11.1.2三角形的高、中線與角平分線第十一章三角形11.1.2三角形的高、中線與角平分線第十一章三角形學習目標1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點）2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.（難點）學習目標1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點）復習回顧導入新課

定義

圖示垂線線段中點角平分線OBAAB當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線復習回顧導入新課定義你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、過、012345678910012345012345012345678910012345012345畫.思考：過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?復習導入導入新課你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?01三角形的高一三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖,線段AD是BC邊上的高.和垂足的字母.注意!標明垂直的記號012345678910012345012345講授新課三角形的高一三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的思考：你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應該有三條高.思考：你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應該有三條(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)

這三條高之間有怎樣的位置關系？O(3)

銳角三角形的三條高是在三角形的內部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點；銳角三角形的三條高都在三角形的內部.銳角三角形的三條高如圖所示；(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,ABBC它們有怎樣的位置關系？D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD直角邊BC邊上的高是;直角邊AB邊上鈍角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEAD鈍角三角形的三條高(1)你能畫出鈍角三角形的三條ABCDABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(4)它們所在的直線交于一點嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點；鈍角三角形的三條高所在直線交于一點.ABCDF(3)鈍角三角形的三條高(4)它們所在的直線交于O視頻：畫鈍角三角形的高視頻：畫鈍角三角形的高例1

作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)典例精析方法總結：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對的頂點；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上．D例1作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(例2

如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為____．方法總結：可利用面積相等作橋梁(但不求面積)求三角形的高，此解題方法通常稱為“面積法”．例2如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，A例3

如圖，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度數．解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.例3如圖，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作這個三角形的中線(median).AE是BC邊上的中線.三角形的“中線”BACABE=ECE三角形的中線二在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作這個(1)在紙上畫出一個銳角三角形，確定它的中線.

你有什么方法？它有多少條中線？它們有怎樣的位置關系?議一議三條中線，交于一點(1)在紙上畫出一個銳角三角形，確定它的中線.議一議三條中線(2)鈍角三角形和直角三角形的中線又是怎樣的？折一折，畫一畫，并與同伴交流.

三角形的三條中線交于一點，這個交點就是三角形的重心.要點歸納(2)鈍角三角形和直角三角形的中線又是怎樣的？三角形典例精析例4

在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝________.提示：將△ABD與△ADC的周長之差轉化為邊長的差.7cm典例精析例4在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的三角形的角平分線三思考在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設法畫出它的一個內角的平分線嗎?你能通過折紙的方法得到它嗎?三角形的角平分線三思考在一張薄紙上任意畫一個三角形，BAC用量角器畫最簡便，用圓規也能.

在一張紙上畫出一個一個三角形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合.折痕AD即為三角形的∠A的平分線.ABCADBAC用量角器畫最簡便，用圓規也能.在一張紙上畫出一三角形的角平分線的定義:

在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD注意：“三角形的角平分線”是一條線段.∠1=∠2三角形的角平分線的定義:在三角形中，一個內角的平分線每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.(1)你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎?

(2)你能用折紙的辦法得到它們嗎?(3)在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關系?做一做每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角做一做三角形的三條角平分線交于同一點.三角形角平分線的性質三角形的三條角平分線交于同一點.三角形角平分線的性質解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.

例5

如圖,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數.ABDC解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，例5三角形的重要線段概念圖形表示法三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段∵AD是△ABC的高線.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中線三角形中,連結一個頂點和它對邊中的線段∵AD是△ABC的BC上的中線.∴BD=CD=?BC.三角形的角平分線三角形一個內角的平分線與它的對邊相交,這個角頂點與交點之間的線段∵.AD是△ABC的∠BAC的平分線∴∠1=∠2=?∠BAC知識歸納三角形的概念圖形表示法三角形從三角形的一個頂點向它的對邊所在當堂練習1．下列說法正確的是（）A．三角形三條高都在三角形內B．三角形三條中線相交于一點C．三角形的三條角平分線可能在三角形內，也可能在三角形外D．三角形的角平分線是射線B當堂練習1．下列說法正確的是2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④

D．②③DD3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有（）A．2條B．3條C．4條D．5條4.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以5.填空：（1）如圖①，AD,BE,CF是△ABC的三條中線，則AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿(2)如圖②，AD,BE,CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=＿＿，∠3=_________，∠ACB=2______.

