第一部分：概念公式1、排列：從n個不同元素中,任取m個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2、組合：從n個不同元素中,任取m個元素,并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題.注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。3、加法原理：如果完成一項工作有兩類相互獨立的方式A和B,在方式A中有m種完成任務(wù)的途徑,在方式B中有n種完成任務(wù)的途徑,則完成這項工作的總的途徑有m+n種.4、乘法原理：如果完成一項工作有兩個連續(xù)的步驟A和B,在步驟A中有m種不同的方式,在步驟B中有n種不同的方式,則完成這項工作的總的方法有m*n種.注意：0！＝1第二部分：排列組合解決方法一：特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法。由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).先排末位共有（C(3,1)）然后排首位共有（C(4,1)）最后排其它位置共有（A(4,3)）由分步計數(shù)原理得（C(3,1)C(4,1)A(4,3)=288）練習(xí)１：六人站成一排，求

(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)

(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)

分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。

第一類：乙在排頭，則直接符合要求，共有A(5,5)=120種站法。

第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排尾，則有A(4,1)可選，此時甲不能在排頭則有A(4,1)可選，其余A(4,4)。則有A(4,1)A(4,1)A(4,4)=384種站法，

共共有504種種站法。方法2：間接法

一共有A(6,6)種方法若A排頭有A(5,5),B排尾有A(5,5),其中重復(fù)了A排頭B排尾的情況有A(4,4)

所以共有A(6,6)-2A(5,5)+A(4,4)=504

方法3：插空法

先讓除A其余五個人任意排列然后讓A插入（不能插第一個位置）共有五個位置可插入

則共有5A(5,5)

其中排除B在尾的狀況4A(4,4)

則有5A(5,5)-4A(4,4)=504（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，則保證不相鄰。有A（4,4）種方法。

第二類：甲在排尾，乙不在排頭，且甲乙不相鄰的有A(3,1)×A（4,4）種方法。

第三類：乙在排頭，甲不在排尾，且甲乙不相鄰的有3×A（4,4）種方法。

第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有（中間四個位置挑二個不相鄰的給甲乙）6×A（4,4）種方法（排除相鄰）。

共共A（4,4）+3×A（4,4）+3×A（4,4）+6×A（4,4）=312。二：相鄰元素捆綁策略要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.例：7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.由分步計數(shù)原理可得共有A（5，5）*A（2，2）*A（2，2）=480練習(xí)1：5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?因為女生要排在一起,所以可以將3個女生看成是一個人,與5個男生作全排列,有A（6，6）種排法,其中女生內(nèi)部也有A（3，3）種排法,根據(jù)乘法原理,共有A（6，6）*A（3，3）種不同的排法.三：不相鄰問題插空策略元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端例.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有A(5,5)種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法A(6,4)，由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有A(5,5)*A(6,4)種練習(xí)1：某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?

∵連續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即A（5，2）＝20。例習(xí)2：馬路上有編號為l，2，3，……，10十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。

∴共C（6，3）=20種方法。四：定序問題倍縮空位插入策略(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)例：7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少種不同的排法A（7，7）/A（3，3）練習(xí)1：期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?答：1/2*A（9，9）練習(xí)2：有1、2、3，...，9九個數(shù)字，可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字的5位數(shù)？

答案是A(9,5)/A(3,3)五：重排問題求冪策略一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為mn種例：把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有多少種不同的分法完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配到車間有7種分法.,把第二名實習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數(shù)原理共有76種不同的排法練習(xí)1：某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法答案：78練習(xí)2：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為分析：插空法：先放入一個節(jié)目有六個位置。再放入另一個節(jié)目有七個位置。即6*7=42。六：一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究多排問題直排策略例：8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排。先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有A（4，2）種,再排后4個位置上的特殊元素有_A（4，1）種,其余的5人在5個位置上任意排列有_A（5，5）種,則共有A（4，2）*A（4，1）*A（5，5）種.七：元素相同問題隔板策略將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用（m-1）塊隔板，插入n個元素排成一排的(n-1)個空隙中，所有分法數(shù)為C(n-1,m-1)例：有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有__C（9，6）_________種分法。練習(xí)1：10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？答案：C（9，4）練習(xí)2：把10本相同的書分給編號1,2,3的閱覽室，要求每個閱覽室分得的書數(shù)不小于其編號數(shù)，則不同的分發(fā)有多少種？分析1：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；

再對余下的7本書進行分配，保證每個閱覽室至少得一本書，

這相當于在7本相同書之間的6個“空檔”內(nèi)插入兩個相同“|”（一般可視為“隔板”）共有C(6,2）種插法，即有15種分法。八：排列組合混合問題先選后排策略解決排列組合混合問題,先選后排（先處理組合再考慮排列）是最基本的指導(dǎo)思想.例:5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有C(5,2)____種方法.再把5個元素(包含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_A(4,4)__種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_C(5,2)*A(4,4)____練習(xí)1：從0，l，2，……，9中取出2個偶數(shù)數(shù)字，3個奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?

