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文檔簡介
1、PAGE PAGE 22交通流問題孫東方(數學院)高上起(信息院)李一山(資安院)摘要問題一的題設給出了很好的一個研究線索。受此啟發,本文在單行道,無超車等基本假設的基礎上定義了交通流基本參數(具體見基本假設和符號說明),建立了車流的基本關系,導出了車輛守恒方程,進而建立了包含車輛跟隨模型的交通流模型。利用這個模型對問題一至問題六進行了求解。接著對模型進行了進一步的分析,分別研究了模型中密度波傳播的問題以及非連續交通流的問題,并利用得出的結論解決了問題七至問題十。最后對模型的不足和可能的推廣作了簡單闡述。在第一個問題中,本文采用了數值擬合得出測量某時刻車流密度的最佳區間長度2r。考慮到公路很長
2、,r不大時可以認為所建的模型是連續的,為后續問題的討論奠定了基礎。第二、三個問題我們分別選取了一個物理模型(交通流模型中的子模型)求出了結果。第四問先推導出車流速度與密度的關系,再用MATLAB非線性擬合進行擬合,得到了描述車流速度與密度、流量與密度的關系,發現可以很好的與觀測數據相符。后面幾問是在前四問的基礎上進行討論的。在對模型做了進一步假設后,建立了車流的基本關系,導出了車輛守恒方程,進而建立了包含車輛跟隨模型的交通流模型。利用這個模型對問題一至問題六進行了求解。接著對模型進行了進一步的分析,分別研究了模型中密度波傳播的問題以及非連續交通流的問題,求解過程中,我們得到了車流恒定方程、車輛
3、跟隨方程、車流速度與密度的關系以及紅綠燈時車流速度,密度變化規律,對交通中紅綠燈的時間設置及管理提供了一定的依據。文章最后對模型的不足和可能的推廣作了簡單闡述。關鍵詞:交通流模型 密度波 密度波傳播 非連續交通流目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc174471483 1.問題重述 PAGEREF _Toc174471483 h 3 HYPERLINK l _Toc174471484 2.基本假設 PAGEREF _Toc174471484 h 3 HYPERLINK l _Toc174471485 3.符號說明 PAGEREF _Toc174471485 h
4、4 HYPERLINK l _Toc174471486 4.問題一:測量區間的選取 PAGEREF _Toc174471486 h 4 HYPERLINK l _Toc174471487 5.問題二:證明N(t)的變化率滿足一個重要關系 PAGEREF _Toc174471487 h 8 HYPERLINK l _Toc174471488 6.問題三:給出兩輛車的車速和距離估計值 PAGEREF _Toc174471488 h 8 HYPERLINK l _Toc174471489 7.問題四:據數據給出速度-密度關系模型 PAGEREF _Toc174471489 h 10 HYPERLIN
5、K l _Toc174471490 8.問題五:證明=-(du/d)*(du/dx) PAGEREF _Toc174471490 h 12 HYPERLINK l _Toc174471491 9.問題六:帶有反應時間T的線性車輛跟隨模型分析 PAGEREF _Toc174471491 h 15 HYPERLINK l _Toc174471492 10.問題七:計算密度波傳播速度并且證明其小于汽車的速度 PAGEREF _Toc174471492 h 16 HYPERLINK l _Toc174471493 11.問題八:兩小時后會不會有=m/2 PAGEREF _Toc174471493 h
6、17 HYPERLINK l _Toc174471494 12.問題九:交通燈由紅變綠后的車流密度 PAGEREF _Toc174471494 h 19 HYPERLINK l _Toc174471495 13.問題十的分析求解 PAGEREF _Toc174471495 h 20 HYPERLINK l _Toc174471496 14.模型的評價與推廣 PAGEREF _Toc174471496 h 21 HYPERLINK l _Toc174471497 15.參考文獻 PAGEREF _Toc174471497 h 21 HYPERLINK l _Toc174471498 16.附錄