圖①圖②AFDC∠22∠4AC∠ABC5.填空：(2)如圖②，AD,BE,CF是△ABC的三條角平6.在ΔABC中,CD是中線,已知BC－AC=5cm,ΔDBC

的周長為25cm,求ΔADC的周長.ADBC解：∵CD是△ABC的中線，∴BD＝AD，∴△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝25cm，則BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周長＝AD＋CD＋AC

＝BD＋CD＋AC

＝25-BC＋AC

＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.6.在ΔABC中,CD是中線,已知BC－AC=5cm,ΔDB7.如圖,AE是△ABC的角平分線.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度數.ABCE解：∵ＡE是△ABC的角平分線，∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.7.如圖,AE是△ABC的角平分線.已知∠B=45°,A

8.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)

=180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.BACDE8.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是解：∵課堂小結三角形重要線段高鈍角三角形兩短邊上的高的畫法中線會把原三角形面積平分一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差角平分線課堂小結三角形重要線段高鈍角三角形兩短邊上的高的畫法中線會把新人教版-八年級（上）數學-第十一章11.1.2三角形的高、中線與角平分線新人教版-八年級（上）數學-第十一章11.1.2三角形的1.理解三角形的高、中線和角平分線的含義,并會作出這三種重要的線段。2.了解三角形的高、中線、和角平分線的性質,并能應用它解決一些問題。3.感受數學知識的廣泛用途和科學探究精神。重點：三角形的高、中線和角平分線的定義。難點：掌握各種線在三角形中分得的角和線段之間的倍分關系。學習目標：1.理解三角形的高、中線和角平分線的含義,并會作出這三種重要你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?畫法過三角形的一個頂點，你能畫出它到對邊的垂線段嗎?BAC回顧與思考你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?畫法過三角形的一個A從三角形的一個頂點BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫做三角形這邊上的高，簡稱三角形的高。如圖,線段AD是BC邊上的高.任意畫一個銳角△ABC,垂直的記號和垂足的字母請你畫出BC邊上的高.注意!標明D三角形的高A從三角形的一個頂點BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。AD⊥BC，則AD是△ABC的BC邊上的高AD是△ABC的BC邊上的高,則AD⊥BC,∠ADB=900三角形的高的理解從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間銳角三角形的三條高(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關系？銳角三角形的三條高交于同一點.O(3)銳角三角形的三條高是在三角形的內部還是外部?銳角三角形的三條高都在三角形的內部。ABCDEF銳角三角形的三條高(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,直角邊BC邊上的高是

;AB直角邊AB邊上的高是

;CB它們有怎樣的位置關系？直角三角形的三條高交于直角頂點.D斜邊AC邊上的高是

;BD●直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,直角鈍角三角形的三條高ABCDEF(1)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？鈍角三角形的三條高不相交于一點它們所在的直線交于一點嗎？鈍角三角形的三條高所在直線交于一點O鈍角三角形的三條高ABCDEF(1)鈍角三角形的三條高交于小結:三角形的高從三角形中的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段

叫做三角形這邊的高。三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內部的數量鈍角三角形直角三角形銳角三角形311相交相交不相交相交相交相交三角形的三條高所在直線交于一點三條高所在直線的交點的位置三角形內部直角頂點三角形外部小結:三角形的高從三角形中的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線2、如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定1.下列各組圖形中,哪一組圖形中AD是△ABC

的高()ADCBABCDABCDABCD(A)(B)(C)(D)BD拓展與練習2、如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么在三角形中,連接一個頂點與它對邊中點的線段,叫做這個三角形這邊的中線.ABCD∵AD是△ABC的中線∴BD=CD=

