1、精心整理音樂中的各音階與頻率的關系-十二平均律zz2009-09-1814:46“律”，即“音律 （intonation ）,指為了使音樂規范化，人們有意選擇的一組 高低不同的音符所組成的體系，以及這些音符之間的相互關系。比如大家都知道的 do、re、mi、fa、so、la、si ,這7個音符就組成了一組音律。研究音律的學問叫 做“律學”。也就是研究為什么要選擇 do、re、mi這7個音（當然也可以選擇 其它音）作為規范、這些被當成“標尺”的音是怎么產生的、以及它們之間到底是 什么關系的學問。對于任何民族來說，只要他們有著豐富的音樂體驗，只要他們想積累起關于音樂的 知識，遲早都會遇到關于律學的

2、問題。令人驚訝的是，古今不同民族，雖然各自鐘 愛的音樂形式可謂萬紫千紅、百花爭艷，彼此也沒有互相借鑒，但大家的律學的基 礎概念卻出奇地相似。這也許是音樂本身超文化、超地域的魅力所致吧。（BTW現代人學習的do、re、mi、fa、so、la、si ,這些好像沒有意義的單詞，其 實都是中世紀時西方教會中很流行的一些拉丁文圣詠（ chant）的首音節。這些圣詠 是西方現代音樂的源頭。）學過高中物理的都知道，聲音的本質是空氣的振動。而空氣的振動是以波的形式傳 播的，也就是所謂的聲波。所有的波（包括聲波、電磁波等等）都有三個最本質的 特性：頻率/波長、振幅、相位。對于聲音來說，聲波的頻率（聲學中一般不考

3、慮精心整理精心整理波長）決定了這個聲音有多“高”，聲波的振幅決定了這個聲音有多“響”，而人 耳對于聲波的相位不敏感，所以研究音樂時一般不考慮聲波的相位問題。律學當然不考慮聲音有多“響”，所以律學研究的重點就是聲波的頻率。一般來說，人耳能聽到的聲波頻率范圍是 20HZ （每秒振動20次）到20000Hz （每秒振動20000 次）之間。聲波的頻率越大（每秒振動的次數越多），聽起來就越“高”。頻率低于20HZ的叫“次聲波”，高于20000Hz的叫“超聲波”。（BTW人耳能分辨的最小頻率差是 2H乙 舉例而言就是，人能聽出100Hz和102HZ 的聲音是不同的，但聽不出100H芬口 101Hz的聲音

4、有什么不同。另外，人耳在高音 區的分辨能力迅速下降，原因見后。）需要特別指出的是，人耳對于聲波的頻率是指數敏感的。打比方說，100Hz 200HZ300HZ 400Hz這些聲音，人聽起來并不覺得它們是“等距離”的，而是覺得越 到后面，各個音之間的“距離”越近。 100Hz 200HZ 400HZ 800Hz這些聲音， 人聽起來才覺得是“等距離”的（為什么會這樣我也不清楚）。換句話說，某一組聲音，如果它們的頻率是嚴格地按照X 1、X2、X4、X8，即按2n的規律排列 的話，它們聽起來才是一個“等差音高序列”。（比如這里有16個音，它們的頻率分別是110Hz的1倍、2倍、3倍16倍。大 家可以聽一

5、下，感覺它們是不是音越高就“距離”越近。用音樂術語來說，這些音都是110Hz的“諧波” （harmonics）,即這些聲波的頻率都是某一個頻率的整數倍。 這個ogg文件可以用“暴風影音” / StormCodec軟件來試聽。）精心整理精心整理由于人耳對于頻率的指數敏感，上面提到的“X2就意味著等距離”的關系是音樂中 最基本的關系。用音樂術語來說，X2 就是一個“八度音程 （octave ）。前面提到 的do、re、mi中的do,以及so、la、si后面的那個高音do,這兩個do之間就是 八度音程的關系。也就是說，高音do的頻率是do的兩倍。同樣的，re和高音re之 間也是八度音程的關系，高音r

6、e的頻率是re的兩倍。而高音do上面的那個更高音 的do,其頻率就是do的4倍。也可以說，它們之間隔了兩個“八度音程”。顯然， 一個音的所有“八度音程”都是它的“諧波”，但不是它的所有“諧波”都是自己 的“八度音程”。很自然，用do、re、mi寫的歌，如果換用高音do、高音re、高音mi來寫，聽眾只 會覺得音變高了，旋律本身不會有變化。這種等效性，其實就是“等差音高序列” 的直接結果。“八度音程”的重要性，世界各地的人們都發現了。比如我國浙江的河姆渡遺址， 曾經出土了一管距今9000年的笛子（是用鶴的腿骨做的），它能演奏 8個音符，其 中就包含了一個八度音程。當然這個八度音程不會是do到高音d

