第三章理論分布與抽樣分布1、概率分布4、正態分布2、二項分布5、抽樣分布3、泊松分布1概率分布

事件的概率表示了一次試驗某一個結果發生的可能性大小。若要全面了解試驗，則必須知道試驗的全部可能結果及各種可能結果發生的概率，即必須知道隨機試驗的概率分布(probabilitydistribution)。為了深入研究隨機試驗，我們先引入隨機變量(randomvariable)的概念。1.1隨機變量作一次試驗，其結果有多種可能。每一種可能結果都可用一個數來表示，把這些數作為變量x的取值范圍，則試驗結果可用變量x來表示。【例3.3】對100頭病畜用某種藥物進行治療，其可能結果是“0頭治愈”、“1頭治愈”、“2頭治愈”、“…”、“100頭治愈”。若用x表示治愈頭數，則x的取值為0、1、2、…、100。1.1隨機變量【例3.4】孵化一枚種蛋可能結果只有兩種，即“孵出小雞”與“未孵出小雞”。若用變量x表示試驗的兩種結果，則可令x=0表示“未孵出小雞”，x=1表示“孵出小雞”。【例3.5】測定某品種豬初生重，表示測定結果變量x所取的值為一個特定范圍(a,b)，如0.5―1.5kg，x值可以是這個范圍內的任何實數。1.1隨機變量如果表示試驗結果的變量x，其可能取值至多為可列個，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱x為離散型隨機變量(discreterandomvariable)；如果表示試驗結果的變量x，其可能取值為某范圍內的任何數值，且x在其取值范圍內的任一區間中取值時，其概率是確定的，則稱x為連續型隨機變量

(continuousrandomvariable)。1.2離散型隨機變量的概率分布要了解離散型隨機變量x的統計規律，就必須知道它的一切可能值xi及取每種可能值的概率pi。如果我們將離散型隨機變量x的一切可能取值xi

(i=1,2,…)，及其對應的概率pi，記作

P(x=xi)=pi

i=1,2,…則稱上式為離散型隨機變量x的概率分布或分布。常用分布列

(distributionseries)來表示離散型隨機變量：1.2離散型隨機變量的概率分布x1x2…xn….p1p2…pn…

顯然，離散型隨機變量的概率分布具有以下兩個基本性質：pi≥0Σpi=11.3連續型隨機變量的概率分布連續型隨機變量(如體長、體重、蛋重)的概率分布不能用分布列來表示，因為其可能取的值是不可數的。我們改用隨機變量x

在某個區間內取值的概率P(a≤x<b)來表示。下面通過頻率分布密度曲線予以說明。1.3連續型隨機變量的概率分布126頭基礎母羊的體重的次數分布表組別組中值次數（f）36.0

37.5139.0

40.5142.0

43.5645.0

46.51848.0

49.52651.0

52.52754.0

55.52657.0

58.51260.0

61.5763.0

64.52合計126圖中縱坐標取頻率與組距的比值。可以設想，如果樣本取得越來越大(n→+∞)，組分得越來越細(i→0)，某一范圍內的頻率將趨近于一個穩定值─概率。這時，頻率分布直方圖各個直方上端中點的聯線─頻率分布折線將逐漸趨向于一條曲線。1.3連續型隨機變量的概率分布

換句話說，當n→+∞、i→0時，頻率分布折線的極限是一條穩定的函數曲線。對于樣本是取自連續型隨機變量的情況，這條函數曲線將是光滑的。這條曲線排除了抽樣和測量的誤差，完全反映了基礎母羊體重的變動規律。這條曲線叫概率分布密度曲線，相應的函數叫概率分布密度函數

。1.3連續型隨機變量的概率分布若記體重概率分布密度函數為f(x)，則x取值于區間[a,b）的概率為圖中陰影部分的面積，即

P(a≤x<b)=

上式為連續型隨機變量x在區間[a,b）上取值概率的表達式。可見，連續型隨機變量的概率由概率分布密度函數確定。1.3連續型隨機變量的概率分布連續型隨機變量概率分布的性質：1、分布密度函數總是大于或等于0，即f(x)≥0；2、當隨機變量x取某一特定值時，其概率等于0；即

