1、6.1 投入產(chǎn)出模型6.2 CT技術(shù)的圖像重建6.3 原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.4 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型6.5 減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)6.6 按年齡分組的人口模型第六章 代數(shù)方程與差分方程模型6.4 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問 題供大于求現(xiàn)象 商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定? 當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價(jià)格上漲供不應(yīng)求 描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律.商品數(shù)量與價(jià)格在振蕩蛛 網(wǎng) 模 型gx0y0P0fxyOxk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格.消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)一旦xk

2、=x0，則yk=y0, 且 xk+1=xk+2=x0 , yk+1=yk+2= =y0 供應(yīng)函數(shù)xyOfgy0 x0P0設(shè)x1偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xyOy0 x0P0fg曲線斜率蛛 網(wǎng) 模 型在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方 程 模 型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致 商品數(shù)量減少1單位, 價(jià)格上漲幅度 價(jià)格上漲1單位, (下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察 , 的含義 消費(fèi)者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價(jià)格的敏感程度小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格.經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果

3、解釋經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使 盡量小，如 =0 以行政手段控制價(jià)格不變2. 使 盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xyOy0gfxyOx0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段 的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量.生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件方程通解(c1, c2由初始條件確定)1, 2特征根，即方程 的根 平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件 放寬了!模型的推廣6.5 減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持.

4、 通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體 的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo).分析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起. 飲食（吸收熱量）引起體重增加. 代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少. 體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重; BMI30 肥胖.模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量每8000kcal 增加體重1kg；2）代謝引起的體重減少正比于體重每周每千克 體重消耗200 320kcal (因人而異), 相當(dāng)于70kg 的人每天消耗2000 3200kcal；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式 有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1

5、.5kg, 每周吸收熱量不要小于10000kcal.某甲體重100kg，目前每周吸收20000kcal熱量，體重維持不變. 現(xiàn)欲減肥至75kg.第一階段：每周減肥1kg，每周吸收熱量逐漸減少,直至達(dá)到下限（10000kcal）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo). 2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃.1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃.減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案. 確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗 20000/100=200kcal基本模型w(k) 第k周(末)體重c(k) 第k周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃

6、每周吸收20000kcal, w=100kg不變=1/8000(kg/kcal) 第一階段: w(k)每周減1kg, c(k)減至下限10000kcal第一階段10周, 每周減1kg，第10周末體重90kg吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃 第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75kg1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃基本模型 第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75kg第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000kcal, 體重按 減少至75kg.運(yùn)動(dòng) t=24 (每周跳舞8h或自行車10h), 14周即可.2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱

7、量 (kcal): 跑步 跳舞 乒乓 自行車(中速) 游泳(50m/min) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(h)模型)()1()()1(kwkckwkwba-+=+tagbb+=取 t=0.003, 即 t=24=1/8000(kg/kcal), =0.02514=n增加運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于提高代謝消耗系數(shù)2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃提高12%減肥所需時(shí)間從19周降至14周減少25% 這個(gè)模型的結(jié)果對代謝消耗系數(shù)很敏感. 應(yīng)用該模型時(shí)要仔細(xì)確定代謝消耗系數(shù) (對不同的人; 對同一人在不同的環(huán)境).3）達(dá)到目標(biāo)體重75kg后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w

8、不變 不運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前)6.6 按年齡分組的人口模型 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律.假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記i=1,2,n 時(shí)間離散為時(shí)段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個(gè)體數(shù)量為對象. 第i 年齡組1雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的繁殖率為bi 第i 年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- di假設(shè)與建模xi(k)時(shí)段k第i 年齡組的種群數(shù)量按年齡組的分布向量預(yù)測任意時(shí)段種群按年齡組的分布Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)至少1個(gè)bi0)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識 L矩陣存在正單特征根1， 若L矩陣存在bi

9、, bi+10, 則 P的第1列是x*特征向量, c是由bi, si, x(0)決定的常數(shù) 且解釋L對角化穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群按年齡組的分布 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關(guān). 各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， 稱固有增長率與基本模型比較3）=1時(shí) 各年齡組種群數(shù)量不變 1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期 內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析存活率 si是同一時(shí)段的 xi+1與 xi之比（與si 的定義 比較） 3）=1時(shí)人口模型連續(xù)型人口模型的離散形式xi(k)k年i 歲的女性人數(shù)(模型只考慮女性人口).bi(k)k年i 歲女性生育率(每人平均生育女兒數(shù)).dii 歲女性死亡率，si=1-di存活率i1, i2生育區(qū)間k年育齡女性平均生育女兒數(shù)總合生育率(生育胎次)年齡分布向量hi生育模式人口模型存活率矩陣生育模式矩陣x(k)狀態(tài)變量, (k)控制變量雙線性方程(對x(k), (k