7、PAGEREF _Toc174471498 h 21 HYPERLINK l _Toc174471499 (一)問題一的程序代碼: PAGEREF _Toc174471499 h 21 HYPERLINK l _Toc174471500 (二)問題四的程序代碼: PAGEREF _Toc174471500 h 22問題重述問題背景:隨著現代化發展的程度不斷深入,人口和交通工具的不斷增多,世界各國都面臨交通問題.而在當今的信息化社會里,效率就是時間,時間就是財富.而隨著人們擁有汽車的數量不斷地增長,優化交通管理成為亟需 解決的突出問題之一.要求對以下問題進行研究:在給出的初步模型(在單車道的區間
8、0,100上有45輛汽車,在并給出了每輛車的位置坐標)討論分析如何選取測量區間來定義在x=50處的車輛密度。證明動態研究路段的車流量變化率滿足的一個重要關系在兩個固定觀測站條件下,求通過的兩輛車的車速和距離的估計值。利用所觀測得到的速度密度關系的數據給出速度-密度關系模型,并畫出它們的流量密度曲線,并確定這條隧道的容量。設u=u(),如果表示每輛汽車的加速度,證明=-(du/d)*(du/dx),其中負號是否有道理?試對帶有反應時間T的線性車輛跟隨模型進行分析。設u()=um(-/m)。如果車流密度處處在0附近,試計算其密度波的傳播速度并且證明這個速度要小于汽車的速度。結果表明林肯隧道的資料適
9、合于模型q()=am-。假設初始密度將在區間-x0,0內從m線性地減為0.問兩小時后會不會有=/2?設u=um(1-p2/pm2).試給出公路上交通燈由紅變綠后的車流密度。如果交通燈由紅燈變成綠燈,試給出這個信息的傳播速度。基本假設在高速公路上各種類型的機動車一輛接著一輛的飛駛而過,就象在江河中奔騰的水流一樣,一股車流沿著公路滾滾向前。因此它啟發我們把車流看成連續的流體,利用物理上處理液體動力的思想來分析和討論交通流的有關問題。于是我們可以作出以下假設:假設車輛沿著一條無窮長的單車道,沿著單一方向運動,并設其為x軸。公路沿途沒有岔路口及其它入口或出口。即關于車輛守恒的假設:在一個路段上除了從端
10、點駛往和駛出的的車輛處,不會在其中出現或消失其它的車輛。單車道內不允許超車。汽車速度僅僅依賴于車流速度。如果路上車輛很少時,汽車將以其可能的最大速度行駛。在一定的密度下(擁護以致發生堵塞時)汽車將停止不動。密度和流量是連續的(甚至于連續可微)。速度僅僅是密度的函數。符號說明單位距離的公路上的車輛數,即車輛密度r車輛密度單位區間的半徑X設公路為x 軸,車輛沿x 軸的正向運動。一輛車的位置表示為x(t),它是時間t的函數。于是速度為dx(t)/dt,加速度為q流量某時刻通過固定點的車速度q道路的車流量N某時刻某區間內的車輛數T因駕駛人的動作反應時間引起的加速度的延遲靈敏系數問題一:測量區間的選取我
11、們設區間半徑為r 。公路在x=50處車輛的密度可以表示為以半徑為r區間50r,50+r上的車輛數量N除以區間的長度2r。即: (1) 由于給出的車輛數N對于位置的函數是離散的。所以如果r非常小,車輛實際上就由于偏大而不能正確的反映x=50這點的車輛密度。為研究r的取值與車輛密度的關系,用MATLAB6.0軟件繪制出r圖像如圖表1所示。圖表 SEQ 圖表 * ARABIC 1:區間r的選取與密度的關系圖(測量區間變化較大)由圖表1可知,剛開始密度變化很快,有一定的突變,隨著r取值增大,的取值趨于平穩。但從另一個角度來說,車輛密度是描述一段道路中某一位置(本題中為x=50)的特征量,而公式區(1)
12、中N為該位置為中點的區間上的車輛數。所以區間取的越大就越不能反映其中心位置的特征。由于我們取的測量區間變化較快,所以我們也可以看一下區間變化較小的情況,下面我們也給出其圖表2。圖表 2:區間r的選取與密度的關系圖(測量區間變化較大)由圖表1,2我們認為r取為20是合理的,即測量區間為30,70,在此測量區間以后車輛密度就會趨于穩定,大概為0.45。下面我們可以進一步研究不同點的密度與測量區間的關系,還是利用原來編寫的matlab程序,再稍做改變就可以得到圖表3。圖表 3:區間r的選取與密度的關系圖(取不同的點)由圖表3可以看出,取不同的測試點,開始的密度也是變化很快,最后的密度都會趨于穩定,而
13、且基本上和測試點x50是相同的,當然這里我們要去除邊界上的點,因為邊界點的區間不好取,會產生較大的誤差。問題二:證明N(t)的變化率滿足一個重要關系如下圖圖(1)表示在公路上有兩個觀測站,一個固定在x=a,另一個是移動的x=b(t)。N(t)表示公路上區間a,b(t)內的車輛數圖(1)a (a (t) b(t) b(t+t)我們知道,流量q(x,t)=u(x,t)(x,t)及車輛數N=q(x,t)t所以,在t時間內,有t輛車從a段進入區間,有t輛車從b段開出區間,另外, 由于觀測點x=b(t) 是移動的,所以相當于又有(b,t) x輛車進入區間(其中)。于是,變化的總車輛為t-t+(b,t)