12BC任意畫一個三角形,然后利用刻度尺畫出這個三角形三條邊的中線,你發現了什么?●●三角形的三條中線相交于一點,交點在三角形的內部.三角形中線的理解EFO三角形的中線在三角形中,連接一個頂點與它對邊中點的線段,叫做這個三角形這也就是說：三角形的任意一條中線把這個三角形分成了兩個面積相等的三角形。EABCD如右圖∵D是BC的中點∴BD=DC而△ABD的面積=BD×AE△ADC的面積=DC×AE故△ABD的面積=△ADC的面積例1：如圖,在△ABC中,AD,AE分別是BC邊上的中線和高.試判斷△ABD和△ADC的面積有何關系？中線的性質也就是說：三角形的任意一條中線把這個三角形分成了兩個面積相等②三角形的中線是一條線段。①任何三角形有三條中線，并且都在三角形的內部，交與一點。③三角形的任意一條中線把這個三角形分成了兩個面積相等的三角形。三角形中線的特點②三角形的中線是一條線段。①任何三角形有三條中線，并且都在三叫做三角形的角平分線。ABCD∵AD是△ABC的角平分線∴∠BAD=∠CAD=１２∠BAC任意畫一個三角形,然后利用量角器畫出這個三角形三個角的角平分線,你發現了什么?●●在三角形中,一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段,三角形的三條角平分線相交于一點,交點在三角形的內部︶︶12三角形的角平分線叫做三角形的角平分線。ABCD∵AD是△ABC的角平分線∵BE是△ABC的角平分線∴_______=_______=____∴∠ACB=2______=2______∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分線∠BCF思考三角形的角平分線是一條線段,角的平分線是一條射線。三角形的角平分線與角的平分線有什么區別？角平分線的理解∵BE是△ABC的角平分線∴_______=_______=例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線,相交于點O.(1)當∠ABC=60°,∠ACB=80°時,求∠BOC的度數例題講解解:∵BD、CE分別是△ABC的角平分線例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線,相交于點O.（2）當∠A=40°時，求∠BOC的度數例題講解解:∵BD、CE分別是△ABC的角平分線例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線,相交于點O.（3）當∠A=x°時，求∠BOC的度數(用含x代數式表示）例題講解解:∵BD、CE分別是△ABC的角平分線例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條名稱基本圖形畫法性質高用邊的垂線三角板畫頂點到對段三條高線相交于三角形內部、外部或邊上一點中線用直尺畫兩點之間的線段三條中線相交于三角形內一點，且把三角形分成面積相等的兩部分角平分線利用量角器畫角的平分線的一部分三條角平分線相交于三角形內一點DACBDACBDACB高、中線與角平分線的比較名稱基本圖形畫法性質高用邊的垂線三角板畫頂點到對段三條高線相如圖,在⊿ABC中,∠1=∠2,G為AD中點,延長BG交AC于E,F為AB上一點,CF⊥AD于H,判斷下列說法那些是正確的,哪些是錯誤的.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是⊿ABE的角平分線()②BE是⊿ABD邊AD上的中線()③BE是⊿ABC邊AC上的中線()④CH是⊿ACD邊AD上的高()三角形的高、中線與角平分線都是線段×××√拓展練習如圖,在⊿ABC中,∠1=∠2,G為AD中點,延長BG交A小結三角形的角平分線、中線、高線的比較相同點：（1）都是線段（2）都從頂點畫出（3）所在直線都相交于一點不同點：角平分線反映的是角的相等關系中線反映的是線段的相等關系高線反映的是它和對邊或對邊所在直線的垂直關系小結三角形的角平分線、中線、高線的比較相同點：（1）都是線段ABC...把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的頂點A上，再把橡皮筋的另一端從點B沿著BC邊移動到點C．.DEFG觀察移動過程中形成的無數條線段（AD、AE、AF、AG…）中有沒有特殊位置的線段？你認為有哪些特殊位置?三角形的高、中線與角平分線ABC...把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的頂點A上，再把ABC...┐DABC...┐DABC...EABC...EABC...FABC...F2.線段中點的定義：3.角平分線的定義：1.垂線的定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.把一條線段分成兩條相等的線段的點當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線.復習2.線段中點的定義：3.角平分線的定義：1.垂線的定義：一條過一點畫已知直線的垂線012345678910012345012345畫法012345678910012345012345012345678910012345012345

過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?BAC過一點畫已知直線的垂線012三角形的高A從三角形的一個頂點BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫做三角形這邊的高，簡稱三角形的高.如圖,線段AD是BC邊上的高.三角形的高A從三角形的一個頂點BC向它的對邊所在直線作垂線，

任意畫一個銳角△ABC,和垂足的字母.ABC請你畫出BC邊上的高.注意!

