1、2015年普通高等學校招生全國統一考試山東理科數學本試卷分第卷和第卷兩部分,共4頁.滿分150分.考試用時120分鐘.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.注意事項:1.答題前,考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區和科類填寫在答題卡和試卷規定的位置上.2.第卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.答案寫在試卷上無效.3.第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置,不能寫在試卷上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按

2、以上要求作答的答案無效.4.填空題請直接填寫答案,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.參考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第卷(共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2015山東,理1)已知集合A=x|x2-4x+30,B=x|2x4,則AB=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:A=x|x2-4x+30=x|1x3,B=x|2x4,結合數軸,知AB=x|2x3.2.(2015山東,理2)若復數z滿足z1-i=i,其中i為虛數單位,則z=(

3、A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A解析:z1-i=i,z=i(1-i)=i-i2=1+i.z=1-i3.(2015山東,理3)要得到函數y=sin4x-3的圖象,只需將函數y=sin 4xA.向左平移12B.向右平移12C.向左平移3D.向右平移3答案:B解析:y=sin4x-3=sin4x-12,只需將函數y=4.(2015山東,理4)已知菱形ABCD的邊長為a,ABC=60,則BDCD=(A.-32a2B.-34a2C.34a2D.答案:D解析:如圖設BA=a,BC=b.則BDCD=(BA+BC)BA=(a+b)a=a2+ab=a2+aacos 60=a2+12a25.(

4、2015山東,理5)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是()A.(-,4)B.(-,1)C.(1,4)D.(1,5)答案:A解析:當x1時,不等式可化為(1-x)-(5-x)2,即-42,滿足題意;當1x5時,不等式可化為(x-1)-(5-x)2,即2x-62,解得1x4;當x5時,不等式可化為(x-1)-(x-5)2,即42,不成立.故原不等式的解集為(-,4).6.(2015山東,理6)已知x,y滿足約束條件x-y0,x+y2,y0.A.3B.2C.-2D.-3答案:B解析:由約束條件畫出可行域,如圖陰影部分所示.線性目標函數z=ax+y,即y=-ax+z.設直線l0:ax+y=0.當-

5、a1,即a-1時,l0過O(0,0)時,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合題意;當0-a1,即-1a0時,l0過B(1,1)時,z取得最大值,zmax=a+1=4,a=3(舍去);當-1-a0時,即0a1時,l0過B(1,1)時,z取得最大值,zmax=2a+1=4,a=32(舍去當-a-1,即a1時,l0過A(2,0)時,z取得最大值,zmax=2a+0=4,a=2.綜上,a=2符合題意.7.(2015山東,理7)在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(A.23B.43C.5答案:C解析

6、:由題意可得旋轉體為一個圓柱挖掉一個圓錐.V圓柱=122=2,V圓錐=13121=3.V幾何體=V圓柱-V圓錐=2-8.(2015山東,理8)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態分布N(0,32),從中隨機取一件,其長度誤差落在區間(3,6)內的概率為()(附:若隨機變量服從正態分布N(,2),則P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正態分布N(0,32)可知,落在(3,6)內的概率為P=95.44%-68.26%29.(2015山東,理9)一條光線從點(-2,-3)射出,經y軸反射后與圓

7、(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為()A.-53或-35B.-32C.-54或-45D.-43答案:D解析:如圖,作出點P(-2,-3)關于y軸的對稱點P0(2,-3).由題意知反射光線與圓相切,其反向延長線過點P0.故設反射光線為y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.圓心到直線的距離d=|-3k-2-2k-3|1+k2=1,10.(2015山東,理10)設函數f(x)=3x-1,x1,2x,x1.則滿足f(f(a)=2A.23,1B.0,C.23,+D.1,答案:C解析:當a=2時,f(2)=4,f(f(2)=f(4)=24,顯然f(f(2)=2f(2)

8、,故排除A,B.當a=23時,f23=323-1=1,ff23=f(1)=顯然ff23=2綜上,選C.第卷(共100分)二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2015山東,理11)觀察下列各式:C10=4C30+CC50+CC70+C照此規律,當nN*時,C2n-10+C2n答案:4n-1解析:觀察各式有如下規律:等號左側第n個式子有n項,且上標分別為0,1,2,n-1,第n行每項的下標均為2n-1.等號右側指數規律為0,1,2,n-1.所以第n個式子為C2n-10+C2n-112.(2015山東,理12)若“x0,4,tan xm”是真命題,則實數m的最小值為答案:1解析

9、:由題意知m(tan x)max.x0,4,tan x0,m1.故m的最小值為1.13.(2015山東,理13)執行下邊的程序框圖,輸出的T的值為.答案:11解析:初始n=1,T=1.又01 xndx=1n+1xn=13,T=1+11+1=32,n=1+n=23,T=32+12+1=116,n=3,不滿足“n0,a1)的定義域和值域都是-1,0,則a+b=.答案:-3解析:f(x)=ax+b是單調函數,當a1時,f(x)是增函數,a-1+當0a0,b0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p0)交于點O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點答案:3解析:雙曲線的漸近線為y=bax.由y=ba由y

