文檔編碼:CA5B4M2W8H10——HU1U6L2V4Q2——ZY10L3H3K9A6平面對量題型總結 〔2022版〕題型一:定義判定1．向量的概念：既有大小又有方向的量,留意向量和數量的區分；向量常用有向線段來表示,留意不能說向量就是有向線段,為什么？（向量可以平移）；|AB|〕；2．零向量：長度為0的向量叫零向量,記作：0,留意零向量的方向是任意的；3．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量〔與AB共線的單位向量是AB4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性；5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,記作：a∥b,規定零向量和任何向量平行；提示：①相等向量確定是共線向量,但共線向量不愿定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線 ,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（由于有0〕；④三點A、、C共線AB、AC共線；a的相反向量是－a；6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量；向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示,如AB,留意起點在前,終點在后；2．符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示,如 a,b,c等；3．坐標表示法：在平面內建立直角坐標系,以與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i,j為基底,就平面內的任一向量a可表示為 a xi yj xy,稱 ,xy為向量a的坐標,a＝ ,xy叫做向量a的坐標表示；如果向量的起點在原點 ,那么向量的坐標與向量的終點坐標相同；-1-例1.平面對量a,b共線的充要條件是（）2b0A.a,b方向相同B.a,b兩向量中至少有一個為零向量C.存在R,baD存在不全為零的實數1,2,1a例2.以下命題正確選項（）A、如a∥b,且b∥c,就a∥c；B、兩個有共同起點且相等的向量,其終點可能不同；C、向量AB的長度與向量 BA的長度相等 ；D、如非零向量 AB與CD是共線向量,就 A、B、C、D四點共線；例3.給出下面四個命題：①對于任意向量 a、b,都有|a· b|≥a· b成立；②對于任意向量 a、b,如a2=b2,就a=b或a=-b；③對于任意向量 a、b、c,都有a· 〔b· c〕=〔b· c〕· a成立；④對于任意向量 a、b、c,都有a· 〔b· c〕=〔b· a〕· c成立.其中錯誤的命題共有 .例4.給出以下命題:①如a2+b2=0,就a=b=0;）②已知A〔x1y1〕,B〔x2y2〕,就1AB〔x12x2,y12y2〕;2③已知a,b,c是三個非零向量,如a+b=0,就|a·c|=|b·c|④已知1,020,e1,e2是一組基底,a=λ1e1+λ2e2就a與e1不共線,a與e2也不共線;其中正確命題的序號是.例5．假如e1、e2是平面α內兩個不共線的向量,那么在以下各說法中錯誤的有（①λe1＋μe2〔λ,μ∈R〕可以表示平面α內的全部向量；②對于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ,μ有許多多對；2e2=k〔λ1e1+μ1e2〕；③如向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,就有且只有一個實數k,使λ2e1+μ④照實數λ,μ使λe1＋μe2=0,就λ=μ=0.A.①②B．②③C．③④D．僅②真題：（2022北京東城區統一檢測）如a,b是兩個非零向量,就|a+b|＝|a-b|是ab的條件-2-（2022年高考廣東卷（文））設a是已知的平面對量且a0,關于向量a的分解,有如下四個命題:b,就以下結①給定向量b,總存在向量c,使abc;②給定向量b和c,總存在實數和,使abc;③給定單位向量b和正數,總存在單位向量c和實數,使abc;④給定正數和,總存在單位向量b和單位向量c,使abc;上述命題中的向量b,c和a在同一平面內且兩兩不共線,就真命題的個數是（）A．1B．2C．3D．4（15北京文科）設a,b是非零向量,“abab”是“ab”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件（15年安徽文科）ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a、b中意AB2a,AC2a論中正確選項；（寫出全部正確結論得序號）b〕a2b2①a為單位向量；②b為單位向量；③ab；④b//BC；⑤〔4ab〕BC（15年陜西理科）對任意向量ab,以下關系式中不恒成立的是（）A．|ab||ab|||B．|ab|||a||||C．〔ab〕2|ab2

|D．〔aba題型二：平面對量基本定理及基底的相關應用平面對量的基本定理 ：假如e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對該平面內的任一向量 a,有且只有一對實數 1、 2,使a= 1e1＋ 2e2向量中一些常用的結論 ：