標明

垂直的記號D三角形的高任意畫一個銳角△ABC,和垂足的字母.ABC請你畫出BC銳角三角形的三條高

剪一個銳角三角形紙片.你能畫出這個三角形的三條高嗎?這三條高之間有怎樣的位置關系？你能用折紙的辦法得到它們嗎?O銳角三角形的三條高是

在三角形的內部還是外部?ABCDEF使折痕過頂點,頂點的對邊邊緣重合銳角三角形的三條高銳角三角形的三條高交于同一點.銳角三角形的三條高都在三角形的內部.銳角三角形的三條高這三條高之間有怎樣的位置關系？銳角三角形的三條高是

在三角形的內部還是外部?OABCDEF銳角三角形的三條高交于同一點.銳角三角形的三條高都在三角形的在紙上畫出一個直角三角形.ABC畫出直角三角形的三條高,直角邊BC邊上的高是

;AB直角邊AB邊上的高是

;CB它們有怎樣的位置關系？直角三角形的三條高交于直角頂點.D斜邊AC邊上的高是

.BD●直角三角形的三條高在紙上畫出一個直角三角形.ABC畫出直角三角形的三條高,直角ABCDEF鈍角三角形的三條高交于一點嗎？鈍角三角形的三條高不相交于一點它們所在的直線交于一點嗎？鈍角三角形的三條高所在直線交于一點O鈍角三角形的三條高ABCDEF鈍角三角形的三條高交于一點嗎？鈍角三角形的三條高∵AD是△

ABC的高，ABCD∴∠BDA=∠CDA=90°.三角形的高的表示法∵AD是△ABC的高，ABCD三角形的高的表示法從三角形中的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段

叫做三角形這邊上的高.三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內部的數量鈍角三角形直角三角形銳角三角形三角形的三條高所在直線交于一點.311相交相交不相交相交相交相交三條高所在直線的交點的位置三角形內部直角頂點三角形外部從三角形中的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間三角形的中線在三角形中,連接一個頂點與它對邊中點的線段,叫做這個三角形這邊的中線.ABCD●●三角形的中線在三角形中,連接一個頂點與它對邊中點的線段,叫做ABCD∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD=12BC●●三角形的中線ABCD∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD=12BC●ABCD任意畫一個三角形,然后利用刻度尺畫出這個三角形三條邊的中線,你發現了什么?●●三角形的三條中線相交于一點,交點在三角形的內部.EFOABCD任意畫一個三角形,然后利用刻度尺畫出這個三角形三條邊三角形的角平分線叫做三角形的角平分線.ABCD●●在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段,︶︶12三角形的角平分線叫做三角形的角平分線.ABCD●●在三角形中１２ABCD∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.●●︶︶12１２ABCD∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=任意畫一個三角形,然后利用量角器畫出這個三角形三個角的角平分線,你發現了什么?三角形的三條角平分線相交于一點,交點在三角形的內部.ACBFEDO任意畫一個三角形,然后利用量角器畫出這個三角形三個角的角平分三角形的角平分線與角的平分線有什么區別？思考三角形的角平分線是一條線段,角的平分線是一條射線三角形的角平分線與角的平分線有什么區別？思考三角形的角平分線如圖，△ABC中，AB邊上的高是

，BC邊上的高是

，AC邊上的高是

．如圖，△ABC中，AB邊上的高是，BC邊上《三角形的高、中線與角平分線》優質課件(3套)《三角形的高、中線與角平分線》優質課件(3套)今天我們學了什么呀？1.三角形的高、中線、角平分線等有關概念及它們的畫法.2.三角形的高、中線、角平分線的幾何表達及簡單應用.本課小結今天我們學了什么呀？1.三角形的高、中線、角平分線等有關概念三角形的重要線段概念圖形表示法三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段∵AD是△ABC的邊BC上的高線，∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中線三角形中,連接一個頂點和它對邊中點的線段∵

AD是△ABC的邊BC上的中線，∴

BD=CD=

BC.