(c為任意實數)3、在一次試驗中隨機變量x之取值必在[-∞，+∞]范圍內，為一必然事件。所以

上式表示分布密度曲線下、橫軸上的全部面積為1。

2二項分布2.1貝努利試驗及其概率公式將某隨機試驗重復進行n次，若各次試驗結果互不影響，即每次試驗結果出現的概率都不依賴于其它各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的。2.1貝努力試驗及其概率公式對于n次獨立的試驗，如果每次試驗結果出現且只出現對立事件A與之一，在每次試驗中出現A的概率是常數p(0<p<1)，因而出現對立事件的概率是1-p=q，則稱這一串重復的獨立試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗(Bernoullitrials)。2.1貝努力試驗及其概率公式在n重貝努利試驗中，事件A可能發生0，1，2，…，n次，現在我們來求事件A

恰好發生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。先取n=4，k=2來討論。在4次試驗中，事件A發生2次的方式有以下種：2.1貝努力試驗及其概率公式

其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗發生；(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗不發生。由于試驗是獨立的，按概率的乘法法則，于是有

P()=P()=…=P()=P()·P()·P()·P()=

2.1貝努力試驗及其概率公式又由于以上各種方式中，任何二種方式都是互不相容的，按概率的加法法則，在4次試驗中，事件A恰好發生2次的概率為P4(2)=P()+P()+…+P()=

2.1貝努力試驗及其概率公式一般，在n重貝努利試驗中，事件A恰好發生k(0≤k≤n)次的概率為

k=0,1,2…，n

若把上式與二項展開式相比較就可以發現，在n重貝努利試驗中，事件A發生k次的概率恰好等于展開式中的第k+1項，所以也把上式稱作二項概率公式。2.2二項分布的意義及性質2.2.1二項分布定義設隨機變量x所有可能取的值為零和正整數：0,1,2,…，n，且有

=k=0,1,2…，n

其中p＞0，q＞0，p+q=1，則稱隨機變量x服從參數為n和p的二項分布

(binomialdistribution),記為

x～B(n,p)。2.2.1二項分布的定義二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布。參數n稱為離散參數，只能取正整數；參數p稱為連續參數，它能取0與1之間的任何數值(q由p確定，故不是另一個獨立參數)。2.2.2二項分布的性質二項分布具有概率分布的一切性質，即：1、P(x=k)=Pn(k)(k=0,1,…，n)2、二項分布的概率之和等于1，即3、4、5、（m1<m2）2.2.2二項分布的性質二項分布由n和p兩個參數決定：1、當p值較小且n不大時，分布是偏倚的。但隨著n的增大，分布逐漸趨于對稱，如圖1所示；2、當p值趨于0.5時，分布趨于對稱，如圖2所示；2.2.2二項分布的性質3、對于固定的n及p，當k增加時，Pn(k)先隨之增加并達到其極大值，以后又下降。

此外，在n較大，np、nq較接近時，二項分布接近于正態分布；當n→∞時，二項分布的極限分布是正態分布。2.3二項分布的概率計算【例2.1】純種白豬與純種黑豬雜交，根據孟德爾遺傳理論，子二代中白豬與黑豬的比率為3∶1。求窩產仔10頭，有7頭白豬的概率。解：根據題意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。設10頭仔豬中白色的為x頭，且x～B(10，0.75)于是窩產10頭仔豬中有7頭是白色的概率為：2.3二項分布的概率計算【例2.2】設在家畜中感染某種疾病的概率為20％，現有兩種疫苗，用疫苗A

