不等式知識點歸納大全不等式知識點歸納大全不等式知識點歸納大全不等式知識點歸納大全編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:《不等式》知識點歸納一.(1)解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值.(2)解分式不等式的一般解題思路是什么（移項通分，分子分母分解因式，x的系數變為正值，標根及奇穿過偶彈回）；(3)含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值(一般是分類討論、平方轉化或換元轉化)；(4)解含參不等式常分類等價轉化，必要時需分類討論.注意：按參數討論，最后按參數取值分別說明其解集，但若按未知數討論，最后應求并集.二、利用重要不等式以及變式等求函數的最值時，務必注意a，b（或a，b非負），且“等號成立”時的條件是積ab或和a＋b其中之一應是定值(一正二定三等四同時).三、.常用不等式有：(根據目標不等式左右的運算結構選用)a、b、cR，（當且僅當時，取等號）四、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數）：（，）；五、最值定理（積定和最小）①，若積，則當時和有最小值；（和定積最大）②，若和，則當是積有最大值.【推廣】：③已知若，則有則的最小值為：=4\*GB3④等式到不等式的轉化：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是________．即解得故x＋2y的最小值是4如果求xy的最大值，則，然后解關于的一元二次不等式，求的范圍，進而得到xy的最大值六、比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數性質法、綜合法、分析法和放縮法(注意：對“整式、分式、絕對值不等式”的放縮途徑，“配方、函數單調性等”對放縮的影響).七、含絕對值不等式的性質：同號或有；異號或有.八、不等式中的函數思想不等式恒成立問題“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數與方程”、“化歸與轉化”、“數形結合”、“分類討論”等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談談這類問題的一般求解策略。一、函數法（1）一次函數有：（2）一元二次函數有：1）對恒成立;2）對恒成立（3）不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例1．設，當時，恒成立，求實數的取值范圍。Oxyx-1解：設，則當時，恒成立Oxyx-1當時，顯然成立；當時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數的取值范圍為。二、最值法：將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：（1）恒成立（2）恒成立例2．已知兩個函數，其中為實數.(1)若對任意的，都有成立，求的取值范圍；(2)若對任意的，都有，求的取值范圍.(3)若對于任意,總存在使得成立，求的取值范圍.解：(1)令,問題轉化為在上恒成立,即即可(2)由題意可知當時,都有.（3）于任意,總存在使得成立，等價于的值域是的值域的子集，三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立例3：已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若，若對于所有的恒成立，求實數t的取值范圍.解：題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在[-1,1]上的增函數,故f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=1,則對于所有的恒成立對于所有的恒成立，即對于所有的恒成立，令，只要，．四、變換主元法理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例4：，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉化為恒成立（）。當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。五、數形結合法數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。函數圖象和不等式有著密切的聯系：1）函數圖象恒在函數圖象上方；2）函數圖象恒在函數圖象下上方.例5.設函數,,若恒有成立,試求實數a的取值范圍.xyO解：由題意得,xyO令①,②.①可化為，它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的上半圓；②表示經過定點(-2,0)，以a為斜率的直線，要使恒成立，只需①所表示的半圓在②所表示的直線下方就可以了(如圖所示)．當直線與半圓相切時就有，即，由圖可知，要使恒成立，實數a的取值范圍是．六、分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來解決。例6：時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設，則問題轉化為當時，的最小值非負。當即：時，又所以不存在；當即：時，又當即：時，又綜上所得：例7：已知是實數，函數，如果函數在區間上有零點，求的取值范圍．解析：由函數的解析式的形式，對其在定區間上零點問題的解決需要考慮它是一次函數，還是二次函數，因而需就和兩類情況進行討論。解：函數在區間[-1，1]上有零點，即方程=0在[-1，1]上有解，a=0時，不符合