分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。

（1）不取0時，從1到9取3個奇數(shù)2個偶數(shù)有C42C53=60種情況，然后排列成5位數(shù)有A55=120種情況。故有60×120=7200種情況。（2）取0時，從1到9取3個奇數(shù)1個偶數(shù)有C41C53=40種情況，然后排列時0不可為首位，故有4A44=96種情況。故有40×96=3840種情況。綜上為11040練習(xí)2：電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?(一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有C73C4(二）選擇10層中的四層下樓有A104種。∴共有C73C42A104=1058400種。九：平均分組除法策略平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以A（n,n）(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。例.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得C(6,2)c(4,2)c(2,2)方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則C(6,2)c(4,2)c(2,2)中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A(3,3)種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故有C(6,2)c(4,2)c(2,2)/A(3,3)種分法練習(xí)1：將5位志愿者分成3組，其中各組2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有多少種？分析：部分均分問題(1)、將5位志愿者分成3組，其中各組2人，另一組1人的分法C(5,2)*C(3,2)*C(1,1)]/A2(2)=15(2)、再分赴世博會的三個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有A(3,3)=6所以將5位志愿者分成3組，其中各組2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有15*6=90種練習(xí)2：10名學(xué)生分成3組,其中一組4人,

另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同方法？分析：先算出10個人排433的方法

C(10,4)*C(6,3)*C(3,3)=4200種

再減去兩個班長在同一組的可能。就是其他8人按照233，413，431三種方式分組

就是C(8,2)*C(6,3)*C(3,3)+C(8,4)*C(4,1)*C(3,3)+C(8,4)*C(4,3)*C(1,1)=1120種

4200-1120=3080種

去掉重復(fù)的，3080/2=1540

也就是說有1540種方法。十：環(huán)形（圓形）排列從n個不同的數(shù)中不重復(fù)的取出取出r個沿一圓周排列，不分首尾排成一個圓圈，稱為圓周排列（也稱循環(huán)排列,環(huán)形排列）。把n個不同的元素圓周排列，排列方案為：n!/n從n個不同的元素中取r個沿一圓周排列，排列的方案：A(n,r)/rN個元素的圓周排列：A(n,n)/n=(n-1)!N個元素的項鏈排列：A(n,n)/2n例：8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分,所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即7！練習(xí)1：五對夫婦圍一圓桌而坐，則男女相間且夫婦相鄰的坐法有分析：要求男女相間且夫妻相鄰，則先將每對夫妻看成一個整體則環(huán)狀排列A(5,5)/5，再考慮內(nèi)部排序，因要求男女相間則只有二種方案故A（5，5）*2/5=48練習(xí)2：四男四女圍一圓桌而坐，男女相間的坐法有分析：直線排列男生A(4,4)女生A(4,4)男左女右或女左男右共二種故直線為A(4,4)A(4,4)*2,再環(huán)狀A(yù)（4，4）*A（4，4）*2/8練習(xí)3：五男四女圍一圓桌而坐，若四女皆不相鄰，則有坐法解：五男先入坐之法為其次由4女入坐5個間隔，其法P(5,4)故坐法為4!*p(5,4)=2880種練習(xí)4：有8個不同顏色的珠子,取6個串成一項鏈,試問有多少種方法？解：A(8,6)/6*2=1680十一.合理分類與分步策略解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。例9.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能夠唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有_C(3,2)*C(3,2)___種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員_C(5,1)C(3,1)C(4,2)_______種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有_C(5,2)C(5,2)___種，由分類計數(shù)原理共有_C(3,2)C(3,2)+C(5,1_____種。練習(xí)1：四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？分析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C（4，2）種，再排：在四個盒中每次排3個有A（4，3）種，故共有種.C（4，2）A（4，3）=144練習(xí)2：9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？分析：先取男女運動員各2名，有C（5，2）C（4，2）種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有中A（2，1）排法，故共有C（5，2）C（4，2）A（2，1）=120種練習(xí)3：3成人2小孩乘船游玩,A號船最多乘3人,B號船最多乘2人,C號船只能乘1人,分析：他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方法.首先人數(shù)可以有以下分配A3,B2,C0；A3,B1,C1；A2,B2,C1分情況討論A3,B2,C0所有可能C（5，3）減去小孩獨乘的可能(只有一種就是兩個小孩都在B上)種乘法（C（5，3）-1=9）種；A3,B1,C1：BC上肯定都是一個大人A（3，2），剩下一個大人和兩個小孩乘A沒得選：種乘法A（3，2）=6；A2,B2,C1首先A、B、C上肯定都有一個大人，所以有（C（3，1）C（2，1）C（2，1）C（1，1）C（1，1）=12）種乘法；答案：9+6+12=27十二.構(gòu)造模型策略一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決。例：馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有C（5，3）練習(xí)1：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？分析：4人選位A（4，4）=24然后4人旁邊插空需5個空位剩余的1個任意放在這5個中的一個即5種共24*5=120十三.正難則反總體淘汰策略有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.例:從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有_C（5，3）,只含有1個偶數(shù)的取法有_C（5，1）C（5，2）,和為偶數(shù)的取法共有_C（5，3）+C（5，1）C（5，2__再淘汰和小于10的偶數(shù)共__9___符合條件的取法共有___C（5，3）+C（5，1）C（5，2）-9_________（０１３，０１５，０１７，０３５，２１３，２１５，４１３，０２４，０２６）練習(xí)1：三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形?分析：比如說該題直接去求三角形的個數(shù)分類太多，比較復(fù)雜;換個方式思考，所求問題的方法數(shù)=任意三個點的組合數(shù)-三點共線的情況數(shù)。即C（9，3）-8=76（8：同行同列同斜線）練習(xí)2：正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體?分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點的組合數(shù)-共面四點的方法數(shù)，

