第七章

空間解析幾何與向量代數1第一節向量及其線性運算一、向量概念1.向量:現有大小,又有方向量,稱為向量(或矢量).用一條有方向線段來表示向量.2.向量幾何表示法以線段長度表示向量大小,

AB尤其:模為1向量稱為單位向量.

模為0向量稱為零向量.記為,它方向能夠看作是任意.有向線段方向表示向量方向.以A為起點,B為終點向量,記為或.AB向量

大小叫做向量模.記為

或.

ABAB||||23.自由向量自由向量:只有大小、方向,而無特定起點向量.含有在空間中能夠任意平移性質.大小相等且方向相同,4.向量相等即經過平移能夠使它們重合,35.向量平行(或共線)6.向量共面當把若干個向量起點放在一起時,若它們終點和公共起點在一個平面上,則稱這些向量共面.

假如兩個向量與方向相同或相反,稱為平行,記為‖41.向量加減法(1)平行四邊形法則(2)三角形法則向量加法二、向量線性運算5向量加法運算規律:(1)交換律:

(2)結合律:6多個向量相加:

比如,7向量減法(2)向量減法.要求:(1)負向量:與模相同而方向相反向量,稱為負向量,記作.將之一平移,使起點重合,由終點向終點作一向量,即為

82.向量與數乘法定義模:

當>0時,

當<0時,

當=0時,

設為實數.

要求:向量與數為一個向量.方向:9向量與數乘積運算規律:(1)結合律:(2)分配律:定理向量單位化:

10試用向量證實三角形兩邊中點連線平行于第三邊,且其長度等于第三邊二分之一.

例1證ABCDE所以所以且11例2證ABCDEFO12練習：13定點橫軸縱軸豎軸空間直角坐標系三個坐標軸正方向符合右手系.即以右手握住

z軸，當右手四個手指度轉向

y軸正向時，大拇指指向就是z軸正向.從

x

軸正向以角三、空間直角坐標系14Ⅶ面面面空間直角坐標系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ15空間點有序數組特殊點表示:坐標軸上點坐標面上點一個分量為零:點在坐標面上.

兩個分量為零:點在坐標軸上.

16向量在坐標軸上分向量與向量坐標1.起點在原點向量(向徑)OM設點M(x,y,z)zijkMoxyCABzyxN以

分別表示沿x,y,z軸正向單位向量,稱為基本單位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC稱OA、OB、OC分別是OM在x軸,y軸,z軸上分向量,而x,y,z,分別是OM在三坐標軸上投影,稱為OM坐標.簡記為

,此稱為向量

坐標表示式.17向量在軸上投影向量在軸上投影向量在軸上投影2.起點不在原點O任一向量設點M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)18按基本單位向量坐標分解式：在三個坐標軸上分向量：向量坐標：向量坐標表示式：特殊地：19四、利用坐標作向量線性運算20兩向量平行充要條件.即ax

=bx,ay

=by,az

=bz,于是即對應坐標成百分比.注:在上式中要求,若某個分母為零,則對應分子也為零.已知設且為常數,21設為直線上點，例3解由題意知：2223五、向量模、方向角、投影1.向量模與兩點間距離公式

由勾股定理知，此即向量模坐標表示.

24POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N為空間兩點,則由此得到兩點間距離公式：

25

在z軸上求與兩點A(4,1,7)和B(3,5,2)等距離點.設該點為M(0,0,z),由題設|MA|=|MB|,即解得即所求點為例4解262.方向角與方向余弦空間兩向量夾角概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸夾角.

特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，要求它們夾角可在0與之間任意取值.AOB或.27非零向量與三條坐標軸正向夾角稱為方向角.28非零向量與三條坐標軸正向夾角稱為方向角.由圖分析可知向量方向余弦方向余弦通慣用來表示向量方向.29非零向量與三條坐標軸正向夾角稱為方向角.向量方向余弦坐標表示式30方向余弦特征特殊地：單位向量方向余弦為31

已知兩點M1(2,2,)和M2(1,3,0).計算向量M1M2模,方向余弦和方向角.例5解M1M2={1,1,}模:方向余弦:方向角:32

已知兩點A(4,0,5)和B(7,1,3).求方向和AB一致單位向量.例6解333.向量在軸上投影空間一點在軸上投影34空間一向量在軸上投影35關于向量投影定理(1)證36兩個向量和在軸上投影等于兩個向量在該軸上投影之和.

