第28頁(yè)（共28頁(yè)）2019年湖南省株洲市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題有且只有一個(gè)正確答案，本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）（2019?資陽(yáng)）的倒數(shù)是A． B． C． D．32．（3分）（2019?株洲）A． B．4 C． D．3．（3分）（2019?株洲）下列各式中，與是同類項(xiàng)的是A． B． C． D．4．（3分）（2019?株洲）對(duì)于任意的矩形，下列說(shuō)法一定正確的是A．對(duì)角線垂直且相等 B．四邊都互相垂直 C．四個(gè)角都相等 D．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形5．（3分）（2019?株洲）關(guān)于的分式方程的解為A． B． C．2 D．36．（3分）（2019?株洲）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于哪個(gè)象限？A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）（2019?株洲）若一組數(shù)據(jù)，3，1，6，3的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則的值為A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）（2019?株洲）下列各選項(xiàng)中因式分解正確的是A． B． C． D．9．（3分）（2019?株洲）如圖所示，在直角平面坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、為反比例函數(shù)上不同的三點(diǎn)，連接、、，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作，垂直軸于點(diǎn)、，與相交于點(diǎn)，記、、四邊形的面積分別為、、，則A． B． C． D．10．（3分）（2019?株洲）從，1，2，4四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)（記作，構(gòu)成一個(gè)數(shù)組，（其中，，且將，與，視為同一個(gè)數(shù)組），若滿足：對(duì)于任意的，和，，，都有，則的最大值A(chǔ)．10 B．6 C．5 D．4二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）（2019?株洲）若二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，則0（填“”或“”或“”．12．（3分）（2019?株洲）若一個(gè)盒子中有6個(gè)白球，4個(gè)黑球，2個(gè)紅球，且各球的大小與質(zhì)地都相同，現(xiàn)隨機(jī)從中摸出一個(gè)球，得到白球的概率是．13．（3分）（2019?株洲）如圖所示，在中，，是斜邊上的中線，、分別為、的中點(diǎn)，若，則．14．（3分）（2019?株洲）若為有理數(shù)，且的值大于1，則的取值范圍為．15．（3分）（2019?株洲）如圖所示，過(guò)正五邊形的頂點(diǎn)作一條射線與其內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)，且，則度．16．（3分）（2019?株洲）如圖所示，為的直徑，點(diǎn)在上，且，過(guò)點(diǎn)的弦與線段相交于點(diǎn)，滿足，連接，則度．17．（3分）（2019?株洲）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走步才能追到速度慢的人．18．（3分）（2019?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，在直線處放置反光鏡Ⅰ，在軸處放置一個(gè)有缺口的擋板Ⅱ，缺口為線段，其中點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，且，在直線處放置一個(gè)擋板Ⅲ，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)反光鏡Ⅰ反射后，通過(guò)缺口照射在擋板Ⅲ上，則落在擋板Ⅲ上的光線的長(zhǎng)度為．三、解答題（本大題共8小題，共66分）19．（6分）（2019?株洲）計(jì)算：．20．（6分）（2019?株洲）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．（8分）（2019?株洲）小強(qiáng)的爸爸準(zhǔn)備駕車外出．啟動(dòng)汽車時(shí)，車載報(bào)警系統(tǒng)顯示正前方有障礙物，此時(shí)在眼睛點(diǎn)處測(cè)得汽車前端的俯角為，且，若直線與地面相交于點(diǎn)，點(diǎn)到地面的垂線段的長(zhǎng)度為1.6米，假設(shè)眼睛處的水平線與地面平行．（1）求的長(zhǎng)度；（2）假如障礙物上的點(diǎn)正好位于線段的中點(diǎn)位置（障礙物的橫截面為長(zhǎng)方形，且線段為此長(zhǎng)方形前端的邊），，若小強(qiáng)的爸爸將汽車沿直線后退0.6米，通過(guò)汽車的前端點(diǎn)恰好看見(jiàn)障礙物的頂部點(diǎn)（點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），求障礙物的高度．22．（8分）（2019?株洲）某甜品店計(jì)劃訂購(gòu)一種鮮奶，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天的需求量與當(dāng)天的最高氣溫有關(guān)，現(xiàn)將去年六月份（按30天計(jì)算）的有關(guān)情況統(tǒng)計(jì)如下：（最高氣溫與需求量統(tǒng)計(jì)表）最高氣溫（單位：需求量（單位：杯）200250400（1）求去年六月份最高氣溫不低于的天數(shù)；（2）若以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率，求去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過(guò)200杯的概率；（3）若今年六月份每天的進(jìn)貨量均為350杯，每杯的進(jìn)價(jià)為4元，售價(jià)為8元，未售出的這種鮮奶廠家以1元的價(jià)格收回銷毀，假設(shè)今年與去年的情況大致一樣，若今年六月份某天的最高氣溫滿足（單位：，試估計(jì)這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤(rùn)為多少元？