∴共C（8，4）-12=70-12=58個。十四：實際操作窮舉法對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果十五.分解與合成策略分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略例.:30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：C(5,0)+C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)=32十六：化歸策略處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題例：25人排成5×5方隊,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成3×3方隊,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3×3方隊中選3人的方法有__C(3,1)C(2,1)C(1,1)_種。再從5×5方隊選出3×3方隊便可解決問題,從5×5方隊中選取3行3列有_C(5,3)C(5,3)__選法所以從5×5方隊選不在同一行也不在同一列的3人有___C(5,3)C(5,3)C(3,1)C(2,1)C(1,1)_____選法。十七：數(shù)字排序問題查字典策略數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)例．由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？首位是4或5的，都比324105大：

首位有2種選擇，后面5個數(shù)字全排列。2×A（5,5）=240個

首位是3，萬位是4或5的，也比324105大：

首位有1種選擇，萬位有2種選擇，后面數(shù)字全排列：1×2×A(4,4)=48個

首位是3，萬位是2，千位是5的，也比324105大：

后三位全排列：A（3,3）=6個

首位是3、萬位是2、千位是4的當中比324105大的還有324510、324501、324150三個

共有240+48+6+3=297個練習(xí)1：在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有

多少個？分析1：231XX：23154

234XX：A(2，2)=2

235XX：A(2，2)=2

24XXX：A(3，3)=6

25XXX：A(3，3)=6

3XXXX：A(4，4)=24

41XXX：A(3，3)=6

42XXX：A(3，3)=6

431XX：A(2，2)=2

432XX：A(2，2)=2

435XX：43512

共有2+2+6+6+24+6+6+2+2+1+1=58(個)分析2：23145---------------25431有17個（不包括23145）

31245---------------35421有4*3*2*1=24個

41235---------------43521有17個（不包括43521）

17+24+17=58個

分析3：由數(shù)字12345可以組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù),一共有5*4*3*2*1=120種。

≤23145的：1開頭的有24種。21開頭的有6種。23開頭23145最小就1種24+6+1=31

≥43521的：5開頭的有24種。45開頭的有6種.43開頭43521最大就1種24+6+1=31

大于23145且小于43521的數(shù)=120-31-31=58十八：全錯位排列公式：f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]例：五個編號為1~5的小球放進5個編號為1~5的小盒里面，全錯位排列（即1不放1，2不放2，依次類推）一共有多少種放法。分析：令n＝1、2、3、4、5逐個推算的問題。f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=9，f(5)=44答案是44種附加題：歷屆高考排列組合1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素“捆綁”在一起看作一個元素與其它元素進行排列，然后再對這幾個元素進行全排列。（即注意“松綁”）例1．（1996年全國文）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同的排法有（

）A、720種

B、360種

C、240種

D、120種解析：把甲、乙兩人視為一人，這樣6個人看作5個人，5個人的排法有A（5，5）種，甲乙兩人還有順序問題A(2，2），所以排法種數(shù)為故選C2.不相鄰問題插空排:元素不相鄰問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的不相鄰的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.（2006年重慶文）高三（一）班需要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（

