1、第一講、 問題最值問題通常與動點問題結合在起的重要內容一類綜合性較強的 問題是中考的熱點問題學生對平時所學的知識和方法的綜合運用 數問題還是幾何問題都有最值問強試題中出鏡率比較高的主要有利用 重要的幾何結點之間線最短之間垂線段最短和點與圓上的點的距離最 短等值問題質求最值的代數類型最值問題 何模型(1) “點之間線段最短” 模型這個模型主要用來解決一個動點兩個定點所得到的兩條兩線段之和的最小值問題 是兩條線段之差的最大值問題模型一 兩條線段的和最小值問題如圖，點 是直 l 同側的個定點試在直線 l 上確定一點 ，使 的 值最小解 A 關于直線 l 對點 A 連 A B l 點 ，則 最小例 1

2、 ，在平面直角坐標系中 的頂點 A 在 x 軸的正半軸上，頂點 B 標為(3， C 坐標(， P 為斜邊 OB 的一動點，則 PA+PC 的最小值（ ）分析 ，作 A 關于 OB 的對稱點 ，連接 CD OB 于 P 連接 DNOA N求 小，由對稱性可知，即求 CD 的長求出 DN 后，在 eq oac(,Rt) 中根據勾股定理即可得出答案解法一 如圖，作 A 關于 OB 對稱點 D OB 點 M接 CD 交 OB 于 接 AP D 作 DNOA 于 ，則此時 PA 最小DP=PA 3 )，3， OA=3，在 ，由勾股定理 由面積公式得 AB=OB ，即 ，BAO=90， AD= 在 eq

3、oac(,Rt) 勾股定理得DN=3 2C( ，0)， 在 eq oac(,Rt) 中，由勾股定理得 312即 PA 最小值是解法二 如圖，312所以應選 點 A 于直線 OB 的對稱點為 ，接 CD OB P，接 OD B(3 3 )可 得：AOB=30AOD=2AOB=60稱性知OA=OD 邊三角形D( 3， ) C(31，0)，PA+PC 小值是 CD= 2說明： 題考查了兩條線和的最小值問題將同側線段轉化為異側線段， 從而利用兩點之間線段最短解決問題本例的難點有二，其一是如何將最小問題轉化為基本模型“軍飲馬”，即如何找到基 本模型中的“河”從而構造軸對稱；其二是如求對稱點的坐標其中特別

4、要強調的是，解法二中充分利用了題目的特殊，由點 的坐標發現了含 30角三角形，從而到 等邊三角形，并利用含 30的角三角形的性質，巧妙地求得對稱點 標變式 “頂點 坐標為 ( ”為“點 B 坐標 ( ，1)”其它條件不變，求 值分析： 例 在求點 坐標時法都利用了 30這一特殊角特殊角， 因此要用更一般的通法解決：連 x 軸的平行線，延長 將四邊形 “框”來，構造 K 本圖形利用相似可求得解 沿 OB 折疊得ODB點 EF延長 交于點 ，接 CD由折疊得，BD=AB=1OED=ODB=90EOD+EDO=EOD=FDBOED=F， FB BD 1 OD 設 FB=x ，OE=1+x，DF=2-

5、2x 代入比例式可得 3 3 8解得 ， 5 5 5PA+PC 的最小值 CD=變式 2 三角形周長的最小值問題例 2 直角坐標系中的位置如圖所示 B 標3 是 的中的，點 在 上，當CDE 的周長最小時，點 的坐標( )A(3，1) ，53 ，2)分析 周長的三條線段中 長為定值題可以化為求 EC+ED 最小值， 即可轉化為“軍飲馬”型解 A 的右側取點 F 連接 CF交 E易得 AE=1 4 3 3變式 3 一定兩動、三動問題例 3 ，分別以點 A(2，3)、B(41 和 2 徑畫圓，點 、D 分別在這 兩個圓上，點 P y 求 值分析 點 P 點，這是一個三動問題對于點 P 和A 連接

6、PA，與圓 的交點即為最小值的位置點 ；同理連接 與 的交點即為點 D此，此題可轉 化為模型一“軍飲馬”題略解 將A y 得A 接 A B兩圓分別交于點 、D由題意得A (-2，3)A CD=10-1-2=7即 值 CD 為 7模型二 過橋路線最短問題例 4 ，某人從點 A 垂直于河道的橋 PQ 到河對岸的 探究：橋建在什 么位置，使得行走的路程最短？分析 A 到點 的三條線段中PQ 定值，又由兩點之間線段最短的原理只要 將 AP 和 BQ“”來即可解 圖，過點 BC岸且 BC 等于河的寬，連接 AC，與靠近點 A 一側的河道交 點為 P，過點 P 路程最短說明 與三角形周長的最小值問題有相通

