不同樣函數種類值域求解方法概括題型一：二次函數的值域:配方法(圖象對稱軸)例1．求f(x)x2ax6的值域解答：配方法：f(x)x2ax6xa26a26a2244所以值域為6a2，4例．求f(x)x2x6在1，1上的值域21223解答：函數圖像法：f(x)x2x6x24畫出函數的圖像可知，f(x)x2x6在x1時取到最小值23，而在24x1時取到最大值8，可得值域為23，。84例3．求f(x)x2ax6在1，1上的值域解答：由函數的圖像可知，函數的最值跟a的取值相關，所以進行分類討論：①當a2時，對稱軸在x1的左側，所以依據圖像可知，fmaxf(1)7a，fminf(1)7a,此市價域為7a，7a.②當2a0時，對稱軸在x1與y軸之間，所以依據圖像可知，fmaxf(1)7a，fminf(a6a2,此市價域為6a2，)447a.2③當0a2時，對稱軸在y軸與x1之間，所以依據圖像可知，fmaxf(1)7a，fminf(a)6a2,24根源：網絡轉載所以此市價域為a2，67a4④當2a時，對稱軸在x1的右側，所以依據圖像可知，fmaxf(1)7a，fminf(1)7a所以此時的值域為7a，7a題型二：指數、對數函數的值域:采用換元法例4．求f(x)log2x22x6的值域解答：復合形式用換元：令tx22x6，則由例1可知，t5,依據單一性，可求出log2t的值域為log25,例5．求f()4x2x16的值域x解答：因為4x2x2，所以，采用換元法，令t2x，則t0,則原函數變為t2t6，能夠依據二次函數值域的求法獲取值域為6,2題型三：分式函數的值域分式函數的值域方法：(1)分別變量(常數)法;(2)反函數法(中間變量有界法);(3)數形聯合(解析幾何法：求斜率);(4)鑒別式法（定義域無量制為R）;2x3例6．求函數f(x)的值域x1解法一：分別變量法。將分式中分子部分的變量分別出去。則能夠換元，令2t121tx1，原函數變為tt，由反比率函數的性質可知，值域為,22,解法二：反函數法。利用原函數的值域就是反函數的定義域，來求值域。令2x3，則yx3yyf(x)1y2x3，獲取x，可知y2xy2例．求函數f(x)2x3在0，1的值域7x1根源：網絡轉載解法一：分別變量今后采用函數圖像法。令tx1，t1,2，原函數變為2t121，能夠畫出21的圖像，或許依據單一性直接能夠獲取值域為ttt5，233y代入0，1中，求解03y1解法二：反函數法。將x2y2不等式，可y以獲取值域范圍5，。32例8．求函數f(x)x23x3x1的值域解法一：分別變量法，令tx1，原函數變為t2t1t11tt由均值不等式可知當t0,t12，當t0,t12，能夠獲取原函數tt的值域為,13,解法二：鑒別式法。令yf(x)x23x3，則yxyx23x3，x1整理得對于x的一元二次方程x23yx3y0，知足方程有解，該方程的鑒別式3y243y0可得y1或y3,即函數的值域為,13,例．求函數f(x)x23x3在0，1的值域9x1解答：本題限制了定義域，致使鑒別式法無效，采用分別變量法，畫出函數圖像來求函數的值域。令tx1，t1,2，原函數變為t2t1t11畫對勾函數圖像，tt根源：網絡轉載157可得t的值域范圍是2，，則函數的值域為3，t22題型四：三角函數的值域求三角函數的值域方法：（1）二次換元配方；（2）三角函數有界性；（3）數形聯合（單位圓求斜率）。例：求函數f(x)3sinx4cosx2的值域解答：使用協助角公式，f(x)3sinx4cosx25sinx2，可知函數的值域為例10．求函數