注射了15頭家畜后無一感染，用疫苗B注射15頭家畜后有1頭感染。設各頭家畜沒有相互傳染疾病的可能，問：應該如何評價這兩種疫苗?2.3二項分布的概率計算解：假設疫苗A完全無效，那么注射后的家畜感染的概率仍為20％，則15頭家畜中染病頭數x=0的概率為同理，如果疫苗B完全無效，則15頭家畜中最多有1頭感染的概率為由計算可知，注射A疫苗無效的概率為0.0352，比B疫苗無效的概率0.1671小得多。因此，可以認為A疫苗是有效的，但不能認為B疫苗也是有效的。2.4二項分布的應用條件（1）各觀察單位只具有互相對立的一種結果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于二項分類資料；（2）已知發生某一結果(如死亡)的概率為p，其對立結果的概率則為1-p=q，即p+q=1。實際中要求p

是從大量觀察中獲得的比較穩定的數值；（3）n個觀察單位的觀察結果互相獨立，即每個觀察單位的觀察結果不會影響到其它觀察單位的觀察結果。2.5二項分布的平均數與標準差統計學證明，服從二項分布B(n,p)

的隨機變量之平均數μ、標準差σ與參數n、p有如下關系：（1）當試驗結果以事件A發生次數k表示時

μ=npσ=2.5二項分布的平均數與標準差（2）當試驗結果以事件A發生的頻率k／n表示時也稱為總體百分數標準誤，當p未知時，常以樣本百分數來估計。此時上式改寫為：

=稱為樣本百分數標準誤。3泊松分布波松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發生在單位空間或時間里的稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。在生物、醫學研究中，服從波松分布的隨機變量是常見的。如，畜群中遺傳的畸形怪胎數，每升飲水中大腸桿菌數，計數器小方格中血球數，單位空間中某些野生動物或昆蟲數等，都是服從波松分布的。3.1泊松分布的定義及特點3.1.1泊松分布的定義若隨機變量x(x=k)只取零和正整數值0，1，2，…，且其概率分布為，k=0，1，2，……

其中λ＞0；e=2.7182…是自然對數的底數，則稱x服從參數為λ的泊松分布(Poisson’sdistribution)，記為x～P(λ)。3.1泊松分布的定義及特點3.1.2泊松分布的特點泊松分布作為一種離散型隨機變量的概率分布，理論上已經證明其均值與方差相等、即μ＝σ2＝λ這是泊松分布的一個顯著特點。利用這個特點可以初步判斷一個隨機變量是否服從泊松分布。3.1泊松分布的定義及特點3.1.2泊松分布的特點λ是泊松分布小所依賴的惟一參數，λ越小分布越偏，隨著λ的增加，分布趨于對稱。3.2泊松分布的概率計算【例3-1】食品店每小時光顧的顧客人數服從λ＝3的泊松分布，即x～P（3）分布。

(1)計算每小時恰有5名顧客的概率。

(2)lh內顧客不超過5人的概率。

(3)lh內顧客最少有6人的概率。3.2泊松分布的概率計算解：設x表示商店每小時接待顧客的人數P(x=k=5)=P(x=k≤5)=P(x=k≥6)=3.2泊松分布的概率計算

【例3-2】已知某食品廠每月某種食品原料的用量服從λ＝7的泊松分布，為了不使該原料庫存積壓過多，又不致發生短缺，問每月底庫存多少才能保證下月原料不缺的概率P≥0.9999。3.2泊松分布的概率計算解：設每月用量為x，上月底庫存量為a，根據題意有：P(x≤a)≥0.9999，因為x～P（7），故上式為：p(x=k≤a)=解得a＝16，即該食品廠在月底庫存16就可有99.99％得把握保證下月原料不缺。3.3泊松分布的應用條件泊松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發生在單位時間或空間里的稀有事件的概率分布。在二項分布中，當試驗的次數n很大，試驗發生的概率P很小時，x～B（n，p）可用x～P(λ)代替，用λ＝nP進行有關計算。總體來看，二項分布的應用條件也就是應用泊松分布所要求的。4正態分布正態分布(normaldistribution)是一種常見的連續型隨機變量的概率分布。食品科學研究中所涉及的許多變量都是服從或接近正態分布的，如食品中各種營養成分的含量，有害物質殘留量，瓶裝食品的重量、容積、分析測定過程中的隨機誤差等。4.1正態分布的定義及其特征4.1.1正態分布的定義若連續型隨機變量x的概率分布密度函數為其中μ為平均數，σ2為方差，則稱隨機變量x服從正態分布，記為x～N(μ,σ2)。相應的概率分布函數為

