2022-2023學(xué)年福建省三明市田源初級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，若平面內(nèi)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（

）A.7 B.6 C.5 D.4參考答案：C【分析】設(shè)，，根據(jù)可得，再根據(jù)可得點(diǎn)的軌跡，它一個(gè)圓，從而可求的最大值.【詳解】設(shè)，，故，.由可得，故，因?yàn)椋剩淼玫剑庶c(diǎn)的軌跡為圓，其圓心為，半徑為2，故的最大值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)平面中動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及圓中與距離有關(guān)的最值問題，一般地，求軌跡方程，可以動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法，也可以用幾何法，而圓外定點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)的連線段長的最值問題，常轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑的和或差，本題屬于中檔題.2.設(shè)，則二項(xiàng)式展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)和是A．

B．

C．

D．參考答案：B3.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)+n(x∈[-1,3],n∈N)的最小值為a,最大值為b,記c=b-ab,則{c}是（）A．常數(shù)數(shù)列

B。公比不為1的等比數(shù)列C．公差不為0的等差數(shù)列

D。非等差數(shù)列也非等比數(shù)列參考答案：C4.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，求出復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．【解答】解：由，得z=2i（1+i）=﹣2+2i，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，2），∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．5.已知是上的偶函數(shù)，若將的圖象向右平移一個(gè)單位后，則得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，若

，則的值為

A．－1

B．

C．1

D．不能確定高考資源網(wǎng)參考答案：A略6.已知，則的值是

.參考答案：略7.已知函數(shù)f（x）=x2+cosx，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（x）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函數(shù)的定義得函數(shù)f′（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A適合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除BD，又當(dāng)x=時(shí)，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A適合，故選：A．8.已知為虛數(shù)單位，則的實(shí)部與虛部之積等于（

）A． B．

C．

D．參考答案：A略9.E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則

A．

B．

C．

D．參考答案：D考查三角函數(shù)的計(jì)算、解析化應(yīng)用意識。解法1：約定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐標(biāo)化。約定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夾角公式得，解得。10.已知函數(shù)f（x）=|ln|x﹣1||+x2與g（x）=2x有n個(gè)交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和為（）A．0 B．2 C．4 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】令f（x）=g（x）得出|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性得出零點(diǎn)的和．【解答】解：令f（x）=g（x），即|ln|x﹣1||+x2=2x，∴|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，分別作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函數(shù)圖象，如圖所示：顯然函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，設(shè)橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，∵y=|ln|x﹣1||的圖象關(guān)于直線x=1對稱，y=﹣x2+2x的圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴x1+x4=2，x2+x3=2，∴x1+x2+x3+x4=4．故選C．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，對數(shù)函數(shù)的圖象，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知命題p：?x∈（1，+∞），log2x＞0，則?p為．參考答案：?x∈（1，+∞），log2x≤0【考點(diǎn)】命題的否定．【專題】閱讀型．【分析】首先分析題目已知命題p：?x∈（1，+∞），log2x＞0，求?p．由否命題的定義：否命題是一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命題p：?x∈（1，+∞），log2x＞0，因?yàn)榉衩}是一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定．則?p為?x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案為?x∈（1，+∞），log2x≤0．【點(diǎn)評】此題主要考查否命題的概念問題，需要注意的是否命題與命題的否定形式的區(qū)別，前者是對條件結(jié)論都否定，后者只對結(jié)論做否定．12.給定集合S={x1，x2，…，xn}（n≥2，xk∈R且xk≠0，1≤k≤n），（且），定義點(diǎn)集T={（xi，xj）|xi∈S，xj∈S}．若對任意點(diǎn)A1∈T，存在點(diǎn)A2∈T，使得（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱集合S具有性質(zhì)P．給出以下四個(gè)結(jié)論：①{﹣5，5}具有性質(zhì)P；②{﹣2，1，2，4}具有性質(zhì)P；③若集合S具有性質(zhì)P，則S中一定存在兩數(shù)xi，xj，使得xi+xj=0；④若集合S具有性質(zhì)P，xi是S中任一數(shù)，則在S中一定存在xj，使得xi+xj=0．其中正確的結(jié)論有．（填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論的序號）參考答案：①③【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】利用集合S具有性質(zhì)P的概念，{﹣5，5}﹣5，5與{﹣2，1，2，4}分析判斷即可；取A1（xi，xi），集合S具有性質(zhì)P，故存在點(diǎn)A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算整理即可證得xi+xj=0；數(shù)列{xn}中一定存在兩項(xiàng)xi，xj使得xi+xj=0；【解答】解：集合S具有性質(zhì)P，若A1（﹣5，5），則A2（5，5），若A1（﹣5，﹣5）則A2（5，﹣5），均滿足OA1⊥OA2，所以①具有性質(zhì)P，故①正確；對于②，當(dāng)A1（﹣2，3）若存在A2（x，y）滿足OA1⊥OA2，即﹣2x+3y=0，即，集合S中不存在這樣的數(shù)x，y，因此②不具有性質(zhì)P，故②不正確；取A1（xi，xi），又集合S具有性質(zhì)P，所以存在點(diǎn)A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0，故③正確；由③知，集合S中一定存在兩項(xiàng)xi，xj使得xi+xj=0；假設(shè)x2≠1，則存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．此時(shí)取A1（x2，xn），集合S具有性質(zhì)P，所以存在點(diǎn)A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以當(dāng)x1=﹣1時(shí)x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾，∴xi是S中任一數(shù)，則在S中一定存在xj，使得xi+xj=0．故④不正確；故答案為：①③13.如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為__________．參考答案：

