2022/10/111第四章變異函數和擬合模型資源與環境學院楊勇2022/10/112華中農業大學資源與環境學院目錄半方差函數影響半方差函數的因素變異函數的理論擬合模型變異函數（半方差函數）r(h)是地統計學的基石2022/10/113華中農業大學資源與環境學院4.1半方差函數—半方差云圖表示兩個實測值之間差的一半，稱為半方差值，一般意義上，半方差值會隨著兩點間距離的加大而加大，這是因為距離相近的樣品點的性質較為相似。根據點對之間的空間滯后距離h將所有半方差值繪制成的散點圖稱為半方差云圖（如下圖，紅色圈內為特異值）2022/10/114華中農業大學資源與環境學院4.1半方差函數—經驗半方差函數在實踐中，一般是將滯后距（h）劃分為不同的級別，計算每個滯后級別上的平均半方差值，進而得到經驗半方差值和經驗半方差圖來分析數據的空間關系。表示滯后級別，更為常見的表示方法為：2022/10/115華中農業大學資源與環境學院一般地，在實際計算時，假設步長為lag，當前滯后級別為n(n為正整數)，則h=n*lag，應該這樣處理：（1）研究區所有點，找到點對（Pi,Pj），其符合條件：(n-1)*lag<dis(Pi,Pj)<=n*lag，它們之間的距離記為DISi（2）計算[z(pi)-z(pj)]2,記為Si.（3）設找到N(h)個這樣的點對，計算平均距離（4）計算，為n滯后級別上的經驗半方差值。（5）將各個級別的（havg，r*(havg)），繪制在圖上，形成經驗半方差圖2022/10/117華中農業大學資源與環境學院課堂練習假設給出某地土壤元素含量采樣數據，其格式為（x,y,k），共N個采樣點，其中，x和y分別表示采樣點的橫縱坐標值，k為實驗室測得的元素含量值，步長為h，試給出相應的程序步驟，計算該區域內土壤元素的經驗半方差圖。（需計算的最大滯后據為樣點間最大距離的一半）2022/10/118華中農業大學資源與環境學院2022/10/1110華中農業大學資源與環境學院變異函數的一些現象2、塊金效應當h=0時，變異函數r(h)不等于0，而是等于1個常數C0，這種現象稱為“塊金效應”2022/10/1111華中農業大學資源與環境學院變異函數的一些現象3、各向異性2022/10/1112華中農業大學資源與環境學院4.2影響半方差函數的因素一、統計方面1、統計分布：特異值的影響，極大或極小值越靠近區域中間，影響越大。采樣數據的不均勻分布（h-散點圖）。2、屏蔽：特異值可能是錯誤的值，也可能是真實的值，可區分對待。如果檢查發現時錯誤。的值，必須去除。但如果是真實的值，可以去除，也可以保留（如污染區的污染物含量值）3、偏斜：數據的偏態分布，也會造成方差的不穩定

異常值對變異函數的影響2022/10/1114華中農業大學資源與環境學院4.2影響半方差函數的因素三、采樣間距：應大致地了解變異的空間尺度以選擇一個合適的采樣密度。（1）對于完全未知的領域，不知道變異的尺度或模式，應預采樣，找到合適的采樣間距（2）若先前的采樣間距造成經驗半方差函數呈純塊金效應，沒有明顯的空間自相關性，則先前的采樣間距過大，應縮小。（3）若依先前的采樣間距得到的半方差函數有明顯的結構，但研究區內樣點分布不均勻，則可進一步優化其分布。對于第（1）（2）情況，可以采取套合采樣解決。2022/10/1115華中農業大學資源與環境學院4.3變異函數的理論擬合模型理論變異函數用來擬合一些列經驗變異函數值，供后續進行插值估計時使用。選用理論變異函數模型是，要根據經驗半方差圖的形狀來選取合適的模型2022/10/1117華中農業大學資源與環境學院4.3變異函數的理論擬合模型變異函數的理論模型：有基臺值模型無基臺值模型2022/10/1118華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—球狀模型C0：塊金常數C0+C：基臺值C：拱高a：變程應用最廣的模型2022/10/1119華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—指數模型C0：塊金常數C0+C：基臺值C：拱高3a：變程當C0=0,C=1時，稱為標準指數函數模型2022/10/1120華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—高斯模型C0：塊金常數C0+C：基臺值C：拱高：變程當C0=0,C=1時，稱為標準高斯函數模型2022/10/1121華中農業大學資源與環境學院三種常用模型比較0.952022/10/1122華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—線性有基臺值模型C0：塊金常數C0+C：基臺值C：拱高A：常數，表示直線斜率當C0=0,C=1時，稱為標準指數函數模型2022/10/1124華中農業大學資源與環境學院無基臺值模型——線性無基臺值模型2022/10/1125華中農業大學資源與環境學院無基臺值模型——冪函數值模型2022/10/1127華中農業大學資源與環境學院套合模型在實際中，有時區域化隨機變量Z(x)的變化相當復雜，往往包含各種尺度及各種層次的變化，反映在變異函數r(h)上，就是單一的模型結構不能將其合理表達，而是多層次的結構相互疊加在一起，地統計學上稱為套合。