4.1正態分布的定義及其特征4.1.1正態分布的定義分布密度曲線如圖所示。4.1正態分布的定義及其特征4.1.2正態分布的特征1、正態分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為x=μ；2、f(x)在x=μ處達到極大，極大值；3、f(x)是非負函數，以x軸為漸近線，分布從-∞至+∞，且曲線在μ±σ處各有一個拐點；4.1正態分布的定義及其特征5.1.2正態分布的特征4、正態分布有兩個參數，即平均數μ和標準差σ。

σ是變異度參數，如圖所示。當μ恒定時，σ愈大，表示x的取值愈分散，曲線愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附近，曲線愈“瘦”。μ是位置參數，如圖所示。當σ恒定時，μ愈大，則曲線沿x軸愈向右移動；反之，μ愈小，曲線沿x軸愈向左移動。4.1正態分布的定義及其特征4.1.2正態分布的特征5、分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：4.2標準正態分布由上述正態分布的特征可知，正態分布是依賴于參數μ和σ2(或σ)的一簇分布，正態曲線之位置及形態隨μ和σ2的不同而不同。這就給研究具體的正態總體帶來困難，需將一般的N(μ，σ2)轉換為μ=0,σ2=1的正態分布。我們稱μ=0,σ2=1的正態分布為標準正態分布(standardnormaldistribution)。4.2標準正態分布標準正態分布的概率密度函數及分布函數分別記作ψ(u)和Φ(u)，由f(x)及F(x)

式得：

隨機變量u服從標準正態分布，記作u～N(0，1)，分布密度曲線如圖所示。

4.2標準正態分布

對于任何一個服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量x，都可以通過標準化變換：

u=(x-μ)／σ

將其變換為服從標準正態分布的隨機變量u。

u稱為標準正態變量或標準正態離差(standardnormaldeviate)。4.3正態分布的概率計算4.3.1標準正態分布的概率計算設u服從標準正態分布，則u在[u1,u2

）內取值的概率為：＝Φ(u2)－Φ(u1)而Φ(u1)與Φ(u2)可由附表1查得。正態分布表正態分布表4.3.1標準正態分布的概率計算

由P(u1≤u

＜

u2)

＝Φ(u2)－Φ(u1)式及正態分布的對稱性可推出下列關系式，再借助附表1，便能很方便地計算有關概率：

P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5

P(u≥u1)=Φ(-u1)

P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)

P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)4.3.1標準正態分布的概率計算關于標準正態分布，以下幾種概率應當熟記：

P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545

P（-3≤u＜3）=0.9973P（-1.96≤u＜1.96）=0.95P(-2.58≤u＜2.58)=0.994.3.1標準正態分布的概率計算u變量在上述區間以外取值的概率分別為：

