彈塑性力學學本構關系系附加應力對對附加應變變負做功，，即附加應力對對附加應變變做功為非非負，即有有(1)穩定材料與與非穩定材材料穩定材料非穩定材料料（應變硬化化和理想塑塑性材料））（應變軟化化材料）德魯克公設設和依留申申公設是傳傳統塑性力力學的基礎礎，它把塑塑性勢函數數與屈服函函數緊密聯聯系在一起起。德魯克克公設只適適用于穩定定材料，而而依留申既既適用于穩穩定材料，，又適用于于不穩定材材料。(2)德魯克塑性性公設的表表述德魯克公設設可陳述為：：對于處在在某一狀態態下的穩定定材料的質質點(試件)，借助于一一個外部作作用在其原原有應力狀狀態之上，，緩慢地施施加并卸除除一組附加加壓力，在在附加應力力的施加和和卸除循環環內，外部部作用所作作之功是非非負的。設材料單元元體經歷任任意應力歷歷史后，在在應力σij0下處于平衡衡，即開始始應力σij0在加載面內內，然后在在單元體上上緩慢地施施加一個附附加力，使使σij0達到σij，剛好在屈屈服面上，，再繼續加加載到σij+dσij，在這一階階段，將產產生塑性應應變dεijp，最后應力力又卸回到到σij0。若整個應應力循環過過程中，附附加應力dσij所作的塑性性功不小于于零，即附附加應力的的塑性功不不出現負值值，則這種種材料就是是穩定的，，這就是德魯克公設設。在應力循環環中，外載載所作的功功為：不論材料是是不是穩定定，上述總總功不可能能是負的，，不然，我我們可通過過應力循環環不斷從材材料中吸取取能量，這這是不可能能的。要判判斷材料穩穩定必須依依據德魯克克公設，即即附加應力力所作的塑塑性功不小小零得出由于彈性應應變εije在應力循環環中是可逆逆的，因而而于是有：(3)德魯克塑性性公設的重重要推論屈服面的外外凸性塑性應變增增量方向與與加載曲面面正交1屈服曲面的的外凸性此式限制了了屈服面的的形狀：對于任意應應力狀態，，應力增量量方向與塑塑性應變向向量之間所所成的夾角角不應該大大于90°穩定材料的的屈服面必必須是凸的的.(a)滿足穩定材材料的屈服服面(b)不滿足穩定定材料的屈屈服面2塑性應變增增量向量與與屈服面法法向平行加載面切平面必與加載面的外法線重合，否則總可以找到A0使A0A·dεp≥0不成立(如右圖)。標量dλ，稱為塑性性因子表明，塑性應變分量σij之間的比例可由在加載面上Φ的位置確定。加載準則意義：只有有當應力增增量指向加加載面的外外部時才能能產生塑性性變形。3德魯克塑性性公設的評評述德魯克公設設的適用條條件：（1）應力循環中中外載所作作的真實功功與ij0起點無關；；應力循環中中外載所作作真實功與與附加應力力功(2)附加應力功功不符合功功的定義，，并非真實實功（4）德魯克公設設的適用條條件：①ij0在塑性勢面面與屈服面面之內時，，德魯克公公設成立；；②ij0在塑性勢面面與屈服面面之間時，，德魯克公公設不成立立；附加應力功功為非負的的條件（3）非真實物理理功不能引引用熱力學學定律；勢面線屈服面（5）金屬材料的的塑性勢面面與屈服面面基本一致致。3.1.3依留申塑性性公設的表表述依留申塑性性公設：在彈塑性材材料的一個個應變循環環內，外部部作用做功功是非負的的，如果做做功是正的的，表示有有塑性變形形，如果做做功為零，，只有彈性性變形發生生。設材料單元元體經歷任任意應力歷歷史后，在在應力σij0下處于平衡衡，即初始始的應變εij0在加載面內內，然后在在單元體上上緩慢地施施加荷載，，使εij達到屈服面面，再繼續續加載達到到應變點εij+dεij，此時產生生塑性應變變dεijp。然后卸載載使應變又又回到原先先的應變狀狀態εij0，并產生了了與塑性變變量所對應應的殘余應應力增量dσijp。殘余應力增增量與塑性性應變增量量存在關系系：式中，D為彈性矩陣陣。根據依留申申公設，在在完成上述述應變循環環中，外部部功不為負負，即只有在彈性性應變時，，上述WI=0。根據Druker塑性公設可將Druker塑性公設改改寫成：由圖(a)可知，對于于彈性性質質不隨加載載面改變的的非耦合情情況，外部部作用在應應變循環內內做功WI和應力循環環所作的外外部功之間間僅差一個個正的附加加項：因此可將應應變循環所所作的外部部功，寫成成上式表明，，如果德魯魯克塑性公公設成立，，WD≥0，則依留申申塑性公設設也一定成成立，反之之，依留申塑性性公設成立立，并不要要求WD≥0，也就是說說，德魯克克塑性公設設是依留申申塑性公設設的充分條條件，而不不是必要條條件。