邏輯代數中的

1和0不表示數量大小，僅表示兩種相反的狀態。注意例如：開關閉合為1斷開為0晶體管導通為1截止為0電位高為1低為0二、邏輯體制正邏輯負邏輯規定高電平為邏輯1、低電平為邏輯0規定低電平為邏輯1、高電平為邏輯0通常未加說明，則為正邏輯體制2.1

概述2.2邏輯代數中的三種基本運算與（AND）或（OR）非（NOT）與條件同時具備，結果發生。ABY000010100111真值表邏輯式

Y

=

A·B

=

ABABY000010100111真值表邏輯符號邏輯式

Y

=

A·B

=

AB與或條件之一具備，結果發生。ABY000011101111邏輯式Y=A+B真值表A

BY0

000

111

011

11邏輯符號真值表邏輯式Y=A+B或非條件不具備，結果發生。Y

=

AAY0110真值表邏輯式AY0110邏輯符號真值表非Y

=

A幾種常用的復合邏輯運算異或Y=AB+AB'=A

BABY000011101110不同出1相同出0同或Y=AB+A'B'ABY001010100111相同出

1不同出0注意：異或和同或互為反運算，即=

(

A

B)'證明：設Y=AB+A'B'Y'

=

(

AB

+

A'B'

)'=

(AB)'

(A'B')'=

(A'

+

B')(A+

B)=

A'B

+

AB'=

A

B[例]

試對應輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。Y1Y2Y30010110

0

11

0

01

01

1相有同0出出00解：不同出全1出1曾用標準標準邏輯符號對照基本公式常用公式2.3

邏輯代數的基本公式和常用公式2.3.1基本公式序號公

式序號公

式101′

=

0;

0′=

110

A

=

0111

+

A=

121

A

=A120

+

A

=

A3AA

=

A13A

+

A

=

A4AA′=

014A

+

A′

=

15A

B

=

B

A15A

+B

=

B+

A6A

(B

C)

=

(A

B)C16A

+

(B

+C)

=

(A

+

B)

+C7A

(B

+C)

=

A

B

+

A

C17A

+

B

C

=

(A

+B)(A

+C)8(A

B)

′

=

A′+

B′18(A+

B)

′

=

A′B′9(A

′)

′

=

A證明方法：推演真值表公式

A

+

B

C

=

(A

+B)(A

+C)

的證明右=(A+B)(A+C

)=

A+

AC

+

AB

+

BC=

A(1

+

B

+

C

)

+

BC=A+BC

=左ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111公式

A

+B

C

=

(A

+B

)(A

+C

)

的證明（真值表法）2.3.2

若干常用公式序

號公

式21A

+

A

B

=

A22A

+A'B

=

A

+

B23A

B

+

A

B′=

A24A

(

A

+

B)

=

A25A

B

+

A′

C+

B

C

=

A

B+

A′

CA

B＋

A′

C

+

B

CD

=

A

B+

A′

C26A

(AB)

′

=

A

B′

;

A′(AB)

′

=

A′(一)代入定理將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數替代，等式仍然成立。2.4

邏輯代數的基本定理應用舉例：A+BC

=

(A+B)(A+C)A+B(CD)

=

(A+B)(A+CD)=

(A+B)(A+C)(A+D)求邏輯函數的反函數有兩種方法：利用反演定理或

定律。原運算次序為(二)反演定理對任一個邏輯函數式Y，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數的反函數Y'。變換時注意：不能改變原來的運算順序。反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非號保持不變。Y

=

A(B+C)'

+

CDY'

=

(A'

+

(B'C')')(C'

+

D')(三)對偶定理對任一個邏輯函數式Y，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到原邏輯函數式的對偶式Y

D。應用對偶定理可將基本公式和定律擴展。對偶定理：兩個函數式相等，則它們的對偶式也相等。變換時注意：(1)變量不改變(2)不能改變原來的運算順序A

+

AB

=

A

A

·

(A

+

B)

=

AAB+

A'C+

BC

=

AB+

A'C(

A+

B)(

A'

+

C

)(

B

+

C

)

=

(

A+

B)(

A'

+C

)2.5.1

邏輯函數Y=F(A,B,C,…)若以邏輯變量為輸入，運算結果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數關系。注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。2.5

邏輯函數及其表示方法2.5.2

邏輯函數的表示方法1、真值表2、邏輯式3、邏輯圖4、波形圖5、卡諾圖6、計算機

中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉換1.