7、o,因為只要是一個 音的頻率是另一個的兩倍，它們就是八度音程的關系，和具體某一個音有多高沒有 關系。明白了八度音程的重要性，下面來介紹在一個八度音程之內，還有那些音是重要的。 這其實是律學的中心問題。也就是說，如果某一個音的頻率是F,那么我們要尋找F和2F之間還有那些重要的頻率。精心整理精心整理如果大家有學習弦樂器（比如吉它、古琴、小提琴）的經驗的話，都明白它們能發 聲是因為琴弦的振動。而琴弦的振動是和琴弦的長度有關系的。如果在一根弦振動 的時候，用手指按住弦的中點，即讓原來全部振動的弦，變成兩根以1/2長度振動的弦，我們會聽到一個比較高的音。這個音和原來的音之間就是八度音程的關系。因為在物理

8、上，弦的振動頻率和其長度是成反比的。由于弦樂器是世界各地發展得最早的樂器種類之一，所以這種現象古人早已熟悉。他們自然會想：如果八度音程的 2:1的關系在弦樂器上用這么簡單一按中點的方式 就能實現，那么試試按其它的位置會怎么樣呢？數學上2:1是最簡單的比例關系了，簡單性僅次于它的就是3:1。那么，我們如果按住弦的1/3點，會怎么樣呢？其結果 是弦發出了兩個高一些的音。一個音的頻率是原來的3倍（因為弦長變成了原來的1/3）,另一個音是原來的3/2倍（因為弦長變成了原來的2/3）。這兩個音彼此也 是八度音程的關系（因為它們彼此的弦長比是2:1 ）。這樣，在我們要尋找的F2F的范圍內，出現了第一個重要

9、的頻率，即 3/2F。（那個3F的頻率正好處于下一個八 度，即2F4F中的同樣位置。）接著再試，數學上簡單性僅次于3:1的是4:1 ,我們試試按弦的1/4點會怎樣？又出 現了兩個音。一個音的頻率是原來的 4倍（因為弦長變成了原來的1/4）,這和原來 的音（術語叫“主音”）是兩個八度音程的關系，可以不去管它。另一個音的頻率是主音的4/3倍（因為弦長是原來的3/4 ）。現在我們又得到了一個重要的頻率，4/3F。同一根弦，在不同的情況下振動，可以發出很多頻率的聲音。在聽覺上，與主音 F 最和諧的就是3/2F和4/3F （除了主音的各個八度之外）。這個現象也被很多民族分 別發現了。比如最早從數學上研究

10、弦的振動問題的古希臘哲學家畢達哥拉斯 精心整理 精心整理（Pythagoras ,約公元前6世紀）。我國先秦時期的管子地員篇、呂氏春 秋音律篇也記載了所謂“三分損益律”。具體說來是取一段弦，“三分損一”， 即均分弦為三段，舍一留二，便得到 3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段后再 加一段，便得到4/3F。得到這兩個頻率之后，是否繼續找 1/5點、1/6點等等繼續試下去呢？不行，因為聽 覺上這些音與主音的和諧程度遠不及 3/2F、4/3F。實際上4/3F已經比3/2F的和諧 程度要低不少了。古人于是換了一種方法。與主音F最和諧的3/2F已經找到了，他們轉而找3/2F的3/2F,即與最和諧的那

11、個音最和諧的音，這樣就得到了（3/2） 2F即9/4F。可是這已經超出了 2F的范圍，進入了下一個八度。沒關系，不是有“等差 音高序列”嗎？在下一個八度中的音，在這一個八度中當然有與它等價的一個音， 于是把9/4F的頻率減半，便得到了 9/8F。接著把這個過程循環一遍，找3/2的3次方，于是就有了 27/8F,這也在下一個八度 中，再次頻率減半，得到了 27/16F。就這樣一直循環找下去嗎？不行，因為這樣循環下去會沒完沒了的。我們最理想的 情況是某一次循環之后，會得到主音的某一個八度，這樣就算是“回到” 了主音上， 不用繼續找下去了。可是（3/2） n,只要n是自然數，其結果都不會是整數，更不

12、 用說是2的某次方。律學所有的麻煩就此開始。數學上不可能的事，只能從數學上想辦法。古人的對策就是“取近似值”。他們注 意到（3/2） 5=7.59,和23=8很接近，于是決定這個音就是他們要找的最后一個精心整理精心整理音，比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣，從主音F開始，我們只需把“按3/2比例尋找最和諧音”這個過程循環 5次,得到了 5個音，加上主音和4/3F, 一共是7個音。這就是為什么音律上要取 do、re、mi等等7個音符而不是6個音符 或者8個音符的原因。這 7 個音符的頻率，從小到大分另U是 F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