ABCD當應力點由由A到B時，dσ<0,但dσp>0,塑性變形dεp>0，總變形dε>0應變空間加加載面外凸凸①加載準則(取大于號表表示有新的的塑性變形形發生)②塑性勢面與屈服面相同③根據關關于的的正交交法則，可可得：由應力空間間中的屈服服與應變空空間中屈服服面的轉換換關系，可可得：結合可得：3.1.4塑性位勢理理論與流動法則與彈性位勢勢理論相類類似，Mises于1928年提出塑性性位勢理論論。他假設設經過應力力空間的任任何一點M，必有一塑塑性位勢等等勢面存在在，其數學學表達式稱稱為塑性位位勢函數，，記為：或式中，為硬化參數數。塑性應變增增量可以用用塑性位勢勢函數對應應力微分的的表達式來來表示，即即：上式就稱為為塑性位勢理理論。它表明一一點的塑性性應變增量量與通過該該點的塑性性勢面存在在著正交關關系，這就就確定了應應變增量的的方向，也也就確定了了塑性應變變增量各分分量的比值值。流動規則也也稱為正交交定律，是是確定塑性性應變增量量各分量的的比值，也也即塑性增增量方向的的一條規定定。上式是是流動規則則的一種表表示形式，，另外還有有另一種表表示形式：：它表明塑性性應變增量量與通過該該點的屈服服曲面成正正交關系。。與德魯克公公設表達式式比較，可可以看出，，服從于德德魯克公設設的材料，，塑性勢函函數g就是屈服函函數Φ。即g=Φ，由此得到的的塑性應力力應變關系系通常稱為為與加載條條件相關聯的流流動法則。如果g≠Φ，即屈服面面與塑性應應變增量不不正交，則則其相應的的塑性應力力應變關系系稱為非關聯流動動法則。在應變空間間，流動規規則可用下下式表示：：和都為非負的的比例系數數。3.2硬化規律塑性模型三三要素屈服條件流動法則硬化規律判斷何時達達到屈服屈服后塑性性應變增量量的方向，，也即各分分量的比值值決定給定的的應力增量量引起的塑塑性應變增增量大小硬化規律：：加載面在在應力空間間中的位置置、大小和和形狀的變變化規律。。（確定加加載面依據據哪些具體體的硬化參參量而產生生硬化的規規律稱為硬硬化定律））硬化模型：：實際土體體硬化規律律+簡化假設（（如采用等等值面硬化化理論，主主應力方向向不旋轉，，加載面形形狀不變等等）金屬材料：：采用等向向強化和隨隨動強化；；巖土材料：：靜力問題題采用等向向強化；循循環荷載和動力問題題采用隨動動強化或混混合強化常用模型3.2.1等向強化模模型這種模型無無論在哪個個方向加載載拉伸和壓壓縮強化總總是相等地地產生和開開展；在復復雜加載條條件下，即即表示應力力空間中作作形狀相似似的擴大，，如圖中OABDD'E'代表等向強強化，圖中中B與D'點所對應的的應力值均均為σ's(指絕對值)，在這種情情況下，壓壓縮屈服應應力和彈性性區間都隨隨著材料強強化而增大大。在應力空間間中，這種種后繼屈服服面的大小小只與最最大的應力力狀態有關關，而與中中間的加載載路徑無關關。在右圖圖中，路徑徑1與路徑2的最終應力力狀態都都剛好對應應于加載過過程中最大大應力狀態態，因此兩兩者的最終終后繼屈服服是一樣的的；而路徑徑3的最終后繼繼屈服面由由加載路徑徑中最大應應力狀態來來定。3.2.2隨動強化模模型圖中OABCDE代表隨動強強化模型，，彈性卸載載區間是襯襯始屈服應應力σs的兩倍。根根據這種模模型，材料料的彈性區區間保持不不變，但是是由于拉伸伸時的強化化而使壓縮縮屈服應力力幅值減小小。與等向強化化模型不同同，隨動強強化模型是是考慮包辛辛格效應的的。在單向向拉壓情況況下，隨動動強化模型型可以用下下式表示：：包辛格逆效效應（Bauschinger）分直接包包辛格效應應及包辛格格逆效應。。直接包辛辛格效應指指拉伸后鋼鋼材縱向壓壓縮屈服強強度小于縱縱向拉伸屈屈服強度，，如圖1所示；包辛辛格逆效應應在相反的的方向產生生相反的結結果，如圖圖2所示。普拉格將隨隨動強化模模型推廣到到復雜應力力狀態中，，他假定在在塑性變形形過程中，，屈服面形形狀和大小小都不改變變，只是在在應力空間間內作剛體體平移。