§3.1不等關系與不等式第三章

不等式§3.1不等關系與不等式第三章不等式學習目標1.能用不等式(組)表示實際問題的不等關系.2.初步學會作差法比較兩實數的大小.3.掌握不等式的基本性質，并能運用這些性質解決有關問題.學習目標問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學問題導學知識點一不等關系思考限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/h，用不等式如何表示？答案v≤40.知識點一不等關系思考限速40km/h的路標，指示司機在梳理試用不等式表示下列關系：(1)a大于b

a

b(2)a小于b

a

b(3)a不大于b

a

b(4)a不小于b

a

b＞<≤≥梳理試用不等式表示下列關系：＞<≤≥思考x2＋1與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關系并不顯而易見.你能想個辦法，比較x2＋1與2x的大小，而且具有說服力嗎？知識點二作差法答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.思考x2＋1與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關系并不顯梳理作差法的理論依據：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0.梳理作差法的理論依據：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝不等式性質：(1)a>b?b

a(對稱性)；(2)a>b，b>c?a

c(傳遞性)；(3)a>b?a＋c

b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0?ac

bc；a>b，c<0?ac

bc；(5)a>b，c>d?a＋c

b＋d；(6)a>b>0，c>d>0?ac

bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1?an

bn；知識點三不等式的基本性質<>>><>>>>不等式性質：知識點三不等式的基本性質<>>><>>>>[思考辨析判斷正誤]1.2≥1.(

)2.a>b?a＋c>b＋c.(

)√√×[思考辨析判斷正誤]√√×題型探究題型探究例1

某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本.若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？類型一用不等式(組)表示不等關系解答例1某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據反思與感悟數學中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用數學語言表示出實際問題中的數量關系.用不等式(組)表示實際問題中的不等關系時(1)要先讀懂題，設出未知量；(2)抓關鍵詞，找到不等關系；(3)用不等式表示不等關系.思維要嚴密、規范.反思與感悟數學中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用數學跟蹤訓練1某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產的要求，600mm的鋼管數量不能超過500mm鋼管數量的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？解答跟蹤訓練1某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成50解設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據題意，應有如下的不等關系：(1)截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；(2)截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；(3)截得兩種鋼管的數量都不能為負.解設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根類型二比較大小命題角度1作差法比較大小例2已知a，b均為正實數.試利用作差法比較a3＋b3與a2b＋ab2的大小.解答解∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).當a＝b時，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；當a≠b時，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.綜上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.類型二比較大小命題角度1作差法比較大小解答解∵a3＋b反思與感悟比較兩個實數的大小，可以求出它們的差的符號.作差法比較實數的大小的一般步驟是：差→恒等變形→判斷差的符號→下結論.作差后變形是比較大小的關鍵一步，變形的方向是化成幾個完全平方數和的形式或一些易判斷符號的因式積的形式.反思與感悟比較兩個實數的大小，可以求出它們的差的符號.作差解答跟蹤訓練2已知x<1，試比較x3－1與2x2－2x的大小.解∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2解答跟蹤訓練2已知x<1，試比較x3－1與2x2－2x的大命題角度2作商法比較大小例3若0<x<1，a＞0且a≠1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小關系.∵0<x<1，∴|loga(1＋x)|<|loga(1－x)|.解答命題角度2作商法比較大小∵0<x<1，∴|loga(1＋x高中數學必修五第三章《不等式》31不等關系與不等式課件跟蹤訓練3若a＞b＞0，比較aabb與abba的大小.∵a＞b＞0，又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.解答跟蹤訓練3若a＞b＞0，比較aabb與abba的大小.∵a類型三不等式的基本性質證明類型三不等式的基本性質證明反思與感悟有關不等式的證明，最基本的依據是不等式的8條基本性質，在解不等式時，對不等式進行有關變形的依據也是8條基本性質.反思與感悟有關不等式的證明，最基本的依據是不等式的8條基本證明跟蹤訓練4如果a>b>0，c>d>0，證明：ac>bd.證明跟蹤訓練4如果a>b>0，c>d>0，證明：ac>bd達標檢測達標檢測1.某校對高一美術生劃定錄取分數線，專業成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式表示就是√解析“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.答案解析12341.某校對高一美術生劃定錄取分數線，專業成績x不低于95分，答案解析2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關系是A.a>b>－b>－a

B.a>－b>－a>bC.a>－b>b>－a

D.a>b>－a>－b√解析由a＋b>0，知a>－b，∴－a<b<0.又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.1234答案解析2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的答案解析3.已知a，b，c∈R，則下列命題正確的是1234√解析當c＝0時，A不成立；當c<0時，B不成立；同理可證D不成立.答案解析3.已知a，b，c∈R，則下列命題正確的是1234√解答12344.比較(a＋3)(a－5)與(a＋2)(a－4)的大小.解∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).解答12344.比較(a＋3)(a－5)與(a＋2)(a－4規律與方法1.比較兩個實數的大小，只要求出它們的差就可以了.a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.2.作差法比較大小的一般步驟第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”；第三步：定號，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)；最后得結論.概括為“三步一結論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關鍵.規律與方法1.比較兩個實數的大小，只要求出它們的差就可以了.3.不等式的性質是不等式變形的依據，每一步變形都要嚴格依照性質進行，并注意不等式推導所需條件是否具備.3.不等式的性質是不等式變形的依據，每一步變形都要嚴格依照性本課結束本課結束§3.1不等關系與不等式第三章