真值表列出輸入變量的各種取值組合及其對應輸出邏輯函數值的表格稱真值表。列真值表方法輸入變量A

B

C

····輸出變量Y1

Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應的取值輸

入

變

量輸出變量ABCDY000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111104

個輸入變量有24=16

種取值組合。例如

求函數Y

(

AB

CD)'

的真值表。2.

邏輯函數式表示輸出函數和輸入變量邏輯關系的表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。真值表

邏輯式例：奇偶判別函數的真值表ABC有三種取值都可以使Y=1即A′BC=1即AB′C=1即ABC′=1A=0,B=1,C=1A=1,B=0,C=1A=1,B=1,C=0所以Y=?ABCY00000010010001111000101111011110邏輯式

邏輯圖用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。Y

A(B

C)3.

邏輯圖邏輯圖

邏輯式從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯運算式。(

A

B)B(

A

B)A

(

A

B)(

A

B)((

A

B)

(

A

B)'

)

AB

AB

A

B((

A

B)

(

A

B)'

)例：舉重裁判電路(1)分析邏輯問題，建立邏輯函數的真值表ABCY000000100100(2)根據真值表寫出邏輯式0110Y

A

(B

C)(3)畫邏輯圖1110010100111111ABCF000011110011001101010101×001×1014.

波形圖最小項之和

最大項之積最小項m：在n變量的邏輯函數中，m是包含n個因子的乘積項，這n個變量均以原變量和反變量的形式在m中出現一次。例如：2.5.3

邏輯函數的標準形式F

=

AB+

A'

C=

AB(C

+

C')

+

A'C(B+

B')=

ABC

+

ABC'

+

A'BC

+

A'B'C最小項之和式最小項舉例：對于n變量函數有2n個最小項兩變量A,B的最小項AB,

AB,

AB,三變量A,B,C的最小項AB

（

22

4個）ABCABC

（23

8個）ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,三變量最小項的

表最小項取值對應A

B

C十進制數ABC

0000m0ABC0011m1ABC

0102m2ABC0113m3ABC

1004m4ABC1015m5ABC

1106m6ABC1117m7最小項的性質輸入變量任一取值下，僅有一個最小項的值為1全體最小項之和為1;任何兩個最小項之積為0

;兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。例如：ABC與ABCABC

ABC

AB(C

C

)

AB例：邏輯函數最小項之和的形式：利用公式可將任何一個函數化為miY(

A,

B,C

)

ABC

BC

ABC

BC(

A

A

)

ABC

ABC

ABC

m(

3,6,7

)最大項：最大項M：在n

變量的邏輯函數中，M是包含n個因子的相加項，這n個變量均以原變量和反變量的形式在M中出現一次。如：兩變量A,B的最大項有A

B,

A

B,

A

B,

A

B

（22

4個）對于n變量函數有2n個最大項三變量最大項的

表最大項取值對應A

B

C十進制數A

B

C1117M7A

B

C1106M6A

B

C1015M5A

B

C1004M4A

B

C0113M3A

B

C0102M2A

B

C0011M1A

B

C0000M0最大項的性質在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0全體最大項之積為0任何兩個最大項之和為1最小項與最大項的關系1.相同的最小項和最大項存在互補關系mi

Mi'

Mi

mi'2.

如果已知邏輯函數為時，定能將即：iY

=m化成

為i

以外的那些最大項的乘積。YY

mi

MKi

k≠i即:邏輯函數的最大項之積形式：Y(A,

B,C)

= ABC'

+

BC= ABC'

+

BC(A+

A')= ABC'

+

ABC

+

A'BC=

mi

(i

=

3,

6,

7)i=Mkk

i=

M0

M1

M2

M4

M5標準與或(最小項）表達式式中的每一個乘積項均為最小項F(

A,

B,C,

D)

A'

B'

C'

D'A'

B'

C'

D

A'

B

C'

D

AB'C'

D'

m0

m1

m5

m8

m(0,

1,

5,

8)標準或與(最大項）表達式例：求函數F(A,B,C)

(A

B')'A'B'C的標準與或表達式和標準或與表達式。解：F(A,B,C)