P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174P(｜u｜≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤u＜2）=1-0.9545=0.0455P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.014.3.2一般正態分布的概率計算正態分布密度曲線和橫軸圍成的一個區域，其面積為1，這實際上表明了“隨機變量x取值在-∞與+∞之間”是一個必然事件，其概率為1。若隨機變量x服從正態分布N(μ,σ2)，則x的取值落在任意區間[x1,x2）的概率，記作P(x1≤x＜x2)，等于圖中陰影部分曲邊梯形面積。即：4.3.2一般正態分布的概率計算對上式作變換u=(x-μ)／σ，得dx=σdu，故有其中，4.3.2一般正態分布的概率計算這表明服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量x在[x1，x2）內取值的概率，等于服從標準正態分布的隨機變量u在[(x1-μ)/σ,(x2-μ)/σ）內取值的概率。因此，計算一般正態分布的概率時，只要將區間的上下限作適當變換(標準化)，就可用查標準正態分布的概率表的方法求得概率了。4.3.2一般正態分布的概率計算關于一般正態分布，以下幾個概率(即隨機變量x落在μ加減不同倍數σ區間的概率)是經常用到的。P(μ-σ≤x＜μ+σ)=0.6826P(μ-2σ≤x＜μ+2σ)=0.9545P(μ-3σ≤x＜μ+3σ)=0.9973P(μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ)=0.95P(μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)=0.99小結前面討論的三個重要的概率分布中，前兩個屬離散型隨機變量的概率分布，后一個屬連續型隨機變量的概率分布。三者間的關系如下：

小結對于二項分布：在n→∞，p→0，且np=λ(較小常數)情況下二項分布趨于波松布。在這種場合，波松分布中的參數λ用二項分布的np代之；在n→∞,p→0.5時，二項分布趨于正態分布。在這種場合，正態分布中的μ、σ2用二項分布的np、npq代之。小結對于二項分布：在實際計算中，當p＜0.1且n很大時，二項分布可由波松分布近似；當p＞0.1且n很大時，二項分布可由正態分布近似。小結對于波松分布：當λ→∞時，波松分布以正態分布為極限。在實際計算中，當λ≥20(也有人認為λ≥6)時，用波松分布中的λ代替正態分布中的μ及σ2，即可由后者對前者進行近似計算。5抽樣分布研究總體與從中抽取的樣本之間的關系是統計學的中心內容。對這種關系的研究可從兩方面著手，一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布(samplingdistribution)的問題；二是從樣本到總體，這就是統計推斷(statisticalinference)問題。5抽樣分布統計推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關系為基礎的。為了能正確地利用樣本去推斷總體，并能正確地理解統計推斷的結論，須對樣本的抽樣分布有所了解。

5抽樣分布我們知道，由總體中隨機地抽取若干個體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統計量(如，S)也將隨樣本的不同而有所不同，因而樣本統計量也是隨機變量，也有其概率分布。我們把統計量的概率分布稱為抽樣分布。5.1樣本平均數的抽樣分布由總體隨機抽樣(randomsampling)的方法可分為返置抽樣和不返置抽樣兩種。前者指每次抽出一個個體后，這個個體應返置回原總體；后者指每次抽出的個體不返置回原總體。對于無限總體，返置與否都可保證各個體被抽到的機會相等。對于有限總體，就應該采取返置抽樣，否則各個體被抽到的機會就不相等。5.1樣本平均數的抽樣分布

設有一個總體，總體平均數為μ，方差為σ2，總體中各變數為x，將此總體稱為原總體。現從這個總體中隨機抽取含量為n的樣本，樣本平均數記為。

5.1樣本平均數的抽樣分布

可以設想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個含量為n的樣本。由這些樣本算得的平均數有大有小，不盡相同，與原總體平均數μ相比往往表現出不同程度的差異。這種差異是由隨機抽樣造成的，稱為抽樣誤差(samplingerror)。

5.1樣本平均數的抽樣分布顯然，樣本平均數也是一個隨機變量，其概率分布叫做樣本平均數的抽樣分布。由樣本平均數構成的總體稱為樣本平均數的抽樣總體。5.1樣本平均數的抽樣分布其平均數和標準差分別記為和。是樣本平均數抽樣總體的標準差，簡稱標準誤，它表示平均數抽樣誤差的大小。統計學上已證明總體的兩個參數與x

總體的兩個參數有如下關系：

=μ，5.1樣本平均數的抽樣分布設有一個N=4的有限總體，變數為2、3、3、4。根據μ=Σx／N和σ2=Σ(x-μ)2／N求得該總體的μ、σ2、σ為：

μ=3,σ2=1／2,σ==0.7075.1樣本平均數的抽樣分布

從有限總體作返置隨機抽樣，所有可能的樣本數為Nn其中n為樣本含量。以上述總體而論，如果從中抽取n=2的樣本，共可得42=16個樣本；如果樣本含量n為4，則一共可抽得44=256個樣本。分別求這些樣本的平均數，其次數分布如表所示。5.1樣本平均數的抽樣分布