3，7f(x)3sin2x4cos2x2的值域解答：先化簡，再轉為一次三角函數后使用協助角公式，f(x)3sin2x4cos2x23sin2x2cos2x2213sin2x4可知函數的值域為413，413例11．求函數f(x)cos2x4cosx2的值域解答：先化為同角的三角函數，再換元為二次函數求解值域。f(x)cos2x4cosx22cos2x14cosx22cos2x4cosx1令tcosx,t1,1，則原函數化為2t24t12t121，則按前面的例題可得函數的值域為1，3，例．求函數f(x)sin2x2cosx2sinx值域12f(x)2sinxcosx2sinxcosx1sinxcos22sinxcosx令tsinxcosx,t2,2，則原函數化為t221，同理，按t二次函數的值域求法，可得結果12，2。注意：用sinxcosxsinxcosx211sinxcosx222換元。根源：網絡轉載題型五：絕對值函數的值域：絕對值函數值域：（1）零點分類討論法（2）數形聯合：利用絕對值幾何意義。例13．求函數f(x)x5x1的值域解法一：零點分類討論法。當x1時，f(x)6；當x5時，f(x)6；當5x1時，f(x)2x4。所以函數的值域為6，6解法二：利用絕對值的幾何意義，畫出數軸，x5與x1分別表示x到-5與1的距離，依據數軸圖像，能夠直接獲取值域為6，6例14．求函數f(x)x22xx22x3的值域解答：零點分類法將十分麻煩，利用換元法，令tx22x,t1,，則原函數化為tt3，則依據數軸法，能夠獲取函數的值域為33，題型六：根式函數的值域根式函數的值域方法：（1）代數換元法；（2）三角換元法；（3）解析幾何法：距離、切距等。（3）單一性法。例15．求函數f(x)x1x的值域解法一：換元法，令t1x,t0,，則原函數化為t2t1，依據二次函數值域的求法，可得原函數值域為5,。4例16．求函數f(x)x1x的值域解法一、解法二同上一例題，注意換元時的等價性，結果1,解法三：單一性法，題目中函數為單一遞加，依據函數的定義域1,，代入可得函數的值域1,。例17．求函數f(x)x1x2的值域解法一：三角換元法，令xsin,,2，這樣換元既能夠保證換元2的等價性，同時能夠使得開方后的表達式去掉絕對值符號，根源：網絡轉載x1x2sin1sin2sincossincos2sin4注意2,，畫出三角函數圖像可得值域為1,2。2例18．求函數f(x)x21x2的值域解法一：三角換元，近似于上一道題，令xtan,2,，這樣能夠2獲取x21x2tan21tan2tan2sin2，coscos化為三角分式，在利用解析幾何法將其轉變為兩點的斜率能夠做出圖像獲取值域為3,x2x2111進行換元，令解法三：對勾換元法，利用22x22xxt1,t0,t12t13t122t，則原函數化為22t22t22t，根據均值不等式可得值域3,b題型七：對勾函數：y=ax+(a>0,b>0,x>0)的值域。x均值不等式法：轉變為型如y=ax+b(a>0,b>0)，利用均值不等式求值域x注意：利用均值不等式求最值或求值域時要知足：一正二定三相等題型七：高次函數、超越復雜函數值域高次函數、超越復雜函數值域：求導法聯合單一性。543例25：yx5x5x2，x[1,2]例析求函數值域的方法常用的方法有：直接法、配方法、鑒別式法、基本不等式法、逆求法（反函數）、換元法、圖象法、利用函數單一性等。（一）方法解說1、求值域的常用方法;（1）察看法：從自變量x的范圍出發，推出yf(x)的取值范圍根源：網絡轉載2）單一性法：假如f(x)在[a,b]上單一遞加，則其值域為[f(a),f(b)]；假如f(x)在[a,b]上單一遞減，則其值域為[f(b),f(a)]。如一次函數，形如yxa(a0)的函數。x（3）換元法：形如yaxbcxd的函數，可令cxdt(t0)，則2xtd，轉變為對于t的二次函數求值域；形如含有a22x的構造的函數，c可用三角換元，令xacost求解。如f(x)x1x，可設t1x，化為y2t1(t0)；又如yx12cos(0)化為tx，可設xysincos。注意：換元必換限?。?）反表示法：形如ycxd(a0)，能夠把y對于x的函數化為x對于y的axb函數。