(A

B')'A'B'C

=A'B+A'B'C=

A'B(C

+

C')+

A'

B'

C=

A'BC+

A'BC'+

A'

B'C

m3

m2

m1

m(1,

2,

3)

M(0,4,5,6,7)=

(A+

B+C)(A'

+

B+C)(A'

+

B+C')(A'

+

B'

+C

)(A'

+

B'

+C')ABCmiMiF000011110011001101010101012345670123456700010111例：已知函數的真值表，求該函數的標準與或表達式。解:

從真值表找出F為1的對應最小項。然后將這些項邏輯加。F(

A,

B,C)

A'

BC

AB'

C

ABC'ABC6

m3

m5

m

m7

m(3,

5,

6,

7)問題：怎樣由真值表求出標準或與表達式？化簡意義使邏輯式最簡，以便設計出最簡的邏輯電路，從而節省元器件、優化生產工藝、降低成本和提高系統可靠性。不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與或式，然后通過變換得到所需最簡式。2.6邏輯函數的公式化簡法最簡與或式標準(1)乘積項(即與項)的個數最少(2)每個乘積項中的變量數最少用與門的個數最少與門的輸入端數最少公式化簡法運用邏輯代數的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。并項法運用

AB

AB'

A

，將兩項合并為一項，并消去一個變量。Y

AB'

C

AB'

C'

AB'Y

A(

BC

B'

C'

)

A(

BC'B'

C

)

A(

B

C

)'

A(

B

C

)

AY

AB

AB(E

F

)

ABY

ABC

A'

D

C'

D

BD

ABC

D(

A'C'

)

BD

ACB

(

AC

)'

D

BD

ACB

(

AC

)'

D吸收法運用A+AB

=A

和AB

A'C

BC

AB

A'C

，消去多余的與項。消去法運用吸收律A

A'B

A

B

消去多余因子。Y

AB

A'C

B'C

AB

(

A'B'

)C

AB

(

AB

)'

C

AB

CY

AB'

A'

B

ABCD

A'

B'

CD

AB'

A'

B

CD(

AB

A'

B'

)

A

B

CD

(

A

B

)'

A

B

CD

AB'

A'

B

CD配項法通過乘A

A'

1零項

A

A'

0進行配項，然后再化簡。Y

=

AB+

B'C'

+

AC'D

=

AB+

B'C'

+

AC'D

(B+

B')

AB

B'

C'

ABC'

D

AB'

C'

D

AB

B'

C'Y

=

ABC'

+(ABC)'(AB)'

ABC'(

ABC

)'(

AB

)'+AB(AB)'

AB((

AB

)'C'

)

(

ABC

)'(

AB

)'

AB

(

ABC

)'(

ABC

)'(

AB

)'

(

ABC

)'

A'B'C'綜合靈活運用上述方法[例]化簡邏輯式Y

AD

AD'AB

A'C

C'D

AB'EF解：Y

A

AB

A'C

C'D

AB'EF

A

A'C

C'

D應用A

A'B

A

B

A

C

C'

D

A

C

D[例]

化簡邏輯式Y

AC

A'

D

B'

D

BC'解：Y=AC+BC'+D(A'+B')=AC+BC'+D(AB)'=AC+BC'+AB

+D(AB)'應用AC

BC'

AC

BC'

AB

AC

BC'

AB

D

AC

BC'

D[例]化簡邏輯式Y

(A

B)'(ABC)'(A'C')'解：Y'

((A

B)'(ABC)'(A'C')')'

A

B

A'C'

A

B

C'應用A

AB

A

BY

(

A

B

C'

)'

A'

B'

C用

定律+A'C'例：求的最簡或與式。解：F

D

A

A'CD

D'E

AB'C'EF

A(

A'C

D

)(

D'

E

)(

A

B'

)(

C'

E

)F

D

=

A+

CD+

D'E

+

C'E=

A+

CD+

(C'

+

D')E=

A+

CD

+

(CD)'E=

A+

CD+

E簡化利用對偶原理F

=

(F

D

)D

=

A(C

+

D)E例：化簡下列各邏輯式1.