所謂套合結構，就是把分別出現在不同距離h上或不同方向上同時起作用的變異性組合起來，對全部有效的結構信息，作定量化的概括，以表示區域化變量的主要特征。2022/10/1128華中農業大學資源與環境學院套合模型土壤是一個不均與、具有高度空間異質性的復合體，它與土壤母質、氣候、水文、地形和生物等因素有關，分析土壤空間變異的因素，可將其變異分為系統變異（土壤形成因素相互作用造成）和隨機變異（可以觀測到的，但與土壤形成印務無關且不能直接分析的）兩大類。如由h分開的兩個點x和x+h的土壤某一性質Z(x)和Z(x+h)。當h趨近于0時，可以認為兩點間的差異完全是由取樣和測定誤差造成，當h逐步增大，如h<1m，差異可能還要加上諸如水分等因素，當h<100m時，在新的變異要考慮地形的作用。2022/10/1129華中農業大學資源與環境學院套合模型當h一定時，變異函數r(h)應包含小于h的所有影響因素，因此，絕大多數變異函數都由下面兩個變異函數組成：

r(h)=r0(h)+r1(h)，即一個代表純塊金方差，一個代表空間相關的方差。一般情況下，套合模型可以用放映各種不同尺度變化的多個變異函數之和表示，即：ri(h)可以是相同的或不同的理論模型2022/10/1130華中農業大學資源與環境學院套合模型如，區域化變量Z(x)的變異性由r0(h),r1(h)和r2(h)組成，其中2022/10/1131華中農業大學資源與環境學院套合模型三者組成的套合模型為：2022/10/1132華中農業大學資源與環境學院套合模型2022/10/1133華中農業大學資源與環境學院套合模型實例某區域鎳蘊藏量的變異函數計算值2022/10/1134華中農業大學資源與環境學院套合模型實例鎳含量的變異函數曲線圖可以看出基臺值在2.55左右對頭兩點作切線與縱坐標相交的交點就是塊金值，大約在0.4左右0.4/2.55=0.156則大約16%的誤差是隨機現象造成的，而空間自相關現象造成的誤差為84%2022/10/1135華中農業大學資源與環境學院套合模型實例C0=0.4C1=1.55a1=14C2=0.6a2=50從圖中可看出，理論值與實際值差異較大，尤其是在15到40m之間，因此，需進行反復修改2022/10/1136華中農業大學資源與環境學院套合模型實例C0=0.4C1=1.15a1=12C2=1a2=60從圖中可看出，理論值與實際值差異擬合較好2022/10/1137華中農業大學資源與環境學院變異函數理論模型的最優擬合要使變異函數的理論模型真實地描述變量的變化規律，在建立理論模型過程中，要對模型進行最優擬合，即確定模型中各個參數的值。地統計學中，擬合過程主要包括三個步驟：確定曲線類型、參數最優估計、最優曲線的確定。2022/10/1138華中農業大學資源與環境學院最優擬合—確定曲線類型一般來講，通過(h,r(h))散點圖確定曲線的大致類型或初步類型，對這個大致的初步類型進行參數最優估計，確定是否為最優曲線。2022/10/1139華中農業大學資源與環境學院最優擬合—參數最優估計變異函數的理論模型主要是曲線模型，將曲線模型經過適當的變換，化為線性模型，然后用最小二乘法原理求未知參數的估計。2022/10/1140華中農業大學資源與環境學院最優擬合—參數最優估計上表式地統計學中常用的變異函數理論模型經過適當變換后，化為的線性模型，對于球狀模型、指數模型和高斯模型，只討論0<h<=a時的擬合問題，對變換后的變異函數理論模型，除球狀模型為二元線性回歸模型外，其余均為一元線性回歸模型，根據最小二乘法原理對這兩類線性回歸模型進行參數估計。2022/10/1141華中農業大學資源與環境學院一元線性回歸模型的參數估計指數模型，高斯模型，冪函數模型和對數模型，均可以變換成一元線性回歸模型根據最小二乘法：通過得到的b0和b1，可以反算理論模型中的C0，C和a等參數值2022/10/1142華中農業大學資源與環境學院一元線性回歸模型的參數估計但上述一般方法沒有注意到變異函數曲線上的頭幾個點的重要性遠大于其他點的重要性（因為后續預測算法中，與預測點距離較近的已知點對預測的結果影響較大），因此，不應把它們與其他實際變異函數曲線上的點平均對待，為了克服這個問題，采用加權回歸的方法比較合適，擬合度較高，權重系數主要是采用每一距離上的樣本對數N(hi)2022/10/1143華中農業大學資源與環境學院加權回歸法其中：2022/10/1144華中農業大學資源與環境學院二元線性