14、x所以dNdt=即:dNdt=-(b,t)u(b,t)-db/dt+(a,t)u(a,t)問題三:給出兩輛車的車速和距離估計值從題目中可以知道兩個觀測站的位置是固定的,現在給出了兩個觀測站對a,b兩輛汽車通過觀測站的時刻,分別為ta1,ta2,tb1,tb2,為了方便計算,我們可以假設它們的時間有關系有ta1ta2tb1 0時,車輛守恒方程特征線滿足dx/dt=dq/d,又注意到車流關系q()= ()易知(x,0)=0,因此眼所有這些現有=0。則因此,在t=0時,通過點x。的特征線由給出,于是,在x0 時,當時間t x/um時,一直沒有車輛在行駛。當x0) 和我們再令x0=0,得到,第一輛車追
15、上前面的車流的時的位置=Um(t-),最后一輛車開始運動的位置=mUm(m) (t-),代入題目給出的速度公式u=um(1-p2/pm2) 可以解出: 我們得到。問題十的分析求解在第九題的分析基礎上,我們易得到x=Um(t-)即信息傳遞速度為Um模型的評價與推廣該模型只研究單行道上的機動車交通流的問題。而實際狀況下的道路多數不是單行道,且多為雙行道。道路存在分岔,彎道;道路上又存在著車輛流,行人流,自行車流(這在我國尤其典型)分流,交匯的復雜問題。這顯然不是單單依靠本模型可以解決的。而該模型除解決本題外也有其他的應用價值,例如在研究隧道交通流問題時可以運用本模型推導出隧道內車流的最佳車流密度,
16、管理人員可以根據實際情況的不同隨時對進入隧道的車流量進行控制。該模型也可以運用在生產線的管理上。參考文獻數學模型(第三版) HYPERLINK /search/power_search/power_search.asp?key1=%BD%AA%C6%F4%D4%B4+%D0%BB%BD%F0%D0%C7+%D2%B6%BF%A1 t _blank 姜啟源 謝金星 葉俊 同作者作品 高等教育出版社附錄問題一的程序代碼:hold off;clear;r=1:50;position=1.0,3.1,6.1,9.4,12.7,14.1,15.2,16.9,18.9, 20.1,21.5,23.5,25
17、.8,28.9,31.3,34.8,37.0,40.1, 43.4,44.9,46.4,47.9,49.6,51.6,53.3,54.8,56.6, 58.3,59.6,60.6,61.9,62.9,63.7,65.0,66.6,69.8, 72.1,76.3,78.8,81.6,84.2,87.7,90.8,95.1,99.3;m,n=size(r);for k=45:50 for i=1:n num=0; for j=1:45 if abs(position(j)-k)=r(i) num=num+1; end end midu(i)=num/2/r(i); end subplot(4,1,
18、4) plot(r,midu); hold on;endxlabel(r);ylabel(midu);title(密度與測量區間的關系);問題四的程序代碼:syms x;t=34 44 53 60 74 82 88 94 94 96 103 112 108 129 132 139 160 165;y=32 28 25 23 20 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6;m,n=size(t);myfunc=inline(beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./t),beta,t); beta=nlinfit(t,y,myfunc,1 1 1 1);for i=1:n s=t(i);y1(i)=beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./s);endbetaplot(t,y,*,t,y1,r);y1=beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./x);xlabel(密度);ylabel(速度);syms x;t=34 44 53 60 74 82 88 94 94 96 1
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