（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要留意運用；（2）||a|||||ab||a||b,特別地,當ab、同向或有0||ab||a||b||b；當ab不共線||a||b|||ab|；當ab反向或有0|ab||a|b||a|b||a||a|b||a|b|a|〔這些和實數比較類似〕.-3-（3）向量PAPBPC中三終點A、、C共線存在實數、使得PAPBPC且1例6.如圖,ABCD是一個梯形,AB//CD,AB2CD,M、N分別是DC,AB的中點,已知ABa,ADb,試用a、b表示DCBC和MN.DMCANB例7.在△OAB中,延長BA到C,使AC＝BA,在OB上取點D,使DB＝13OB.DC與OA交于E,設OA→＝a,OB→＝b,用a,b表示向量OC→,DC→.例8.已知在△ ABC中, BD 2DA,點E為AC的中點,CD與BE交于點F,試用AB與AC表示AF.例9.在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點,已知AMaANb,試用ab表示ABAD；例10.在三角形ABC中,點D在邊AB上,CD平分角ACB,CBa,CAb,a,1b2,就CD〔〕A.1a2b,B.2a1b,C.3a4b,D.4a3b,33335555-4-三點共線定理的應用：例11.在平行四邊形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,DE與AF交于點H,設ABa,BCb,就AHA.2a4b,B.2a4b,C.2a4b,D.2a4b,55555555例12.在△ABC中,AR2RB,CP2PR,如APmABnAC,就mnA． 2 B. 7 C． 8 D．13 9 9例13.如A,B,C是直線l上不同的三個點,如O不在l上,存在實數x使得x2OA→＋xOB→＋BC→＝0,實數x為〔 〕－1＋ 5 1＋ 5A．－1 B．0 C. 2 D. 2例14.在平行四邊形 ABCD中,AC與BD交于O,E是線段OD的中點,AE的延長線與 CD交于點F,如AC→＝a,BD→＝b,就AF→等于〔 〕A.14a＋12b B.23a＋13b C.12a＋14b D.13a＋23b例15.在 ABC中,N是AC邊上的一點,且 AN 1 NC,P是BN上的一點,如 AP mAB 2 AC,就實數m的值2 9為.例16.已知O是ABC的外心,AB2,AC1,BAC 0120,如AO1AB2AC,就12的值為（）A．2B〔3,．13 6〔21,〕,C〔7,4〕．7

3D．5

2例17.如向量a2〕,bc,現用a、b表示c,就c=.真題：（湖南六校聯考 2022）設i、j是平面直角坐標系 〔坐標原點為 O〕內分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量,且OA→＝－2i＋j,OB→＝4i＋3j,就△OAB的面積等于________．（2022洛陽市統考）已知直角坐標系內的兩個向量 a 3,1〔〕,b 〔m,2m 〕3使平面內的任意一個 c都可以唯獨的表示成 c a b,就m的取值范疇是.-5-題型三：向量的幾何運算及三角形的四心①向量加法：利用“平行四邊形法就”進行,但“平行四邊形法就”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法仍可利用“三角形法就”：設ABaBCb,那么向量AC叫做a與b的和,即abABBCAC；②向量的減法：用“三角形法就”：設ABaACb,那么abABACCA,由減向量的終點指向被減向量的終點；留意：此處減向量與被減向量的起點相同；在 ABC中：①如 Ax1,y1 ,Bx2,y2 ,Cx3,y3 ,就其重心的坐標為 G x1 x2 x3,

y1 y2 y33 3②PG 1〔PA PB PC〕 G為 ABC的重心,特別地 PA PB PC 0 P為 ABC的重心；3③PAPB PBPC PCPA P為 ABC的垂心；④向量 〔 AB AC 〕〔 0〕所在直線過 ABC的內心〔是 BAC的角平分線所在直線 〕；|AB| |AC|⑤| ABPC |BCPA |CAPB 0 P ABC的內心；例18.如正方形ABCD的邊長為 1, AB aBC bAC c,就|a b c＝_________________例19.如O是 ABC所在平面內一點,且中意 OB OC OB OC 2OA,就 ABC的形狀為__________內心例20.O是ABC所在平面內確定點,動點P中意OPOA0〔ABAC〕,【0,）,就點ABACP的軌跡確定通過ABC的（）A.外心,且B.內心C.重心D.垂心例21.已知非零向量AB與AC中意〔ABAC〕ABAC1,就ABC為（）BCABACABAC2A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形重心例22.O是ABC內一點,OCOAOB0,就為ABC的（）A.外心B.內心C.重心D.垂心-6-垂心例23.O是平面上確定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點,PABC的（）就點P的軌跡確定通過中意OPOA〔ABABACAC〕,RCOSBCOSCA.外心B.內心C.重心D.垂心外心例24.已知點O,N,P在ABC所在平面內,且OAOBOC,0NANBNC,PAPBPBPCPCPA,就O,N,P依次是ABC的（）D.外心、重心、內心A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內心C.外心、重心、垂心題型四：平面對量坐標運算及共線問題設a〔xy1 1〕,b〔x2,y2〕,就：xx,2y12y2〕；①向量的加減法運算：ab〔x1②實數與向量的積：axy1x1,y1；③如Axy1〕,Bx2,y2〕,就AB2xy,y1,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標；④平面對量數量積：abxx2yy；如：x2x12y2y12⑤向量的模：|a|x2y2,a2|a|2x2 2

y；如⑥兩點間的距離：如Axy1 1,Bx2,y2,就|AB|向量的運算律：1．交換律：abba,aa,abba；2．結合律：abcabcabcabc,ababab；3．支配律：aaa,abab,abcacbc；例25.設A〔2,3〕,B〔1,5〕,且AC1AB,AD3AB,就C、D的坐標分別是__________3例26.與向量a→=〔12,5〕平行的單位向量為-7-例27.已知A〔0,2〕,B〔2,2〕,C〔3,4〕,求證：ABC三點共線；D三點共線a8,bCD 2〔2例28.設AB5〕,BC2a3〔ab,求證：A、、真題：（2022年高考遼寧卷（文））已知點A1,3,B4,1,就與向量AB同方向的單位向量為（2022滁州市統