）（A）1800

（B）3600

（C）4320

（D）5040解析：先將4個音樂節(jié)目，1個曲藝節(jié)目排列有A（5，5）種，再將2個舞蹈節(jié)目插入其中的6個“空”，有A（6，2）種插入方法，即得不同的排法共有A（5，5）*A（6，2）種，故選B3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.（2006年江蘇理）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有

種不同的方法（用數(shù)字作答）。解析：同色球不加以區(qū)分（即屬相同元素排列的消序問題），先全排列A（9，9），在消去各自的順序即可，則將這9個球排成一列共有種不同的方法。故填A(yù)（9，9）/A（2，2）/A（3，3）/A（4，4）=12604.標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個（某些）元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個（一些）元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4．（2000全國文理）乒乓球隊的10名隊員有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有

.（用數(shù)字作答）解析：3名主力隊員要安排在第一、三、五位置有A（3，3）種方法，從其余7名隊員選2名安排在第二、四位置有種，共有A（7，2）種，故填A(yù)（3，3）A（7，2）=252例5．(2004全國III)將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名，則不同的分配方案共有（

）A．12種

B．24種

C．36種D．48種解析：把四名教師分成3組只有一種分法（即2、1、1型）有C（4，2）方法，再把三組教師分配到三所學(xué)校有A（3，3）種，故共有C(4,2)A(3,3)=36種方法.故選C7.名額分配問題隔板法:對于相同元素的分組這類典型問題，可用“隔板”法求解。例6：某學(xué)校要從高三的6個班中派9名同學(xué)參加市中學(xué)生外語口語演講，每班至少派1人，則這9個名額的分配方案共有

種.（用數(shù)字作答）解析：將9個名額視為9個相同的小球排成一排為：，然后在9個小球的8個空位中插入5塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種放法，故共有不同的放法為C（8，5）種.故應(yīng)填568.限制條件的分配問題分類法:例7．(2005福建文，理)從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有

（

）

A．300種

B．240種

C．144種

D．96種解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：①若甲乙都不選，則有A（4，4）種；②若選甲而不選乙，則有C（3，1）A（4，3）種；③若選乙而不選甲，則有種類情況分別計數(shù)（4）甲乙都選則A(3,2)A(2,2)C(4,2)共，A（4，4）+2C（3，1）A（4，3）+A（3，2）A（2，2）C（4，2）=240例：8（2003年北京春）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．42

B．30

C．20

D．12解析1：對新增的2個節(jié)目分類：①不相鄰：有A（6，2）種，②相鄰：有2C（6，1）種，故不同插法的種數(shù)為42種。故選A

解析2：利用“分步原理”：首先在原5個節(jié)目的6個“空隙”中插入一個節(jié)目有6種，然后再在這6個節(jié)目的7個“空隙”中插入一個節(jié)目有7種，因此共有種。故選A10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式.例9．（2006年湖北文）安排5名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的種數(shù)是

.（用數(shù)學(xué)作答）解：解析：設(shè)全集=｛5名歌手的出場順序排列｝，A=｛某名歌手不第一個出場｝，B=｛另一名歌手不最后一個出場｝，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得排法的種數(shù)共有：=種.故應(yīng)填78解析2：與前題甲不在頭乙不在尾類似。（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。

第一類：乙在排頭，有A(5,5)=120種站法。

第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排尾，有若B不排頭則有C(4,1)C(4,1)A(4,4)=384種站法，

共共有504種種站法。方法2：間接法

一共有A(6,6)種方法若A排頭有A(5,5),B排尾有A(5,5),其中重復(fù)了A排頭B排尾的情況有A(4,4)

所以共有A(6,6)-2A(5,5)+A(4,4)=504

方法3：插空法

先讓除A其余五個人任意排列然后讓A插入（不能插第一個位置）共有五個位置可插入

則共有5A(5,5)

其中排除B在尾的狀況4A(4,4)

則有5A(5,5)-4A(4,4)=504

11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例10．（2006全國I）安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有

種.（用數(shù)字作答）解析：甲、乙二人安排在5月3日至5月7日值班有種，其余5人安排有種方法；所以共有A（5，2）A（5，5）種。.故應(yīng)填240012.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例11．6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（

）A、36種

B、120種

C、720種

D、1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共A（6，6）=720種，選C.13.“至少”“至多”問題用分類法或間接排除法:對于含“至多”或“至少”的排列組合問題，若直接解答多需進行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除