A(

BC

B'C'

)

A(

BC'

B'C

)AC

AB'CD

ABC

C'

D

ABDAB

A'C

B'C4.(

A'

B

)(

B'C

)(

A

B'

)(

B

C'

)題2.10⑴⑷⑹、2.11

⑴⑵⑶⑸⑵⑶、2.13

⑴⑵2.122.14

(5)(6)(7)(8)、2.15

⑸⑺⑼⑽作業2.7邏輯函數的卡諾圖化簡2.7.1

邏輯函數的卡諾圖表示法實質：將邏輯函數的最小項之和以圖形的方式表示出來。最小項的卡諾圖表示法將n變量的2n個最小項用2n

個小方格表示，并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為n

變量最小項卡諾圖，簡稱為卡諾圖。二變A量卡諾圖B0101230

1四變量卡諾圖三變量卡諾圖A01BC00

01

11

100457612131514891110CDAB00011110以循環碼排列以保證相鄰性00

01

11

10五變量卡諾圖CDCDCD'C'

D'

C'

DA'

B'ABAB'CAB'C'

DAB'

B'C'

D'BCD

AB

DB'C'

D'

A'B'C'

D

A'B'CD

A'

B'

CD'ABC'

D

BCDABC'

D'ABCD'AB'C相鄰項在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點：循環相鄰性同一列最上與最下方格相鄰AB同一行最左與最右方格相鄰A'B

A'BCC''D'

A'

BC'

D如何寫出卡諾圖方格對應的最小項？已知最小項如何找相應小方格？原變量取1，反變量取

0AB'。C'D例如

1001011110CD00011110AB00A'BCDAB'C'D的邏輯式都可以轉化為標準與或式，而且邏輯函數的標準與或式是唯一的。(一)邏輯函數的標準與或式三、用卡諾圖表示邏輯函數每一個與項都是最小項的與或邏輯式稱為標準與或式，又稱最小項表達式。(二)用卡諾圖表示邏輯函數用卡諾圖表示邏輯函數舉例[例]

試畫出函數

Y

=

∑m

(0,1,12,13,15)

的卡諾圖已知標準與或式畫函數卡諾圖(2)填圖邏輯式中的最小項m0、m1、m12、m13、m15對應的方格填1，其余不填。解：(1)畫出四變量卡諾圖AB00011110CD00

01

11

1011111m0m2m4m6ABCY00010010010101101001101011011110已知真值表畫函數卡諾圖[例]已知邏輯函數Y的真值表如下，試畫出Y

的卡諾圖。A011111解：(1)畫3

變量卡諾圖。(2)找出真值表中Y

=1對應的最小項，在卡諾圖相應方格中填1，其余不填。BC00

01

11

10已知一般表達式畫函數卡諾圖[例]已知Y

A'D((AB)'(C

(BD)'))'，試畫出Y

的卡諾圖。AB0001111000

01

11

10(2)

作變量卡諾圖 (3)

根據與或式填圖CD11111111AB

對應最小項為同時滿足A

=1，

B

=1的方格。解：(1)將邏輯式轉化為與或式Y

A'

D

AB

(

C

(

BD

)'

)'

A'

D

AB

C'BDBCD

對應最小項為同時滿足B

=1，C=0，D

=1的方格AD

對應最小項為同時滿足A

=0，D

=1的方格。例：將最大項之積式填入K圖Y

=

(A+

B

+

C)(A'

+

B

+

C')(A'

+

B

+

C)=Π

M(0,4,5)ABC00

01

11

100111001101例：將下列函數式填入K圖。F1

A(

BC

B'C'

)

A(

BC'

B'C

)F2

AC

AB'CD

ABC

C'

D

ABDF3

m(

0,1,3,4,6,8,11,15

)F4

M(

3,5,6,7,10,12,14

)四、用卡諾圖化簡邏輯函數化簡規律2

個相鄰最小項有

1

個變量相異，相加可以消去這1

個變量，化簡結果為相同變量的與；4

個相鄰最小項有2

個變量相異，相加可以消去這2

個變量，化簡結果為相同變量的與；8

個相鄰最小項有3

個變量相異，相加可以消去這3

個變量，化簡結果為相同變量的與；……2n

個相鄰最小項有n個變量相異，相加可以消去這n

個變量，化簡結果為相同變量的與。消異存同CDCD0000

0101

1111ABAB

101000000101111110100111CDAB00例如104

個相鄰項合并消去2

個變量，化簡結果為相同變量相與。8

個相鄰項合并消去3

個變量A0001111011111111111

1=ABC'D'