N=4,n=2和n=4時的次數分布5.1樣本平均數的抽樣分布若將上表中兩個樣本平均數的抽樣總體作次數分布圖，則如圖所示。5.1樣本平均數的抽樣分布

由以上模擬抽樣試驗可以看出，雖然原總體并非正態分布，但從中隨機抽取樣本，即使樣本含量很小(n=2,n=4)，樣本平均數的分布卻趨向于正態分布形式。隨著樣本含量n的增大，樣本平均數的分布愈來愈從不連續趨向于連續的正態分布。5.1樣本平均數的抽樣分布

比較圖中兩個分布，在n由2增到4時，這種趨勢表現得相當明顯。當n＞30時，的分布就近似正態分布了。X變量與變量概率分布間的關系可由下列兩個定理說明：5.1樣本平均數的抽樣分布1.若隨機變量x服從正態分布N(μσ2)；x1

x2、…、xn，是由x總體得來的隨機樣本，則統計量=Σx／n的概率分布也是正態分布且有=μ，，即服從正態分布N(μ,σ2／n)。

5.1樣本平均數的抽樣分布2.若隨機變量x服從平均數是μ，方差是σ2的分布(不是正態分布)；x1、x2、…、xn是由此總體得來的隨機樣本，則統計量=Σx／n的概率分布，當n相當大時逼近正態分布N(μ,σ2／n)。這就是中心極限定理。5.1樣本平均數的抽樣分布

中心極限定理告訴我們：不論x變量是連續型還是離散型，也無論x服從何種分布，一般只要n＞30，就可認為的分布是正態的。若x的分布不很偏倚，在n＞20時，的分布就近似于正態分布了。5.2標準誤

標準誤(平均數抽樣總體的標準差)的大小反映樣本平均數的抽樣誤差的大小，即精確性的高低。標準誤大，說明各樣本平均數間差異程度大，樣本平均數的精確性低。反之，小，說明間的差異程度小，樣本平均數的精確性高。5.2標準誤

的大小與原總體的標準差σ成正比，與樣本含量n的平方根成反比。從某特定總體抽樣，因為σ是一常數，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數的抽樣誤差。5.2標準誤在實際工作中，總體標準差σ往往是未知的，因而無法求得。此時，可用樣本標準差S估計σ。于是，以估計。記為，稱作樣本標準誤或均數標準誤。樣本標準誤是平均數抽樣誤差的估計值。若樣本中各觀測值為x1、x2、…、xn，則

5.2標準誤注意，樣本標準差與樣本標準誤是既有聯系又有區別的兩個統計量，上式已表明了二者的聯系。二者的區別在于：5.2標準誤樣本標準差S是反映樣本中各觀測值x1、x2、…、xn變異程度大小的一個指標，它的大小說明了對該樣本代表性的強弱。樣本標準誤是樣本平均數的標準差，它是抽樣誤差的估計值，其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。5.2標準誤對于大樣本資料，常將樣本標準差S與樣本平均數配合使用，記為±S，用以說明所考察性狀或指標的優良性與穩定性。對于小樣本資料，常將樣本標準誤與樣本平均數配合使用，記為±，用以表示所考察性狀或指標的優良性與抽樣誤差的大小。5.3t分布由樣本平均數抽樣分布的性質知道：若x～N(μ,σ2)，則～N(μ,σ2/n)。將隨機變量標準化得：，則u～N(0,1)。當總體標準差σ未知時，以樣本標準差S代替σ所得到的統計量記為t。5.3t分布在計算時，由于采用S來代替σ，使得t

變量不再服從標準正態分布，而是服從t分布(t