23．（8分）（2019?株洲）如圖所示，已知正方形的頂點(diǎn)為正方形對(duì)角線、的交點(diǎn)，連接、．（1）求證：；（2）若，正方形的邊長(zhǎng)為2，線段與線段相交于點(diǎn)，，求正方形的邊長(zhǎng)．24．（8分）（2019?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的邊與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，其中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．（1）已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，求該一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，滿足，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)，記的面積為，設(shè)，①用表示（不需要寫(xiě)出的取值范圍）；②當(dāng)取最小值時(shí)，求的值．25．（11分）（2019?株洲）四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，線段是的直徑，連結(jié)、．點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連結(jié)、，且，，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交與點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，①求證：為等腰直角三角形；②求的長(zhǎng)度．26．（11分）（2019?株洲）已知二次函數(shù)（1）若，，①求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②定義：對(duì)于二次函數(shù)，滿足方程的的值叫做該二次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”．求證：二次函數(shù)有兩個(gè)不同的“不動(dòng)點(diǎn)”．（2）設(shè)，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別相交于不同的兩點(diǎn)，，，，其中，，與軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與直線相交于點(diǎn)，滿足．的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，若，求二次函數(shù)的表達(dá)式．

2019年湖南省株洲市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題有且只有一個(gè)正確答案，本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）的倒數(shù)是A． B． C． D．3【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．【解答】解：，的倒數(shù)是．故選：．2．（3分）A． B．4 C． D．【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：．故選：．3．（3分）下列各式中，與是同類項(xiàng)的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：、與不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、與不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、與是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)正確；、與是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．4．（3分）對(duì)于任意的矩形，下列說(shuō)法一定正確的是A．對(duì)角線垂直且相等 B．四邊都互相垂直 C．四個(gè)角都相等 D．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形【分析】直接利用矩形的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：、矩形的對(duì)角線相等，但不垂直，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、矩形的鄰邊都互相垂直，對(duì)邊互相平行，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、矩形的四個(gè)角都相等，正確；、矩形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．5．（3分）關(guān)于的分式方程的解為A． B． C．2 D．3【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，故選：．6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于哪個(gè)象限？A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可．【解答】解：點(diǎn)坐標(biāo)為，則它位于第四象限，故選：．7．（3分）若一組數(shù)據(jù)，3，1，6，3的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則的值為A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義分三種情況，，，時(shí)，分別列出方程，進(jìn)行計(jì)算即可求出答案．【解答】解：當(dāng)時(shí)，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：，解得；當(dāng)時(shí)，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：，解得（舍去）．所以的值為2．故選：．8．（3分）下列各選項(xiàng)中因式分解正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式進(jìn)而判斷即可．