+

AB'C'D'

+

ABCD'

+

AB'CD'=

AC'D'

+

ACD'

=

AD'卡諾圖化簡法步驟畫函數卡諾圖將各圈分別化簡對填1

的相鄰方格畫包圍圈將各圈化簡結果邏輯加畫包圍圈規則包圍圈必須包含

2n

個相鄰1方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越好；1

方格可重復圈，但須每圈有新1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環相鄰，可畫圈；四個角上的1

方格也循環相鄰，可畫圈。注意[例]用卡諾圖化簡邏輯函數Y(A,B,C,D)=∑m

(0,2,4,5,6,7,9,15)AB00011110CD00

01

11

10解：(1)畫變量卡諾圖 (2)填卡諾圖1111ab1c

1d

1

1畫包圍圈將各圖分別化簡圈4

個可消去2

個變量，化簡為2

個相同變量相與。圈2

個可消去1

個變量，化簡為3

個相同變量相與。Yc

=

AB循環相鄰Yd

=

ADYb

=

BCD孤立項Ya=ABCD(5)將各圖化簡結果邏輯加，得最簡與或式Y

AB'C'

D

BCD

A'B

A'

D'[例]用卡諾圖化簡邏輯函數Y(A,B,C,D)=∑m

(0,2,5,7,8,10,12,14,15)

AB0001111000

01

11

10解：(1)畫變量卡諾圖 (2)填卡諾圖CD1

11111111(4)求最簡與或式Y=

A'BD

BCD

AD'

B'

D'消1

個剩3

個消2

個剩2

個(3)畫圈4

個角上的最小項循環相鄰解：(1)畫變量卡諾圖AB000111CD00

01

11

10(2)填圖11(4)化簡(3)畫圈[例]用卡諾圖化簡邏輯函數Y

A'B'CD

A'BC'

D'

AC'

D

ABC

BD0011

0100m3

m41要畫嗎？10Y

=A'BC'

AC'

D

ABC

A'CD0

方格很少且為相鄰項，故用圈0

法先求Y

的最簡與或式。10解：Y'

ABCY

(Y'

)'

(

ABC)'

A'B'C'11111111110011110111[例]已知某邏輯函數的卡諾圖如下所示，試寫出其最簡與或式。CDAB0000

01

11

1ABCY00010011010001111001101011011111[例]已知函數真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。注意：該卡諾圖還有其他畫圈法可見，最簡結果未必唯一。解：(1)畫函數卡諾圖BCA011

1100

01

11

101

1

1畫圈化簡Y

A'

B'

AC'BC111111AY

=

B'C'

A'

C

ABBC00

01

11

1001例：已知函數式，求最簡與或式和最簡或與式。Y1

=

A'B'C'D+

A'BD'

+

ACD+

AB'Y2

=

m(0,2,8,9,10,11)Y3

=

M(1,3,5,6,9,12,13,15)圖形法化簡函數五、具有無關項的邏輯函數的化簡1.

無關項的概念與表示無關項是特殊的最小項，這種最小

對應的變量取值組合或者不允許出現或者根本不會出現。不允許出現的無關項又稱約束項；客觀上不會出現的無關項又稱任意項。例如

8421碼中，1010

~1111這6種代碼是不會出現的。可以，故稱無關項。例如ABC分別表示一臺電的正轉、反轉和停止。取值只能是100、010、001。而不是000、011、101、110、111，這五項就是約束項。2.

無關項的表示方法無關項在卡諾圖和真值表中用“”“”來標記，在邏輯式中則用字母

d

和相應的

表示。例如

在電

的正轉、反轉和停止的例子中，約束條件可以表示為：或

A'B'C'

+

A'BC

+

AB'C

+

ABC'

+ABC

=

0A'B'C'

=

0A'BC

=

0AB'C

=

0ABC

=

0ABC'

=

0合理利用無關項可使邏輯式更簡單2.

利用無關項化簡邏輯函數無關項的取值對邏輯函數值沒有影響。化簡時應視需要將無關項方格看作

1

或0

，使包圍圈最少而且最大，從而使結果最簡。解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡函數Y=∑m

(0,1,4,6,9,13)+

∑d

(2,3,5,7,10,1