7、之處，均為條線段和的最值，且都有一條 線段為定值區別在于定值的線在中間，兩條和最小的線段被“開”因此，本題的策 略是利用平移構造平行四邊形，兩段“開”線段共端點，從而化為基本模型一模型三 兩條線段的差最大值問題例 5 是直線 l 同側兩個定點 l 上確定一點 PA 的 值最大解 ，交 l 于點 ，則 PA 值最大例 6 線 x 2 x+2 的頂點為 y 點 B P 是 x 上任意一點，|PB|最時，求點 P 的坐標解 AB x 于點 P當|最大時，點 P 是所求的作 于 BOOP，BOP=AHPBPO=APH， eq oac(,)BOP AHP AH OP由拋物線的表達式可知A(2，3)，B(

8、0：，P(4說明 本題考查了兩條線段差的最值問題，利用了三角形兩邊之差小于第三邊的性質，在 特殊位置取得了最大值了點 P 的位置后 的坐標可以利用本例解答中所用 的幾何法，即利用相似三角形求 OP 長，從而等到點 P 坐標；也可以利用代數法求直 線 式，與 的交點即為點 P2 22 2(2) “ 到直線的距離最短” 模型這個模型主要用來解決直線外一定點與直線上的一個動點連接所得線段的距離最短 問題，即垂線段最短例 7 ，在平面直角坐標系 中，線 經點 A(， 的半徑為 1(O 為坐標原) P 直線 上點 P 作 切線 點 切線長 PQ 的最小值分析 本題中 P 均動點，并不適合本模型的前提，即

9、兩點必須為一個定點和一個 動點如何轉化呢？考慮到 切線，故連接 可以利用勾定理，將求 PQ 最值問題轉化為求 的最值問題，從而化歸為本模型的規律解 連接 PQ 為 線，OQPQ在 eq oac(,Rt) OP PQ 的最小值即 取得最小值當 時 取得最小值，設垂足為 A(、B(0，4)，OP =AB= 2 即 小值為 說明 本題考查兩個動點形成的線的最小值問題這條線段利用等量關系轉化到 另一條線段段滿足定點到定直線的距離最短的模型打開了一個思路， 即求線段的最值問題可以利用轉的思想轉移到另一條線段，從而解決問題(3) “ 與圓上點的距離 ” 模型例 8 ，點 P 方形 對角線 個動點（不與 B

10、、D 重合 AP，過點 線 AP 的垂線，垂足為 H結 ，若正方形的邊長為 ，則線段 長度的最小值 分析 求的線段 的特點是：點 ，點 點但關鍵問題是，點 在怎樣的軌跡上運動？如果在直上運動，那么本題可歸結為模型二，但是通過分析發現， 說明了點 H 以 為直徑的圓周上運動，則本題可歸為圓外一點與圓上一 點距離的最值問題法是連接圓外一點和圓心最小值點 解 AB E，連接 由題意得 5 最小值為 252說明 本題的難點是隱形圓的挖掘若定線段所對的角為直角，則直角頂點在以該線段為直 徑的圓上外，當一個動點到定點的距離等于定長時形圓一條線段所對 的角是定值時，這個角的頂點在線段為弦的圓上，也能構造隱形

11、圓 函數模型(1) 函數模型此類最值問題的特點是自變量所要求的量與該自變量之間的一次函 數關系，然后利用一次函數的增性，通過自變量的取值范圍得到所要求的量的最值例 9 函數 -1x 最大值 =_，y 最小值 =_ 分析 一次函數模型求最值問題就首先考慮一次項數的符號，再根據增減性分別 在自變量的兩個端點處取得最大最小值解 可得：當 x= 取得最小值，當 x=3 時 最大值即：y；y(2) 函數模型此類最值問題的方法與一次函數型類似要求的量與自變量之間的二次函 數關系變量的取得范圍確定最值的情況般在頂點處取得最 值例 10 已知半徑為 與直線 l 相切于點 ，點 是直徑 半圓上的 動點，過點 P

12、 l 于點 ，PC 與 于點 設 PC 的長為x(2x4)當 x 為何值時PDCD 的值最大？最大值是多少？分析 本題的重點是用 x 的數式表示 PD 和 CD 的，從而可得 PDCD 與 x 之間的函數 關系式考慮到 PD 為弦，可以作弦心距后利用垂徑定理解決解 OHPD 于 HPHDH2 22 2 22 2 2 2 22 l ， 邊形 CH=OA=2PC=xPH=x-2PD=2x-4CD=PC-PD=4 -xPDCD=2x22x4 x=3 PDCD 最大值，最大值為 說明 用二次函數模型求最值問題時，得到二次函數后需判斷最值是否恰在頂點處取 得例中 x=3 滿足條件 最值在頂點處取得問題的難點是建立二次函數 模型例 11 邊長為 的正方形 為直徑在正方形內作半圓， P 是半圓上的動點（不與點 A 合 PA以 邊所在直線為 x 軸 所在直線為 y 軸立如圖所示的直角坐標 A 即為原點 eq oac(,、) 分別記為 、S 點 P 的坐標a，b)試求 2S S 1 2 3 1 3 2的最大值，并求出此時 ，b 的值2分析 本題的關鍵是用恰當的變量示 S 1 3 22，從而建立 S 1 3 22與這個變量的函數關系，利用函數模型求得最解 P 的坐標，b)S =2a，S ，S 1 2 3 S 1 3 2點 P 以 OB 直徑的圓