3.2.3混合強化模模型運動硬化和和等向硬化化的組合，，可以構成成更一般的的硬化模型型，稱為混混合強化模模型這時，后繼繼屈服面既既有位置的的改變，也也產生均勻勻的膨脹。。等向強化混合強化隨動強化(運動強化)初始屈服面面3.2.4加工硬化規規律加工硬化規規律是決定定一個給定定的應力增增量引起的的塑性應變變增量的一一條規則，，在流動規規律中，dλ這個因素可可以假定為為：式中，A為硬化參數數Hα的函數。不同同的的學學者者曾曾建建議議不不同同的的硬硬化化規規律律來來計計算算A的數數值值，，常常用用的的硬硬化化規規律律有有下下列列幾幾種種：：塑性性功功Wp硬化化定定律律：：矩陣陣形形式式：：由得：：塑性性應應變變εijp硬化化定定律律：：進一一步步有有：：由得：：塑性性體體應應變變εvp硬化化定定律律設廣義義塑塑性性力力學學中中，，如如果果取取于是是：：矩陣陣形形式式：：由則有有：：3.3彈塑塑性性本本構構關關系系屈服服條條件件流動動法法則則硬化化規規律律判斷斷何何時時達達到到屈屈服服屈服服后后塑塑性性應應變變增增量量的的方方向向，，也也即即各各分分量量的的比比值值決定定給給定定的的應應力力增增量量引引起起的的塑塑性性應應變變增增量量大大小小本節節內內容容塑性性本本構構關關系系彈性性本本構構關關系系彈塑塑性性本本構構關關系系塑性性增增量量理理論論又又稱稱為為塑塑性性流流動動理理論論，，它它把把塑塑性性變變形形看看成成非非線線性性流流動動。。塑塑性性增增量量理理論論把把應應變變增增量量分分為為彈彈性性應應變變增增量量和和塑塑性性應應變變增增量量兩兩部部分分，，即即式式中中，，彈彈性性應應變變增增量量應應用用廣廣義義虎虎克克定定律律計計算算，，塑塑性性應應變變增增量量根根據據塑塑性性增增量量理理論論計計算算。。塑塑性性增增量量理理論論主主包包括括三三個個部部分分：：關關于于屈屈服服面面理理論論，，關關于于流流動動規規則則理理論論，，關關于于加加工工硬硬化化(或軟軟化化)理論論。。應應用用彈彈塑塑性性增增量量理理論論計計算算塑塑性性應應變變：：首首先先，，要要確確定定材材料料的的屈屈服服條條件件，，對對加加工工硬硬化化材材料料，，需需要要確確定定材材料料是是否否服服從從相相關關聯聯流流動動規規則則。。若若材材料料服服從從不不相相聯聯流流動動規規則則，，沿沿需需確確定定材材料料的的塑塑性性勢勢函函數數。。然然后后，，還還需需要要確確定定材材料料的的硬硬化化或或軟軟化化規規律律。。最最后后可可運運用用流流動動規規則則理理論論確確定定塑塑性性應應變變增增量量的的方方向向，，根根據據硬硬化化規規律律計計算算塑塑性性應應變變增增量量的的大大小小。。3.3.1塑性性增增量量理理論論3.3.2一個個普普遍遍的的彈彈塑塑性性模模量量張張量量表表達達式式加工工硬硬化化規規律律是是決決定定一一個個給給定定的的應應力力增增量量引引起起的的塑塑性性應應變變增增量量的的一一條條規規則則，，在在流流動動規規律律中中，，dλ這個個因因素素可可以以假假定定為為：：廣義義虎虎克克定定律律用用增增量量形形式式表表示示：：根據據塑塑性性勢勢函函數數：：以及及進一一步步有有：：(b)(a)將(b)代入入(a)得：：再代代入入(b)得：：彈塑塑性性模模量量張張量量彈性性狀狀態態應力力狀狀態態彈性性應應變變塑性性狀狀態態當前前應應力力狀狀態態、、加加卸卸載載狀狀態態、、加載載歷歷史史、、加加載載路路徑徑、、微微觀觀結結構構塑性性應應變變<增量量關關系系>沿加加載載路路徑徑積積分分應力力應應變變全全量量關關系系應力力應應變變增增量量關關系系彈塑塑性性本本構構關關系系的的建建立立3.3.3廣義義虎虎克克定定律律基本本方方程程增量量表表達達式式于是是：：于是是代入入引入入側側限限變變形形模模量量M彈性性常常數數關關系系表表3.3.4無靜靜水水壓壓力力影影響響的的理理想想彈彈塑塑性性材材料料本本構構關關系系理想想塑塑性性材材料料，，適適用用于于金金屬屬材材料料。。采用用相相關關聯聯流流動動法法則則由于于某某屈屈服服單單元元周周圍圍材材料料仍仍處處于于彈彈性性狀