【解答】解：、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，正確．故選：．9．（3分）如圖所示，在直角平面坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、為反比例函數(shù)上不同的三點(diǎn)，連接、、，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作，垂直軸于點(diǎn)、，與相交于點(diǎn)，記、、四邊形的面積分別為、、，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得到，，，用排除法即可得到結(jié)論．【解答】解：點(diǎn)、、為反比例函數(shù)上不同的三點(diǎn)，軸，，垂直軸于點(diǎn)、，，，，，，，，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：．10．（3分）從，1，2，4四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)（記作，構(gòu)成一個(gè)數(shù)組，（其中，，且將，與，視為同一個(gè)數(shù)組），若滿足：對(duì)于任意的，和，，，都有，則的最大值A(chǔ)．10 B．6 C．5 D．4【分析】找出的值，結(jié)合對(duì)于任意的，和，，，都有，即可得出的最大值．【解答】解：，，，，，，共有5個(gè)不同的值．又對(duì)于任意的，和，，，都有，的最大值為5．故選：．二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）若二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，則0（填“”或“”或“”．【分析】由二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，可得．【解答】解：二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，．故答案是：．12．（3分）若一個(gè)盒子中有6個(gè)白球，4個(gè)黑球，2個(gè)紅球，且各球的大小與質(zhì)地都相同，現(xiàn)隨機(jī)從中摸出一個(gè)球，得到白球的概率是．【分析】先求出總球的個(gè)數(shù)，再用白球的個(gè)數(shù)除以總球的個(gè)數(shù)即可得出答案．【解答】解：布袋中有6個(gè)白球，4個(gè)黑球，2個(gè)紅球，共有12個(gè)球，摸到白球的概率是；故答案為：．13．（3分）如圖所示，在中，，是斜邊上的中線，、分別為、的中點(diǎn)，若，則4．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出．【解答】解：、分別為、的中點(diǎn)，，，是斜邊上的中線，，故答案為：4．14．（3分）若為有理數(shù)，且的值大于1，則的取值范圍為且為有理數(shù)．【分析】根據(jù)題意列出不等式，解之可得，【解答】解：根據(jù)題意知，解得，故答案為：且為有理數(shù)．15．（3分）如圖所示，過(guò)正五邊形的頂點(diǎn)作一條射線與其內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)，且，則66度．【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到度，然后根據(jù)角平分線的定義得到度，再利用三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)．【解答】解：五邊形為正五邊形，度，是的角平分線，度，，．故答案為：66．16．（3分）如圖所示，為的直徑，點(diǎn)在上，且，過(guò)點(diǎn)的弦與線段相交于點(diǎn)，滿足，連接，則20度．【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，求出，得出，再由圓周角定理即可得出答案．【解答】解：連接，如圖：，，，，，，，，，故答案為：20．17．（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走250步才能追到速度慢的人．【分析】設(shè)走路快的人追上走路慢的人所用時(shí)間為，根據(jù)二者的速度差時(shí)間路程，即可求出值，再將其代入路程速度時(shí)間，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)走路快的人追上走路慢的人所用時(shí)間為，根據(jù)題意得：，解得：，．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．18．（3分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，在直線處放置反光鏡Ⅰ，在軸處放置一個(gè)有缺口的擋板Ⅱ，缺口為線段，其中點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，且，在直線處放置一個(gè)擋板Ⅲ，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)反光鏡Ⅰ反射后，通過(guò)缺口照射在擋板Ⅲ上，則落在擋板Ⅲ上的光線的長(zhǎng)度為1.5．【分析】當(dāng)光線沿、、、傳輸時(shí)，由，即：，即：，解得：，求出，同理可得：，即可求解．【解答】解：當(dāng)光線沿、、、傳輸時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，則，則，即：，即：，解得：，則，，，當(dāng)光線反射過(guò)點(diǎn)時(shí)，同理可得：，落在擋板Ⅲ上的光線的長(zhǎng)度，故答案為1.5．三、解答題（本大題共8小題，共66分）19．（6分）計(jì)算：．【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值分別化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：原式．20．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【分析】根據(jù)分式的減法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：，當(dāng)時(shí)，原式．21．（8分）小強(qiáng)的爸爸準(zhǔn)備駕車外出．