13、如果這里的F是do,那么9/8F就是re、81/64F就是mi，這7個頻率組成了 7 聲音階。這7個音都有各自正式的名字，在西方音樂術語中，它們分別被叫做主音(tonic )、上主音(supertonic )、中音(mediant)、下屬音(subdominant)、 屬音 (dominant)、下中音(submediant)、導音(leadingtone )。其中和主音關 系最密切的是第5個“屬音” so和第4個“下屬音” fa,原因前面已經說過了，因 為它們和主音的和諧程度分別是第一高和第二高的。由于這個音律主要是從“屬音 so即3/2F推導出來的，而3/2這個比例在西方音樂術語中叫“純五

14、度”，所以這種音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希臘的畢達哥拉斯(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagoreantuning ),東方是管 子一書的作者(不一定是管仲本人)。我國歷代的各種音律，大部分也都是從“三 分損益律”發展出來的，也可以認為它們都是“五度相生律”。仔細看上面“五度相生律” 7聲音階的頻率，可以發現它們彼此的關系很簡單：do re、remi、fa so、sola、la si之間的頻率比都是9:8,這個比例被稱為全 音(tone) ; mifa、si do之間的頻率比都是256:243,這個比例被稱為半音(semitone)。精心整理精心整

15、理“五度相生律”產生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太 復雜了。前面說過，如果按住弦的1/5點或者1/6點，得到的音已經和主音不怎么 和諧了，現在居然出現了 81/64和243/128這樣的比例，這不會太好聽吧？于是有 人開始對這7個音的頻率做點調整，于是就出現了 “純律” （justintonation ）。“純律”的重點是讓各個音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個音和主音的頻率 比盡量簡單。“純律”的發明人是古希臘學者塔壬同（今意大利南部的塔蘭托城） 的亞理斯托森努斯（AristoxenusofTarentum ）。（東方似乎沒有人獨立提出“純律” 的概念。）此人是亞理

16、士多德的學生，約生活在公元前3世紀。他的學說的重點就是要靠耳朵，而不是靠數學來主導音樂。他的書籍現在留下來的只有殘篇，不過可 以證實的是他最先提出了所謂“自然音階”。自然音階也有7個音，但和“五度相生律”的7聲音階有不小差別。7個自然音階的 頻率分別是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。確實簡單多了吧？也確 實好聽多了。這么簡單的比例，就是“純律”。可以看出“純律”不光用到了 3/2的比例，還用到了 5/4的比例。新的7個頻率中 和原來不同的就是 5/4F、5/3 （ = 5/4X4/3） F、15/8 （=5/4X3/2） F。雖然“純律”的7聲音階比“五度相

17、生律”的7聲音階要好聽，數學上也簡單，但 它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了，但各音之間的關系變 復雜了。原來“五度相生律” 7聲音階之間只有“全音”和“半音” 2種比例關系，現在則出現了 3種：9:8 （被叫做“大全音”，majortone ,就是原來的“全音”）、 10:9 （被叫做“小全音”，minortone ）、16:15 （新的“半音”）。各位把自然音 階的頻率互相除一下就能得到這個結果。更進一步說，如果比較自然音階中的re和精心整理精心整理fa ,其頻率比是27/32 ,這也不怎么簡單，也不怎么好聽呢！所以說“純律”對“五 度相生律”的修正是不徹底的。事實上，“

18、純律”遠沒有“五度相生律”流行。對于“五度相生律”的另一種修正是從另一個方向展開的。還記得為什么要取7個音符嗎？是因為（3/2） 5-7.59,和23=8很接近。可這畢竟是近似值，而不是完 全相等。在一個八度之內，這么小的差距也許沒什么，但是如果樂器的音域跨越了 好幾個八度，那么這種近似就顯得不怎么好了。于是人們開始尋找更好的近似值。通過計算，古人發現（3/2） 12129.7,和27= 128很接近，于是他們把“五度相 生律”中“按3/2比例尋找最和諧音”的循環過程重復 12次，便認為已經到達了主 音的第7個八度。再加上原來的主音和4/3F,現在就有了 12個音符。注意，現在的“規范”音階不

19、是 do、re、mi等7個音符了，而是12個音符。這 種經過修改的“五度相生律”推出的12聲音階，其頻率分別是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。和前面的“五度相生律”的7聲音階對比一下，可以發現原來的 7個音都還在，只 是多了 5個，分別插在它們之間。用正式的音樂術語稱呼原來的7個音符，分別是C D E F G A B。新多出來的5個音符于是被叫做C# （讀做“升C ）、D# F# G# A#。12音階現在不能用do、re、mi的叫法