三角形的角平分線三角形一個內角的平分線與它的對邊相交,這個角的頂點與交點之間的線段∵AD是△ABC的內角∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=

∠BAC.

三角形的概念圖形表示法三角形從三角形的一個頂點向它的對邊所在11.1.2三角形的高、中線與角平分線第十一章三角形11.1.2三角形的高、中線與角平分線第十一章三角形學習目標1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點）2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.（難點）學習目標1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點）復習回顧導入新課

定義

圖示垂線線段中點角平分線OBAAB當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線復習回顧導入新課定義你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、過、012345678910012345012345012345678910012345012345畫.思考：過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?復習導入導入新課你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?01三角形的高一三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖,線段AD是BC邊上的高.和垂足的字母.注意!標明垂直的記號012345678910012345012345講授新課三角形的高一三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的思考：你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應該有三條高.思考：你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應該有三條(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)

這三條高之間有怎樣的位置關系？O(3)

銳角三角形的三條高是在三角形的內部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點；銳角三角形的三條高都在三角形的內部.銳角三角形的三條高如圖所示；(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,ABBC它們有怎樣的位置關系？D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD直角邊BC邊上的高是;直角邊AB邊上鈍角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEAD鈍角三角形的三條高(1)你能畫出鈍角三角形的三條ABCDABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(4)它們所在的直線交于一點嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點；鈍角三角形的三條高所在直線交于一點.ABCDF(3)鈍角三角形的三條高(4)它們所在的直線交于O視頻：畫鈍角三角形的高視頻：畫鈍角三角形的高例1

作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)典例精析方法總結：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對的頂點；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上．D例1作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(例2

如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為____．方法總結：可利用面積相等作橋梁(但不求面積)求三角形的高，此解題方法通常稱為“面積法”．例2如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，A例3

如圖，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度數．解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.例3如圖，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作這個三角形的中線(median).AE是BC邊上的中線.三角形的“中線”BACABE=ECE三角形的中線二在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作這個(1)在紙上畫出一個銳角三角形，確定它的中線.

你有什么方法？它有多少條中線？它們有怎樣的位置關系?議一議三條中線，交于一點(1)在紙上畫出一個銳角三角形，確定它的中線.議一議三條中線(2)鈍角三角形和直角三角形的中線又是怎樣的？折一折，畫一畫，并與同伴交流.

三角形的三條中線交于一點，這個交點就是三角形的重心.要點歸納(2)鈍角三角形和直角三角形的中線又是怎樣的？三角形典例精析例4

在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝________.提示：將△ABD與△ADC的周長之差轉化為邊長的差.7cm典例精析例4在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的三角形的角平分線三思考在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設法畫出它的一個內角的平分線嗎?你能通過折紙的方法得到它嗎?三角形的角平分線三思考在一張薄紙上任意畫一個三角形，BAC用量角器畫最簡便，用圓規也能.

在一張紙上畫出一個一個三角形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合.折痕AD即為三角形的∠A的平分線.ABCADBAC用量角器畫最簡便，用圓規也能.在一張紙上畫出一三角形的角平分線的定義:

在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD注意：“三角形的角平分線”是一條線段.∠1=∠2三角形的角平分線的定義:在三角形中，一個內角的平分線每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.(1)你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎?

(2)你能用折紙的辦法得到它們嗎?(3)在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關系?做一做每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角做一做三角形的三條角平分線交于同一點.三角形角平分線的性質三角形的三條角平分線交于同一點.三角形角平分線的性質解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.

例5

如圖,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數.ABDC解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，例5三角形的重要線段概念圖形表示法三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段∵AD是△ABC的高線.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中線三角形中,連結一個頂點和它對邊中的線段∵AD是△ABC的BC上的中線.∴BD=CD=?BC.三角形的角平分線三角形一個內角的平分線與它的對邊相交,這個角頂點與交點之間的線段∵.AD是△ABC的∠BAC的平分線∴∠1=∠2=?∠BAC知識歸納三角形的概念圖形表示法三角形從三角形的一個頂點向它的對邊所在當堂練習1．下列說法正確的是（）A．三角形三條高都在三角形內B．三角形三條中線相交于一點C．三角形的三條角平分線可能在三角形內，也可能在三角形外D．三角形的角平分線是射線B當堂練習1．下列說法正確的是2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④

D．②③DD3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有（）A．2條B．3條C．4條D．5條4.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以5.填空：（1）如圖①，AD,BE,CF是△ABC的三條中線，則AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿(2)如圖②，AD,BE,CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=＿＿，∠3=_________，∠ACB=2______.