10、=-baxF0,p2為OAB的垂心,kAFkOB=-即2b2pa2-c2a2=9三、解答題:本大題共6小題,共75分.16.(本小題滿分12分)(2015山東,理16)設f(x)=sin xcos x-cos2x+(1)求f(x)的單調區間;(2)在銳角ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面積的最大值解:(1)由題意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的單調遞增區間是單調遞減區間是4+k,3(2)由fA2=sin A-12=

11、0,得sin A=由題意知A為銳角,所以cos A=32由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且當b=c時等號成立.因此12bcsin A2+所以ABC面積的最大值為2+317.(本小題滿分12分)(2015山東,理17)如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.(1)求證:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小.(1)證法一:連接DG,CD,設CDGF=O,連接OH.在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G為AC的中

12、點,可得DFGC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形.則O為CD的中點,又H為BC的中點,所以OHBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.證法二:在三棱臺DEF-ABC中,由BC=2EF,H為BC的中點,可得BHEF,BH=EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形.可得BEHF.在ABC中,G為AC的中點,H為BC的中點,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因為BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)解法一:設AB=2,則CF=1.在三棱臺DEF-ABC中,G為AC的中點,由DF=12AC=GC,可得四邊形DGCF為平行四邊形,因此DGFC又F

13、C平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45,G是AC中點,所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD兩兩垂直.以G為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).可得H22,22,0,F(0故GH=22,22,0,GF設n=(x,y,z)是平面FGH的一個法向量,則由nGH可得平面FGH的一個法向量n=(1,-1,2).因為GB是平面ACFD的一個法向量,GB=(2,0,0),所以cos=GB所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60.解法二:作HMAC于點M,作MNGF

14、于點N,連接NH.由FC平面ABC,得HMFC,又FCAC=C,所以HM平面ACFD.因此GFNH,所以MNH即為所求的角.在BGC中,MHBG,MH=12BG=2由GNMGCF,可得MNFC=GMGF,由HM平面ACFD,MN平面ACFD,得HMMN,因此tanMNH=HMMN所以MNH=60.所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60.18.(本小題滿分12分)(2015山東,理18)設數列an的前n項和為Sn .已知2Sn=3n+3.(1)求an的通項公式;(2)若數列bn滿足anbn=log3an,求bn的前n項和Tn.解:(1)因為2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故

15、a1=3,當n1時,2Sn-1=3n-1+3,此時2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1,所以an=3,(2)因為anbn=log3an,所以b1=13當n1時,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=13當n1時,Tn=b1+b2+b3+bn=13+(13-1+23-2+(n-1)31-n所以3Tn=1+(130+23-1+(n-1)32-n),兩式相減,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=23+1-31-n1-3-1-(所以Tn=1312經檢驗,n=1時也適合.綜上可得Tn=131219.(本

16、小題滿分12分)(2015山東,理19)若n是一個三位正整數,且n的個位數字大于十位數字,十位數字大于百位數字,則稱n為“三位遞增數”(如137,359,567等).在某次數學趣味活動中,每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取1個數,且只能抽取一次.得分規則如下:若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)寫出所有個位數字是5的“三位遞增數”;(2)若甲參加活動,求甲得分X的分布列和數學期望EX.解:(1)個位數是5的“三位遞增數”有125,135,145,235,245,345;(2)由題意知,

17、全部“三位遞增數”的個數為C93=隨機變量X的取值為:0,-1,1,因此P(X=0)=C83C93=23,P(X=-1)=C42C所以X的分布列為X0-11P2111則EX=023+(-1)114+120.(本小題滿分13分)(2015山東,理20)平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,左、右焦點分別是F1,F2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F(1)求橢圓C的方程;(2)設橢圓E:x24a2+y24b2=1,P為橢圓C上任意一點.過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A,求|OQ|求ABQ面積的最大值.解:(1)由題意知2a=4,則a=2.又ca=3

18、2,a2-c2=b2,可得b=1,所以橢圓C的方程為x2(2)由(1)知橢圓E的方程為x216+設P(x0,y0),|OQ|OP|=,由題意知Q(-x0,-因為x024+y02=即24x024+y02=1,設A(x1,y1),B(x2,y2),將y=kx+m代入橢圓E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24+16k2.則有x1+x2=-8km1+4k2,x1x所以|x1-x2|=416因為直線y=kx+m與y軸交點的坐標為(0,m),所以OAB的面積S=12|m|x1-x2|=216k2設m21+4將y=kx+m代入橢圓C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知00,f(x)0成