關于向量投影定理(2)（可推廣到有限多個）37關于向量投影定理(3)38練習：P300習題7-12.5.8.11.12.13.16.1839sF解:由物理知,與位移平行分力作功,與位移垂直分力不作功.于是第二節數量積向量積混合積一、兩向量數量積(ScalarProduct)比如:設力F作用于某物體上,物體有一段位移S,求功表示式.40數量積也稱為“點積”、“內積”.結論兩向量數量積等于其中一個向量模和另一個向量在這向量方向上投影乘積.定義41關于數量積說明：證證42數量積符合以下運算規律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數：若、為數：43利用向量證實三角形余弦定理例1證44例2證所以45數量積坐標表示式設46兩向量夾角余弦坐標表示式由此可知兩向量垂直充要條件為47例3解48二、兩向量向量積(VectorProduct)先研究物體轉動時產生力矩M方向:垂直于OP與F所在平面,指向使OP、F與M滿足右手規則.49定義向量積也稱為“叉積”、“外積”.50注:（1）向量積模幾何意義.51向量積符合以下運算規律：（1）（2）分配律：（3）若為數：例452向量積坐標表示式設53向量積還可用三階行列式表示54例5解55三角形ABC面積為例5解56三、向量混合積(TripleScalar

Product)定義設--混合積坐標表示式57（1）向量混合積幾何意義：關于混合積說明：58解例659ABCD例7解60式中正負號選擇必須和行列式符號一致.ABCD61向量數量積向量向量積向量混合積（結果是一個數量）（結果是一個向量）（結果是一個數量）（注意共線、共面條件）小結62練習：P309習題7-22.3.6.8.9.(1)(3)10.12.63F(x,y,z)=0

Sxyzo一、曲面方程概念定義:若曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有以下關系:(1)S上任一點坐標都滿足方程F(x,y,z)=0;(2)坐標滿足方程F(x,y,z)=0點都在S上;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0圖形

.第三節曲面及其方程64研究空間曲面有兩個基本問題：（2）已知曲面方程，研究曲面形狀．（討論旋轉曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點軌跡時，求曲面方程．65

M0

M

R例1解以下給出幾例常見曲面.依據題意有所求方程為特殊地：球心在原點時方程為66例2解依據題意有化簡得所求方程67例3解方程圖形是怎樣？依據題意有圖形上不封頂，下封底．68定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．播放二、旋轉曲面69以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.二、旋轉曲面定義這條定直線叫旋轉曲面軸．旋轉曲線稱為該旋轉曲面母線.70旋轉過程中特征：將代入母線:71將代入得方程72所以圓錐面方程為例4解73例574例575例676定義觀察柱面形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動直線所形成曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面準線，動直線叫柱面母線.三、柱面播放77平行于定直線并沿定曲線移動直線所形成曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面準線，動直線叫柱面母線.三、柱面78xyzo比如:考慮方程x2+y2=R2所表示曲面.在xoy面上,x2+y2=R2表示以原點O為圓心,半徑為R圓.曲面能夠看作是由平行于

z

軸直線L沿xoy面上圓x2+y2=R2移動而形成,稱該曲面為圓柱面.ol79畫出以下柱面圖形:拋物柱面平面80方程F(x,y)=0表示:母線平行于z軸柱面,準線為xoy面上曲線類似:方程F(x,z)=0表示:母線平行于y軸柱面,準線為xoz面上曲線C:F(x,z)=0,y=0.方程F(y,z)=0表示:母線平行于x軸柱面,準線為yoz面上曲線C:F(y,z)=0,x=0.81思索題指出以下方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？82思索題解答平面解析幾何中空間解析幾何中斜率為1直線方程83二次曲面定義：三元二次方程所表示曲面稱之．對應地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀截痕法：用坐標面和平行于坐標面平面與曲面相截,考查其交線(即截痕)形狀,

然后加以綜合,

從而了解曲面全貌．以下用截痕法討論幾個常見二次曲面．四、二次曲面84zxyO1用坐標面z=0,

x=0和y=0去截割,分別得橢圓(1)橢球面85zxyO(1)橢球面2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當|k|c

時,|k|越大,橢圓越小;當|k|=c時,橢圓退縮成點.86橢球面幾個特殊情況：旋轉橢球面球面球面方程可寫為87xyzozxyo(2)橢圓拋物面88xyzo(2)橢圓拋物面特殊情況：--旋轉拋物面.89(3)橢圓錐面特殊情況：--圓錐面.90(3)橢圓錐面特殊情況：--圓錐面.若方程為則圖形如右圖91(4)單葉雙曲面

xyoz(5)雙葉雙曲面xyo92(6)雙曲拋物面(馬鞍面)xyzo93xzyo(6)雙曲拋物面(馬鞍面)94橢圓柱面還有三種以二次曲線為準線柱面：拋物柱面雙曲柱面95思索題方程表示怎樣曲線？96思索題解答表示雙曲線.97練習：P318習題7-34.5.8.(1)(5)10.(4)11.(3)98二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．99二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．100二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．101二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．102二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．103二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．104二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．105二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．106二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．107二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．108二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．109二、旋轉曲面定義以一條平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周所成曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面軸．110定義三、柱面觀察柱面形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動直線所形成曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面準線，動直線叫柱面母線.111定義三、柱面觀察柱面形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動直線所形成曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面準線，動直線叫柱面母線.112定義三、柱面觀察柱面形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動直線所形成曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面準線，動直線叫柱面母線.113定義三、柱面觀察柱面形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動直線所形成曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面準線，動直線叫柱面母線.114定義三、柱面觀察柱面形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動直線所形成曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面準線，動直線叫