不等式§3.1不等關系與不等式第三章不等式學習目標1.能用不等式(組)表示實際問題的不等關系.2.初步學會作差法比較兩實數的大小.3.掌握不等式的基本性質，并能運用這些性質解決有關問題.學習目標問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學問題導學知識點一不等關系思考限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/h，用不等式如何表示？答案v≤40.知識點一不等關系思考限速40km/h的路標，指示司機在梳理試用不等式表示下列關系：(1)a大于b

a

b(2)a小于b

a

b(3)a不大于b

a

b(4)a不小于b

a

b＞<≤≥梳理試用不等式表示下列關系：＞<≤≥思考x2＋1與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關系并不顯而易見.你能想個辦法，比較x2＋1與2x的大小，而且具有說服力嗎？知識點二作差法答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.思考x2＋1與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關系并不顯梳理作差法的理論依據：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0.梳理作差法的理論依據：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝不等式性質：(1)a>b?b

a(對稱性)；(2)a>b，b>c?a

c(傳遞性)；(3)a>b?a＋c

b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0?ac

bc；a>b，c<0?ac

bc；(5)a>b，c>d?a＋c

b＋d；(6)a>b>0，c>d>0?ac

bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1?an

bn；知識點三不等式的基本性質<>>><>>>>不等式性質：知識點三不等式的基本性質<>>><>>>>[思考辨析判斷正誤]1.2≥1.(

)2.a>b?a＋c>b＋c.(

)√√×[思考辨析判斷正誤]√√×題型探究題型探究例1

某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本.若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？類型一用不等式(組)表示不等關系解答例1某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據反思與感悟數學中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用數學語言表示出實際問題中的數量關系.用不等式(組)表示實際問題中的不等關系時(1)要先讀懂題，設出未知量；(2)抓關鍵詞，找到不等關系；(3)用不等式表示不等關系.思維要嚴密、規范.反思與感悟數學中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用數學跟蹤訓練1某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產的要求，600mm的鋼管數量不能超過500mm鋼管數量的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？解答跟蹤訓練1某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成50解設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據題意，應有如下的不等關系：(1)截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；(2)截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；(3)截得兩種鋼管的數量都不能為負.解設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根類型二比較大小命題角度1作差法比較大小例2已知a，b均為正實數.試利用作差法比較a3＋b3與a2b＋ab2的大小.解答解∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).當a＝b時，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；當a≠b時，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.綜上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.類型二比較大小命題角度1作差法比較大小解答解∵a3＋b反思與感悟比較兩個實數的大小，可以求出它們的差的符號.作差法比較實數的大小的一般步驟是：差→恒等變形→判斷差的符號→下結論.作差后變形是比較大小的關鍵一步，變形的方向是化成幾個完全平方數和的形式或一些易判斷符號的因式積的形式.反思與感悟比較兩個實數的大小，可以求出它們的差的符號.作差解答跟蹤訓練2已知x<1，試比較x3－1與2x2－2x的大小.解∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2解答跟蹤訓練2已知x<1，試比較x3－1與2x2－2x的大命題角度2作商法比較大小例3若0<x<1，a＞0且a≠1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小關系.∵0<x<1，∴|loga(1＋x)|<|loga(1－x)|.解答命題角度2作商法比較大小∵0<x<1，∴|loga(1＋x高中數學必修五第三章《不等式》31不等關系與不等式課件跟蹤訓練3若a＞b＞0，比較aabb與abba的大小.∵a＞b＞0，又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.解答跟蹤訓練3若a＞b＞0，比較aabb與abba的大小.∵a類型三不等式的基本性質證明類型三不等式的基本性質證明反思與感悟有關不等式的證明，最基本的依據是不等式的8條基本性質，在解不等式時，對不等式進行有關變形的依據也是8條基本性質.反思與感悟有關不等式的證明，最基本的依據是不等式的8條基本證明跟蹤訓練4如果a>b>0，c>d>0，證明：ac>bd.證明跟蹤訓練4如果a>b>0，c>d>0，證明：ac>bd達標檢測達標檢測1.某校對高一美術生劃定錄取分數線，專業成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式表示就是√解析“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.答案解析12341.某校對高一美術生劃定錄取分數線，專業成績x不低于95分，答案解析2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關系是A.a>b>－b>－a

B.a>－b>－a>bC.a>－b>b>－a