1、2016年普通高等學校招生全國統一考試天津理科數學1.(2016天津,理1)已知集合A=1,2,3,4,B=y|y=3x-2,xA,則AB=() A.1B.4C.1,3D.1,4答案D由題意知集合B=1,4,7,10,則AB=1,4.故選D.2.(2016天津,理2)設變量x,y滿足約束條件x-y+20,2x+3y-60A.-4B.6C.10D.17答案B如圖,作出變量x,y滿足約束條件表示的可行域,為三角形ABC及其內部,點A,B,C的坐標依次為(0,2),(3,0),(1,3).由圖可知,將z=2x+5y變形為y=-25x+z5,可知當y=-25x+z5經過點B時,z取最小值63.(201

2、6天津,理3)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,則AC=()A.1B.2C.3D.4答案A由余弦定理得13=9+AC2+3ACAC=1.故選A.4.(2016天津,理4)閱讀下邊的程序框圖,運行相應的程序,則輸出S的值為()A.2B.4C.6D.8答案B依次循環:S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,滿足條件,結束循環,輸出S=4.故選B.5.(2016天津,理5)設an是首項為正數的等比數列,公比為q,則“q0”是“對任意的正整數n,a2n-1+a2n0”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C由題意,得a2n-1+a2

3、n0a1(q2n-2+q2n-1)0q2(n-1)(q+1)0q(-,-1),因此,q0是對任意的正整數n,a2n-1+a2n0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為A.x24-3y24C.x24-y24=答案D根據對稱性,不妨設點A在第一象限,其坐標為(x,y),于是有x2+y2=4y=b2xx=4b27.(2016天津,理7)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則AFBC的值為(A.-58B.18C.14答案B設BA=a,BC=b,則DE=12

4、AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a8.(2016天津,理8)已知函數f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0,A.0,23C.13,2答案C由函數f(x)在R上單調遞減,可得0a1,3-4a當x0時,由f(x)=0得x0=1a-1又a13,1a-12,即x0如圖,作出y=|loga(x+1)+1|(x0)的圖象,由圖知當x0時,方程|f(x)|=2-x只有一解.當x0時,解得a1又a13,34,方程有一負根x0和一零根,則有x00=3a-2=0,解得a=23此時x0+0=2-4a=-230,符合題意方程有一正根x1和一負

5、根x2,則有x1x2=3a-20,解得af(-2),則a的取值范圍是.答案1解析由題意知函數f(x)在區間(0,+)上單調遞減,又f(x)是偶函數,則不等式f(2|a-1|)f(-2)可化為f(2|a-1|)f(2),則2|a-1|2,|a-1|12,解得12a0)的焦點為F,準線為l.過拋物線上一點A作l的垂線,垂足為B.設C72p,0,AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|,且答案6解析由題意知拋物線的普通方程為y2=2px,焦點為Fp2,0,|CF|=72p-p2=3p,又|CF|=2|AF|,則|AF|=32p.由拋物線的定義得|AB|=32p,所以xA=p,由CFAB,得EFE

6、A=CFAB,即EFEA=CFAF=2,所以SCEF=2SCEA=62,SACF=SAEC+SCFE=92.所以123p2p=92,解得p=15.(2016天津,理15)已知函數f(x)=4tan xsin2-x(1)求f(x)的定義域與最小正周期;(2)討論f(x)在區間-4解(1)f(x)的定義域為xxf(x)=4tan xcos xcosx=4sin xcosx=4sin x1=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x+3(1-cos 2x)-3=sin 2x-3cos 2x=2sin2x所以,f(x)的最小正周期T=22=(2)令z=2x-3,函數y=2sin z的單調

7、遞增區間是-2+2k,2+2k,kZ.由-2+2k2x-32+2k,得-12+kx512+k,kZ.設A=-4,4,B=x-16.(2016天津,理16)某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4,現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”,求事件A發生的概率;(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數學期望.解(1)由已知,有P(A)=C3所以,事件A發生的概率為13(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=C3P(X=1)=C3P