回歸模型的參數估計在地統計學的理論模型中，只有球狀模型線性化后成為二元線性回歸模型，共有三個參數：，三個參數加權最小二乘法的參數最優估計為：2022/10/1145華中農業大學資源與環境學院二元線性回歸模型的參數估計2022/10/1146華中農業大學資源與環境學院計算出的b0,b1,b2后，還要分三種情況討論（1）b0>0,b1>0,b2<0,此時球狀模型中的三個參數C0,C,a為2022/10/1147華中農業大學資源與環境學院（2）如b0<0,b1>0,b2<0，此時b0<0，即C0<0，顯然不符合球狀模型的要求，可設b0=0，這是線性公式為y=b1x1+b2x2，重新根據最小二乘法求出參數b1和b2，在b0=0的條件下，仍可求出C0,C和a2022/10/1148華中農業大學資源與環境學院（3）如b0>0,b1>0,b2>=0,此時應分兩種情況，一是b2=0，則線性模型變為y=b0+b1x1，為一元線性模型，不是球狀模型，可按一元線性回歸模型參數估計方法求解參數，另一是b2>0，這時對原始數據進行調整，增加或刪除一些不重要的實際變異函數點的數據，反復多次調整，直到b2<0為止，然后代入下述公式中進行計算。2022/10/1149華中農業大學資源與環境學院回歸模型的檢驗請回顧第二章的相關內容2022/10/1150華中農業大學資源與環境學院實例100個樣方土壤表層有機質的含量

2022/10/1151華中農業大學資源與環境學院四種變異函數理論模型擬合參數線性有基臺值模型的殘差最小，決定系數最大，其次是球狀模型，基臺值基本相同，但線性有基臺值模型的變程最小，其次是高斯模型和球狀模型。塊金值是指數模型的最小，其次是球狀模型和線性有基臺值模型。對這5個參數，顯然最重要的是考慮決定系數R2的大小，其次是考慮殘差RSS的大小，然后再考慮變程和塊金值的大小，根據這個原則，選擇球狀模型作為本實例的變異函數理論模型是比較合適的，這個理論模型除了具有較高的擬合精度外，對變程內的模擬可以得到滿意的結果。2022/10/1152華中農業大學資源與環境學院2022/10/1153華中農業大學資源與環境學院基于優化搜索算法的參數擬合對于結構復雜的變異函數理論模型，特別是套合結構模型，參數復雜，難以用一般的通用方法求解出模型中的參數。但一些智能優化算法，如遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法能夠使用統一的流程求解出接近最優的參數。我們以遺傳算法為例，介紹該算法在求解套合結構模型時的流程。2022/10/1154華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計1、多尺度套合模型的規范表達2022/10/1155華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計從上式可以看出，需求解的參數為2n+1個（因為第一個模型總是純塊金模型）。而在實際計算時，可以令，這樣方便從經驗半方差圖中識別ci取值區間。并有以下約束：2022/10/1156華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計編碼策略及初始群體產生假設需要顧及m(m<=2n+1)個參數，每個參數的取值范圍和估值精度分別是Umin,Umax和Qi，則將m個參數分別以L1,L2,……,Lm為長度進行二進制編碼，其中則每條染色體長度為，染色體中每個參數編碼對應的解碼公式為：

以這種編碼方式隨機產生T組染色體2022/10/1157華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計確定個體適應度評價函數2022/10/1158華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計遺傳操作遺傳算法主要包括3個基本算子，即選擇、交叉和變異，為此，需確定交叉概率Pc和變異概率Pm，3個過程執行以后，將產生新一代種群，并記錄適應度最高的染色體選擇—輪盤賭選擇法如下表表示11個個體的適應度函數值、選擇概率和累計概率。每一輪產生1個[0,1]隨機數，將該隨機數作為選擇指針來確定被選個體。如隨機數為0.81，則第6個個體被選中。2022/10/1159華中農業大學資源與環境學院交叉算法單點交叉：考慮如下兩個11位變量的父個體父個體1：01110011010父個體2：10101100101交叉點位置為5，則交叉后兩個子個體：子個體1：01110100101子個體2：101010110102022/10/1160華中農業大學資源與環境學院多點交叉M個交叉位置，可無重復隨機地選擇，交叉點之間的變量間續地相互交換，產生新個體，但在第一位置與第一個個交叉點之間的一段不做交換：父個體1：0111