圖①圖②AFDC∠22∠4AC∠ABC5.填空：(2)如圖②，AD,BE,CF是△ABC的三條角平6.在ΔABC中,CD是中線,已知BC－AC=5cm,ΔDBC

的周長為25cm,求ΔADC的周長.ADBC解：∵CD是△ABC的中線，∴BD＝AD，∴△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝25cm，則BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周長＝AD＋CD＋AC

＝BD＋CD＋AC

＝25-BC＋AC

＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.6.在ΔABC中,CD是中線,已知BC－AC=5cm,ΔDB7.如圖,AE是△ABC的角平分線.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度數.ABCE解：∵ＡE是△ABC的角平分線，∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.7.如圖,AE是△ABC的角平分線.已知∠B=45°,A

8.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)

=180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.BACDE8.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是解：∵課堂小結三角形重要線段高鈍角三角形兩短邊上的高的畫法中線會把原三角形面積平分一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差角平分線課堂小結三角形重要線段高鈍角三角形兩短邊上的高的畫法中線會把新人教版-八年級（上）數學-第十一章11.1.2三角形的高、中線與角平分線新人教版-八年級（上）數學-第十一章11.1.2三角形的1.理解三角形的高、中線和角平分線的含義,并會作出這三種重要的線段。2.了解三角形的高、中線、和角平分線的性質,并能應用它解決一些問題。3.感受數學知識的廣泛用途和科學探究精神。重點：三角形的高、中線和角平分線的定義。難點：掌握各種線在三角形中分得的角和線段之間的倍分關系。學習目標：1.理解三角形的高、中線和角平分線的含義,并會作出這三種重要你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?畫法過三角形的一個頂點，你能畫出它到對邊的垂線段嗎?BAC回顧與思考你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?畫法過三角形的一個A從三角形的一個頂點BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫做三角形這邊上的高，簡稱三角形的高。如圖,線段AD是BC邊上的高.任意畫一個銳角△ABC,垂直的記號和垂足的字母請你畫出BC邊上的高.注意!標明D三角形的高A從三角形的一個頂點BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。AD⊥BC，則AD是△ABC的BC邊上的高AD是△ABC的BC邊上的高,則AD⊥BC,∠ADB=900三角形的高的理解從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間銳角三角形的三條高(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關系？銳角三角形的三條高交于同一點.O(3)銳角三角形的三條高是在三角形的內部還是外部?銳角三角形的三條高都在三角形的內部。ABCDEF銳角三角形的三條高(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,直角邊BC邊上的高是

;AB直角邊AB邊上的高是

;CB它們有怎樣的位置關系？直角三角形的三條高交于直角頂點.D斜邊AC邊上的高是

;BD●直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,直角鈍角三角形的三條高ABCDEF(1)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？鈍角三角形的三條高不相交于一點它們所在的直線交于一點嗎？鈍角三角形的三條高所在直線交于一點O鈍角三角形的三條高ABCDEF(1)鈍角三角形的三條高交于小結:三角形的高從三角形中的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段

叫做三角形這邊的高。三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內部的數量鈍角三角形直角三角形銳角三角形311相交相交不相交相交相交相交三角形的三條高所在直線交于一點三條高所在直線的交點的位置三角形內部直角頂點三角形外部小結:三角形的高從三角形中的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線2、如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定1.下列各組圖形中,哪一組圖形中AD是△ABC

的高()ADCBABCDABCDABCD(A)(B)(C)(D)BD拓展與練習2、如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么在三角形中,連接一個頂點與它對邊中點的線段,叫做這個三角形這邊的中線.ABCD∵AD是△ABC的中線∴BD=CD=

