創作時間：二零二一年六月三十日創作時間：二零二一年六月三十日創作時間：二零二一年六月三十日例1求下列函數的界說域y=log?(x2-4x-5);y=log](16-4x)一4TOC\o"1-5"\h\zy=國父+-3).解：(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,故界說域為{xIx<-l,或x>5}.(2)令得故所求界說域為{xI-Kx<0,或0<x<2}.(3)令，得故所求界說域為{xIx<-1-,或-1-<x<-3,或xN2}.說明求與對數函數有關的界說域問題首先要考慮，真數年夜于零.底數年夜于零不即是1,若處在分母的位置，還要考慮不能使分母為零.例2求下列函數的單調區間.(1)y=log2(x-4)；(2)y=log0．5x2．解：(1)界說域是(4,+8),設t=x-4，當x>4時，t隨x的增年夜而增年夜，而y=log2t,y又隨t的增年夜而增年夜，??(4,+8)是y=log2(x-4)的遞增區間.(2)界說域{x|x￡R,且xW0},設t=x2,則y=log05t當x>0時，t隨x的增年夜而增年夜，y隨t的增年夜而減小,.(0,+8)是y=log0產的遞加區間.當x<0時，t隨x的增年夜而減小，y隨t的增年夜而減小,??(-8,0)是y=l0go產的遞增區間.例3比力年夜小：(1)logo71.3和log。J.8.(2)(lg)17和(lgn)2(n>1).log23和log?log35和log64.解：(1)對數函數y=logo,7x在(0,+8)內是減函數.因為1.3<1.8,所以10go71.3>log。71.8.(2)把lgn看作指數函數的底，本題歸為比力兩個指數函數的函數值的年夜小，故需對底數lgn討論.若l>lgn>0,即l<n<10時，y=(Ign)x在R上是減函數，所以(Ign)i-2>(Ign)2；若lgn>l,即n>10時，y=(Ign)2在R上是增函數，所以(Ign)i-7>(Ign)2.(3)函數yEog/和yEc^x當x>l時，y=log/的圖像在y=log5x圖像上方.這里x=3,所以log23>log53.log?和log64的底數和真數都不相同，須找出中間量“搭橋”，再利用對數函數的單調性即可求解.因為Iog35>log33=l=log66>log64,所以logsSAloge21.評析要注意正確利用對數函數的性質，尤其是第(3)小題，可直接利用例2中的說明獲得結論.例4已知函數f(x)=log(a-ax)(a>l),(1)求f(x)的界說域、值域.(2)判斷并證明其單調性.(3)解不等式4(X2-2)>f(x).解：(1)要使函數有意義，必需滿足丁ax>0,即3〈a.因為a>l,所以x<l；又因為0<a-ax<@,所以f(x)=log(a-ax)(a>l)的值域為(-8,1)(2)設々<氣<1,則a"Ya<a(因為a>l).所以a—a>a-a>0,所以log(a-a)>log(a-a),即f(x1)>f(x2).所以f(x)這(-8,1)上的減函數.(3)設y=log(a-ax),貝Ua-ax=ay,ax=a-ay,x=log(a-ay),所以f-i(x)=log(a-ax)(x￡(-8,1)),f(x)=f-i(x)．由f-i(x2-2)>f(x)有f(x2-2)>f(x)，且f(x)為(-8,1)上的減函數,所以x2-2<x,x<1,解得-1<x<1.評析知道函數值年夜小關系和函數單調性,要研究自變量取值范圍，應直接用單調性得關于x的不等式，但要注意單調區間．例5已知f(x)=2+log3x,x￡[1,9],求y=[f(x)12+f(x2)的最年夜值，及y取最年夜值時，x的值.分析要求函數y二[f(x)]2+f(x2)的最年夜值，要做兩件事,一是要求其表達式；二是要求出它的界說域,然后求值域．解：Vf(x)=2+log3x,/.y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(2+log3x)2+2+2log3x=log23x+6log3x+6=(logx+3)2-3．3V函數f(x)的界說域為[1,9],??要使函數y二：f(X)]2+f(X2)有界說，就須AO<logx^l3/.6^y=(log3x+3)2-3^13??當x=3時，函數y二[f(x)]2+f(X2)取最年夜值13.說明本例正確求解的關鍵是：函數y二：f(x)]2+f(X2)界說域的正確確定.如果我們誤認為[1,9]是它的界說域.則將求得毛病的最年夜值22.其實我們還能求出函數y二[f(x)]2+f(X2)的值域為[6,13].例6(1)已知函數yEogs(X2-4mx+4ni2+m+)的界說域為R,求實數m的取值范圍；(2)已知函數y=log[x2+(k+1)x-k+(a>0,且a#l)的值域為R,求實數k的取值范圍.點撥：題(1)中，對任意實數x,X2-4mx+4ni2+m+>0恒成立；題(2)中，X2+(k+1)x-k+取盡一切正實數.解：(1)*.*x2-4mx+4m2+m+>0對一切實數x恒成立，A=16m2-4(4m2+m+)=-4(m+)<0,根口一耀十1**昭-1>0.（2）yeR,?.X2+（k+1）x-k+可取盡一切正實數.△=（k+1）2—4（-k+）三0,??k2+6kN0,???kN0,或kW-6.評析本題兩小題的函數的界說域與值域正好錯位.（1）中函數的界說域為R,由判別式小于零確保；（2）中函數的值域為R,由判別式不小于零確定.例7求函數y=log05（-x2+2x+8）的單調區間.分析由于對函數的底是一個小于1的正數，故原函數與函數u=-x2+2x+8（-2<x<4）的單調性相反.W.V-x2+2x+8>0,??-2<x<4,??原函數的界說域為（-2,4）.又「函數u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2,1］上為增函數，在［1,4）上為減函數，J函數y=log05（-x2+2x+8）在（-2,1］上為減函數，在［1,4）上為增函數.評析判斷函數的單調性必需先求出函數的界說域，單調區間應是界說域的子集.例8已知a>0且aWl,f(logx)=a2-1,(x-x0.a(1)求f(x);(2)判斷f(x)的奇偶性和單調性；(3)對f(x)，當x￡(-1,1)時，有f(1-m)+f(l-m2)<0,求m的取值范圍.分析先用換元法求出f(x)的表達式；再利用有關函數的性質判斷其奇偶性和單調性；然后利用以上結論解第(3)小題.解：(1)令t=logx(t￡R),則x=曲，且f(t)=(at-@t),/.f(x)=(@x-@x)(x￡R).Vf(-x)=(@x—@x)=-f(x),且x￡R,/.f(x)為奇函數.a>l時，ax為增函數，而且注意到，.二這時，f(x)為增函數.0<a<1時，類似可證f(x)為增函數.???f(x)