任意選取初始值x0[a,bxk1

(k0,1,收斂，即limkkk

xkxk

11

kkk

xk

x

x1

(k1k定理（迭代法的局部收斂性）設給定方程xg(x1k設x為方程的解設g(x)在xg(x) k 則對任意取初值xS，迭代過程 k （k0,1,2,）收斂于x（稱迭代過程具有局部3迭代f(x)其中，假設fx)在[ab]上一階連續可微，且0f(af(b)0；又設xfx的一個零點x(a,b00似值（f(x)0。現考慮用過曲線yf(x0 點P(x,f(xfx

0()(0

1fxxx的10fx0k 一般，若已求得x，將x換為xk 過程，即得求方程

f(x)0根的方法的

f(x

(k

k

f(xk4弦割法k如果函數f(x)比較復雜求導可能有這時可將公式中

f(x)近似用差商來代f(x)

f(xk)f(xk1)xkxk110于是得到計算公式：給定初值xx10

k

(k高斯消去法a11x1a12x2a1nxnaxaxax將21 22

2n axa

axn1 n2

nn

a(1)x1

b(1)

1n

1a)2(

a)2(

b化為 22

2n

2

nnnnn k1,2,...,n1

an)(x

ikik，ik,...,nm a (kaa(k1)a(k)ma(k) (i,jk1,,

ikb(k1)b(k)mb(k) (ik1,

ik2 回代計算

abnabn

，(in1,nb(i)a(i) ixi

aji1(i)a

A(n) l21Ll31

n

n

a(1) 1na U=A(n)a

A(n1)

22

nn a(n)nn設有方程組AxbA為非奇異陣。解方程組的迭代法，首先需要將Axb轉化為xBx任取初始值x造向量序列xk

按下述逐次代入方法構xk1Bxk

(kB與klimxkxxk雅可比迭代 x0初始向量x(k1)Jxk其中JD1LU),fDJJacobiJacobi (k),,x(k))T為第k次近似 ax(k1)

x(kii或

njn1 1

xk

a a ii

ijj

高斯—塞德爾迭代 x0(初始向量xk1Gx(k)其中GDL)1U,

(DGG—SG—S (k),,x(k))T，可寫 (DL)x(k1)Ux(k) ax(k1)ax(k1)ax(k)ii或

ijj

ij j1 1

aaxk

1

k)1(

k22

i ijj

x)nn

解線性方程組的超松弛迭代ji設已知第k次近似x(k及第k1次近似的分量xk1j1,2,i1G－S迭代法計算一個輔助量x(k1)：jixk1)(1

xk1)(

axkna ijna j

ijj再由x(k)的第i個分量x(k)與x(k

ix(k1)i

)(k))得到解AxbSOR

11

xi

i ijj

x)

()k

1 1k

knin

ka a

iijj

x)

SOR方法中取＝1SOR方法就G－S迭代法，當松弛因子滿足01時，12時迭代法稱定理（b擾動對解的影響Ax＝b≠0，x為精確解，A為非奇且設A(xx)bxbA1xb五矩陣的特征值與特征向1乘冪nA有完備的特征向量系，n同的矩陣就具有這種性質。設

（j1,2,n）nAxjjxj,j1,2,n，其jA的特征值1（j1,2,n1

，為了方便1首先是實數且是單根的情形11時有1

。設v00向量，則v00v0a1x1a2x2ankk令v ，kkk kv k

Ak

=ak

ak

akxk011 22nk011 22nnk 1 2

a

ak1x2nnk1(axa(2)k1xa(n)k1x2nn 1 設a0，由于|

|（j2,3,4,n）1ii

k

aixik

n

iki所 ka2(i

x0j 所以只要 充分大，就k

k

kvk1

(a1x1aj

xj)

因此可以將 作為與相應的特征向k k1ax，vkaxk

1

11所以(vk1)i（i1,2,3,n(v

表示v1第i

(vk

k 用這種方法計算矩陣A的按模最大的特征值與相應的特征向量的方法就是乘冪kk

kax，如果

1k 1111無窮大時，v 1111

1，當趨于無窮大時，vk的分量會無限趨于0

(vk

,(vk

max(v),(kkkvk1反冪

1

雅可比(Jacobi)方QR方微分方程數值dydx

fx,

axya從理論上講只要方程中的fx,y連續且關于y滿足（Lipschitz）條件即存在常L，使fx,y1fx,y2Ly1則常微分方程存在唯一解yy(x n1xn處的近似值

h x 為由xi到xi 用差商代替微ii

yx

yxfx,yx

則得yxi1yxihfxiyxi即yi1yihfxiyi數值積分

yx=xi1fx,yxdxhfx,yii

可得同樣算法 yhf 用泰勒（Taylor）公yxi1yxihyxihyxiyxihfxi,yxi 得離散化計算公式 yhf 等分區間a,b為n份

10

i則xai

hbn

i法左矩形公式，或者用泰勒公式取前兩項yi1yihfxi,yiyi1yihfxi,yi

y y 曲線yyx。定義1局部截斷誤差：假設yiy(xi)為準確值，用某數值算法計算y

，稱為該數值算法的局部截定義2整體截斷誤差：準確解y(xi值解y的誤差，eyxy 設yx有二階導數，由泰勒公式有

h=yxhyx1h2y

=yhfx,y1h2y

所

1h2y()xii

xi1fx,yxdxhfx,yxf

,

i i

yhfx,yf ,

且

i1

1h3y 于此方程為y y0yihfxi,yiyk1

h

fx,yx,fx,yx,yk

實際計算中，當h代后的近似值y1為 法

yhf(x,y yh[f(x,y)f

,