12BC任意畫一個三角形,然后利用刻度尺畫出這個三角形三條邊的中線,你發現了什么?●●三角形的三條中線相交于一點,交點在三角形的內部.三角形中線的理解EFO三角形的中線在三角形中,連接一個頂點與它對邊中點的線段,叫做這個三角形這也就是說：三角形的任意一條中線把這個三角形分成了兩個面積相等的三角形。EABCD如右圖∵D是BC的中點∴BD=DC而△ABD的面積=BD×AE△ADC的面積=DC×AE故△ABD的面積=△ADC的面積例1：如圖,在△ABC中,AD,AE分別是BC邊上的中線和高.試判斷△ABD和△ADC的面積有何關系？中線的性質也就是說：三角形的任意一條中線把這個三角形分成了兩個面積相等②三角形的中線是一條線段。①任何三角形有三條中線，并且都在三角形的內部，交與一點。③三角形的任意一條中線把這個三角形分成了兩個面積相等的三角形。三角形中線的特點②三角形的中線是一條線段。①任何三角形有三條中線，并且都在三叫做三角形的角平分線。ABCD∵AD是△ABC的角平分線∴∠BAD=∠CAD=１２∠BAC任意畫一個三角形,然后利用量角器畫出這個三角形三個角的角平分線,你發現了什么?●●在三角形中,一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段,三角形的三條角平分線相交于一點,交點在三角形的內部︶︶12三角形的角平分線叫做三角形的角平分線。ABCD∵AD是△ABC的角平分線∵BE是△ABC的角平分線∴_______=_______=____∴∠ACB=2______=2______∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分線∠BCF思考三角形的角平分線是一條線段,角的平分線是一條射線。三角形的角平分線與角的平分線有什么區別？角平分線的理解∵BE是△ABC的角平分線∴_______=_______=例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線,相交于點O.(1)當∠ABC=60°,∠ACB=80°時,求∠BOC的度數例題講解解:∵BD、CE分別是△ABC的角平分線例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線,相交于點O.（2）當∠A=40°時，求∠BOC的度數例題講解解:∵BD、CE分別是△ABC的角平分線例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線,相交于點O.（3）當∠A=x°時，求∠BOC的度數(用含x代數式表示）例題講解解:∵BD、CE分別是△ABC的角平分線例2:如圖,已知:△ABC中,BD、CE分別是△ABC的兩條名稱基本圖形畫法性質高用邊的垂線三角板畫頂點到對段三條高線相交于三角形內部、外部或邊上一點中線用直尺畫兩點之間的線段三條中線相交于三角形內一點，且把三角形分成面積相等的兩部分角平分線利用量角器畫角的平分線的一部分三條角平分線相交于三角形內一點DACBDACBDACB高、中線與角平分線的比較名稱基本圖形畫法性質高用邊的垂線三角板畫頂點到對段三條高線相如圖,在⊿ABC中,∠1=∠2,G為AD中點,延長BG交AC于E,F為AB上一點,CF⊥AD于H,判斷下列說法那些是正確的,哪些是錯誤的.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是⊿ABE的角平分線()②BE是⊿ABD邊AD上的中線()③BE是⊿ABC邊AC上的中線()④CH是⊿ACD邊AD上的高()三角形的高、中線與角平分線都是線段×××√拓展練習如圖,在⊿ABC中,∠1=∠2,G為AD中點,延長BG交A小結三角形的角平分線、中線、高線的比較相同點：（1）都是線段（2）都從頂點畫出（3）所在直線都相交于一點不同點：角平分線反映的是角的相等關系中線反映的是線段的相等關系高線反映的是它和對邊或對邊所在直線的垂直關系小結三角形的角平分線、中線、高線的比較相同點：（1）都是線段ABC...把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的頂點A上，再把橡皮筋的另一端從點B沿著BC邊移動到點C．.DEFG觀察移動過程中形成的無數條線段（AD、AE、AF、AG…）中有沒有特殊位置的線段？你認為有哪些特殊位置?三角形的高、中線與角平分線ABC...把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的頂點A上，再把ABC...┐DABC...┐DABC...EABC...EABC...FABC...F2.線段中點的定義：3.角平分線的定義：1.垂線的定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.把一條線段分成兩條相等的線段的點當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線.復習2.線段中點的定義：3.角平分線的定義：1.垂線的定義：一條過一點畫已知直線的垂線012345678910012345012345畫法0123456789100123450123450123