【知識點(diǎn)】程序框圖L1解析：由程序框圖知，又以及周期的性質(zhì)，化簡后得．故答案為.【思路點(diǎn)撥】首先分析程序框圖，循環(huán)體為“直到型”循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)算，求出滿足題意時(shí)的值．14.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值分別為

參考答案：34、55略15.在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為

．參考答案：16.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是，若，且，則△ABC的面積等于

▲

．參考答案：由得，所以，所以，所以。17.曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積等于．參考答案：解：，，時(shí)，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．令，可得，令，可得，三角形的面積等于．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是C上一點(diǎn)，PF2⊥x軸，∠PF1F2的正切值為．（Ⅰ）求C的離心率e；（Ⅱ）過點(diǎn)F2的直線l與C交于M、N兩點(diǎn)，若△F1MN面積的最大值為3，求C的方程．參考答案：略19.（12分）已知函數(shù)．（I）若函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)的

取值范圍；（II）若，設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，

不等式成立．參考答案：【知識點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B11

【答案解析】（I）或；（II）見解析。解析：（I），

∵函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，

即恒成立，∴在時(shí)恒成立，或在時(shí)恒成立，∵，∴或

……6（II），∵定義域是，，即∴在是增函數(shù)，在實(shí)際減函數(shù)，在是增函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，取極大值，當(dāng)時(shí)，取極小值，

∵，∴

設(shè)，則，∴，∵，∴∴在是增函數(shù)，∴∴在也是增函數(shù)

∴，即，而，∴∴當(dāng)時(shí)，不等式成立．

……………12【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由題意得f′（x）?g′（x）=（x+）（a+1）=?（a+1）≥0，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，或恒成立，求得﹣x2的最值，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）由題意得F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值，即可得出結(jié)論．20.（12分）（2015?欽州模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x+1，0＜a＜1．（1）求函數(shù)f（x）的極大值；（2）若x∈[1﹣a，1+a]時(shí)，恒有﹣a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】：分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極大值；（2）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)0＜a＜時(shí)，當(dāng)≤a＜1時(shí)，判斷f′（x）的單調(diào)性，求得最值，得到a的不等式組，即可解得a的范圍．解：（1）∵函數(shù)f（x）=﹣x+1，0＜a＜1．f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，且0＜a＜1，當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，得a＜x＜3a；當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，得x＜a或x＞3a；∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，a）和（3a，+∞）．故當(dāng)x=3a時(shí)，f（x）有極大值，其極大值為f（3a）=1．（2）∵f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2，當(dāng)0＜a＜時(shí)，1﹣a＞2a，∴f′（x）在區(qū)間[1﹣a，1+a]內(nèi)是單調(diào)遞減．∴f′（x）max=f′（1﹣a）=﹣8a2+6a﹣1，f′（x）min=f′（1+a）=2a﹣1，∵﹣a≤f′（x）≤a，∴此時(shí)，a∈?．當(dāng)≤a＜1時(shí)，f′（x）max=f′（2a）=a2，∵﹣a≤f′（x）≤a，∴即，此時(shí)≤a≤．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，]．【點(diǎn)評】：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．21.（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面底面．為等腰直角三角形，且．，分別為底邊和側(cè)棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，

所以是△的中位線.

所以∥，且．

又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且底面為正方形，所以，且∥.

所以∥，且．

所以四邊形是平行四邊形．

所以∥．

又平面，平面，所以平面．

……………4分（Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫云矫妫裕忠驗(yàn)闉檎叫危裕詢蓛纱怪?以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

由題意易知，設(shè)，則，，，，,,．因?yàn)椋遥裕忠驗(yàn)椋嘟挥冢云矫妫?/p>

……………9分（Ⅲ）易得，．設(shè)平面的法向量為，則所以即令，則．由（Ⅱ）可知平面的法向量是，所以.由圖可知，二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為．

……………14分22.（12分）（2015?南寧二模）設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若關(guān)于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）設(shè)g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個(gè)解，求p的最小值．（3）證明不等式：（n∈N*