8、(X=2)=C3所以,隨機變量X的分布列為X012P474隨機變量X的數學期望E(X)=0415+1715+241517.(2016天津,理17)如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF平面ABCD,點G為AB的中點,AB=BE=2.(1)求證:EG平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)設H為線段AF上的點,且AH=23HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值解依題意,OF平面ABCD,如圖,以O為原點,分別以AD,BA,OF的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,依題意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(

9、1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(1)證明:依題意,AD=(2,0,0),AF=(1,-1,2).設n1=(x,y,z)為平面ADF的法向量,則n不妨設z=1,可得n1=(0,2,1),又EG=(0,1,-2),可得EGn1=0,又因為直線EG平面ADF,所以EG平面ADF.(2)易證,OA=(-1,1,0)為平面OEF的一個法向量.依題意,EF=(1,1,0),CF=(-1,1,2).設n2=(x,y,z)為平面CEF的法向量,則n不妨設x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos=OAn2|于是sin=33所以,二面角O-EF-C的正弦值為3

10、3(3)由AH=23HF,得AH=25因為AF=(1,-1,2),所以AH=進而有H-35,3因此cos=BHn2|所以,直線BH和平面CEF所成角的正弦值為72118.(2016天津,理18)已知an是各項均為正數的等差數列,公差為d.對任意的nN*,bn是an和an+1的等比中項.(1)設cn=bm+12-bn2,nN*,求證:(2)設a1=d,Tn=k=12n(-1)kbk2,nN證明(1)由題意得bn2=anan+1,有cn=bn+12-bn2=an+1an+2-an因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差數列.(2)Tn=(-b12+b22)+(-b32

11、+b42)+(-b2n-12+b2n2)=2d(a2所以k19.(2016天津,理19)設橢圓x2a2+y23=1(a3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1|(1)求橢圓的方程;(2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BFHF,且MOAMAO,求直線l的斜率的取值范圍.解(1)設F(c,0),由1|即1c+1a=3ca(a-又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,橢圓的方程為x24+(2)設直線l的斜率為k(k0),則直線l的方程為y=k(x-2).設B(xB,yB),由方程組x消去y,整理得(4k2+3)x2-16k

12、2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k由題意得xB=8k2-64k2由(1)知,F(1,0),設H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=由BFHF,得BFFH=0,所以4k2-94k因此直線MH的方程為y=-1kx+9設M(xM,yM),由方程組y=k(解得xM=20k在MAO中,MOAMAO|MA|MO|,即(xM-2)2+yM2xM2+yM2,化簡得xM1,即20k2+9所以,直線l的斜率的取值范圍為-20.(2016天津,理20)設函數f(x)=(x-1)3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)的單調區間;(2)若f(x)存在極值點x0,且f(x1)=f(x0)

13、,其中x1x0,求證:x1+2x0=3;(3)設a0,函數g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區間0,2上的最大值不小于14(1)解由f(x)=(x-1)3-ax-b,可得f(x)=3(x-1)2-a.下面分兩種情況討論:當a0時,有f(x)=3(x-1)2-a0恒成立,所以f(x)的單調遞增區間為(-,+).當a0時,令f(x)=0,解得x=1+3a3,或x=1-當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x-11-3a1-1+1+3a1+3af(x)+0-0+f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以f(x)的單調遞減區間為1-3a3,1+(2)證明因為f(x)存在極值點,所

14、以由(1)知a0,且x01.由題意,得f(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2=a3,進而f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=-2a3x0-又f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b=8a3(1-x0)+2ax0-3a-b=-2a3x0-a3且3-2x0 x0,由題意及(1)知,存在唯一實數x1滿足f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.(3)證明設g(x)在區間0,2上的最大值為M,maxx,y表示x,y兩數的最大值.下面分三種情況討論:當a3時,1-3a3021+3a3,由(1)知,f(x)在區間0,2上單調遞減,所以f(x)在區間0,2上的取值范圍為f(2),f(0),因此M=max|f(2)|,|f(0)|