如yx2，可化為xy2，由12y0，可求得y的范圍；再如2x112yx1x1yyexx1，可化為ey，利用e的有界性可求得y的范圍。e15）配方法：試用于二次函數或可化為二次函數形式的函數。注意：配方、繪圖、截段！a1x2b1xc1（6）鑒別式法：如y2，其中a1,a2不全為0。a2xb2xc2注意：用此方法求值域時函數的定義域必定要求為R！（7）不等式法：利用函數yxk(k0)在,k和k,上單一遞加，x在k,0和0,k上單一遞減來求解。8）求導法：當一個函數在定義域上可導時，可依據其導數求最值，再得值域；高次函數可用導數求值域。9）幾何意義法（數形聯合法）：由數形聯合，轉變斜率、距離等求值域。（二）方法運用。一、直接法：從自變量x的范圍出發，推出yf(x)的取值范圍。例1：求函數yx1的值域。解：∵x0，∴x11，∴函數yx1的值域為[1,)。根源：網絡轉載二、配方法：配方法式求“二次函數類”值域的基本方法。形如F(x)af2(x)bf(x)c的函數的值域問題，均可使用配方法。例2：求函數yx24x2（x[1,1]）的值域。解：yx24x2(x2)26，∵x[1,1]，∴x2[3,1]，∴1(x2)293(x2)265，∴3y5∴函數yx24x2（x[1,1]）的值域為[3,5]。三、反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，經過求反函數的定義域，獲取原函數的值域。x12例3：求函數yx的值域。12x解得2x1y解：由y2x1，1y∵2x0，∴1y0，∴1y1∴函數y12x的值域為y(1,1)。1y12x四、分別常數法：分子、分母是一次函數得有理函數，可用分別常數法，此類問題一般也能夠利用反函數法。例4：求函數y1x的值域。2x51x1(2x5)717解：∵y222，2x52x522x571，∴函數y1x的值域為{y|y1}?！?50，∴y2x22x52五、換元法：運用代數代換，獎所給函數化成值域簡單確定的另一函數，進而求得原函數的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均為常數，且a0）的函數常用此法求。例5：求函數y2x12x的值域。解：令t12x（t0），則x1t2，2根源：網絡轉載∴yt2t1(t1)2524∵當t1，即x3時，ymax5，無最小值。∴函數y2x12x的值域為(,5284]。4六、鑒別式法：把函數轉變為對于x的二次方程F(x,y)0；經過方程有實數根，鑒別式0，進而求得原函數的值域，形如ya1x2b1xc1（a1、a2不同樣時a2x2b2xc2為零）的函數的值域，常用此方法求解。例6：求函數yx2x3的值域。x2x1解：由yx2x3變形得(y1)x2(y1)xy30，x2x1當y1時，此方程無解；當y1時，∵xR，∴(y1)24(y1)(y3)0，解得1y11，又y1，∴1y1133∴函數yx2x3的值域為{y|111x2x1y}3七、函數的單一性法：確定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單一性，求出函數的值域。例7：求函數yx12x的值域。解：∵當x增大時，12x隨x的增大而減少，12x隨x的增大而增大，∴函數yx12x在定義域(,1]上是增函數。2∴y11211，∴函數yx12x的值域為(,1]。2222練習：（1）yx25；（）y4x12x3；x224（3）設f(x)是定義在R上的奇函數，且知足以下兩個條件：根源：網絡轉載①對于隨意x,yR,有f(xy)f(x)f(y)；②當x0時，f(x)0，且f(1)2.求函數f(x)在[3,3]上的最大值和最小值。八、利用有界性：利用某些函數有界性求得原函數的值域。2x1例8：求函數y的值域。解：由函數的解析式能夠知道，函數的定義域為R，對函數進行變形可得(y1)x2(y1)，∵y1，∴x2y1（xR，y1），∴y10