啟動(dòng)汽車時(shí)，車載報(bào)警系統(tǒng)顯示正前方有障礙物，此時(shí)在眼睛點(diǎn)處測(cè)得汽車前端的俯角為，且，若直線與地面相交于點(diǎn)，點(diǎn)到地面的垂線段的長(zhǎng)度為1.6米，假設(shè)眼睛處的水平線與地面平行．（1）求的長(zhǎng)度；（2）假如障礙物上的點(diǎn)正好位于線段的中點(diǎn)位置（障礙物的橫截面為長(zhǎng)方形，且線段為此長(zhǎng)方形前端的邊），，若小強(qiáng)的爸爸將汽車沿直線后退0.6米，通過(guò)汽車的前端點(diǎn)恰好看見(jiàn)障礙物的頂部點(diǎn)（點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），求障礙物的高度．【分析】（1）由題意得到，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）過(guò)作于，于是得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義得到米，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）由題意得，，在中，，，，答：的長(zhǎng)度為；（2）過(guò)作于，則四邊形是矩形，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，米，，，，，，，，答：障礙物的高度為0.6米．22．（8分）某甜品店計(jì)劃訂購(gòu)一種鮮奶，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天的需求量與當(dāng)天的最高氣溫有關(guān)，現(xiàn)將去年六月份（按30天計(jì)算）的有關(guān)情況統(tǒng)計(jì)如下：（最高氣溫與需求量統(tǒng)計(jì)表）最高氣溫（單位：需求量（單位：杯）200250400（1）求去年六月份最高氣溫不低于的天數(shù)；（2）若以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率，求去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過(guò)200杯的概率；（3）若今年六月份每天的進(jìn)貨量均為350杯，每杯的進(jìn)價(jià)為4元，售價(jià)為8元，未售出的這種鮮奶廠家以1元的價(jià)格收回銷毀，假設(shè)今年與去年的情況大致一樣，若今年六月份某天的最高氣溫滿足（單位：，試估計(jì)這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤(rùn)為多少元？【分析】（1）由條形圖可得答案；（2）用的天數(shù)除以總天數(shù)即可得；（3）根據(jù)利潤(rùn)銷售額成本計(jì)算可得．【解答】解：（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖知，去年六月份最高氣溫不低于的天數(shù)為（天；（2）去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過(guò)200杯的概率為；（3）（元，答：估計(jì)這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤(rùn)為730元．23．（8分）如圖所示，已知正方形的頂點(diǎn)為正方形對(duì)角線、的交點(diǎn)，連接、．（1）求證：；（2）若，正方形的邊長(zhǎng)為2，線段與線段相交于點(diǎn)，，求正方形的邊長(zhǎng)．【分析】（1）由正方形與正方形，對(duì)角線、，可得，，即可證得，因，，則可利用“邊角邊”即可證兩三角形全等（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由于，由可得，長(zhǎng)，從而求得，即可求得，再通過(guò)，易證得，則有，求得即為正方形的邊長(zhǎng)．【解答】解：（1）正方形與正方形，對(duì)角線、，在和中（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，在中，由勾股定理得，易證，得則正方形的邊長(zhǎng)為24．（8分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的邊與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，其中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．（1）已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，求該一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，滿足，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)，記的面積為，設(shè)，①用表示（不需要寫(xiě)出的取值范圍）；②當(dāng)取最小值時(shí)，求的值．【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：，即可求解；（2）①，則，則點(diǎn)，，；②當(dāng)時(shí)，取得最小值，而點(diǎn)，，即可求解．【解答】解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，解得：，故一次函數(shù)表達(dá)式為：，（2）①過(guò)點(diǎn)作，則，則，，，則，則點(diǎn)，設(shè)：，則，在中，，同理，則，，則點(diǎn)，，，②，有最小值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，而點(diǎn)，，故：．25．（11分）四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，線段是的直徑，連結(jié)、．點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連結(jié)、，且，，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交與點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，①求證：為等腰直角三角形；②求的長(zhǎng)度．【分析】（1）由圓周角的定理可得，可證，由一組對(duì)邊平行且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形是平行四邊形