20、了，應該被叫做：C C# D D# E F、F#、G G# A A# B。把相鄰兩個音符的頻率互相除一下，就會發現它們之間精心整理精心整理的比例只有兩種：256:243 （就是原來的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048 （這被叫做“變化半音”）。也就是說，這12個音符幾乎可以說又構成了一個“等差音高序列”。它們之間的“距離”幾乎是相等的。（當然，如果相鄰兩個音符之間的比例只有一種的話，就是嚴格的“距離”相等了。）原來的 7聲音階中，CD DE、FG G-A、AB之間 都相隔一個“全音”，現在則認為它們之間相隔了兩個“半音”。這也就是“全”、“半”這種叫法的根據。既然C僦認為是從C

21、 “升” 了半音得到的，那么 C他可以被認為是從D “降” 了半 音得到的，所以C梆口 Db （讀做“降D）就被認為是等價的。事實上，5個新加入 的音符也可以被寫做：Db Eb Gb Ah Bbo這種12聲音階在音樂界的地位，我只用舉一個例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對應的就是原來7聲音階中的C DB,所有的黑鍵對應的就是12聲音階中新加 入的C# EbBbo從7聲音階發展到12聲音階的做法，在西方和東方都出現得很早。管子中實際 上已經提出了 12聲音階，后來的中國音律也大多是以“五度相生律”的12聲音階為主。畢達哥拉斯學派也有提出這 12聲音階的。不過西方要到中世紀晚期才重新發 現它們。精

22、心整理精心整理能不能把“五度相生律”的12聲音階再往前發展一下呢？可以的。12聲音階的依據 就是（3/2）八12=129.7,和2八7=128很接近，按照這個思路，繼續找接近的值就 可以了嘛。還有人真地找到了，此人就是我國西漢的著名學者京房（77Bd47BQ。他發現（3/2） 八53-2.151 X 109,和2八31 = 2.147 X109也很接近，于是提出了一個 53音階的新音 律。要知道古人并沒有我們現在的計算器，計算這樣的高次哥問題對他們來說是相 當麻煩的。當然，京房的新律并沒有流行開，原因就是 53個音階也太麻煩了吧！開始學音樂的 時候要記住這么多音符，誰還會有興趣哦！但是這種努力

23、是值得肯定的，也說明 12 聲音階也不完美，也確實需要改進。“五度相生律”的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的頻率比例有兩種（自然半 音和變化半音），而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2187:2048） /（256:243） =1.014。好像差不多哦？但其實自然半音本身就是 256:243 = 1.053 了。如果12聲音階是真正的“等差音高序列”的話，每個半音就應該是相等的，各個音 階就應該是“等距離”的。也就是說，真正的12聲音階可以把一個八度“等分”成12份。為什么這么強調“等分”、“等距離”呢？因為在音樂的發展過程中，人們 越來越覺得有“轉調”的必要了。所謂轉調，其實就是

24、用不同的音高來唱同一個旋律。比方說，如果某一個人的音域是C高音C （也就是以前的do高音do）,樂器為了給他伴奏，得在C高音C之 精心整理精心整理內彈奏旋律；如果另一個人的音域是 CH高音D （也就是以前的re高音re ）,樂 器得在D-高音D之內彈奏旋律。可是“五度相生律”的 12聲音階根本不是“等差 音高序列”，人們會覺得 C高音C之內的旋律和 A高音D之內的旋律不一樣。特 別是如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會很明顯。可以說，如果現在的 鋼琴是按“五度相生律”來決定各鍵的音高，那么只要旋律中涉及到許多黑鍵，彈 出來的效果就會一塌糊涂。這種問題在弦樂器上比較好解決，因為弦樂器的音高

25、是靠手指的按壓來決定的。演 奏者可以根據不同的音域、旋律的要求，有意地不在規定的指位上按弦，而是偏移 一點按弦，就能解決問題。可是鍵盤樂器（比如鋼琴、管風琴、羽管鍵琴等）的音 高是固定的，無法臨時調整。所以在西方中世紀的音樂理論里，就規定了有些調、 有些音是不能用的，有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風琴，為了應付可能出 現的各種情況，就預先準備下許多額外的發音管。以至于有的管風琴的發音管有幾 百甚至上萬根之多。這種音律規則上的缺陷，導致一方面作曲家覺得受到了限制， 一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。問題的根源還是出在近似值上。“五度相生律”所依據的（3/2）八12畢竟和2人7并不完全相等。之

26、所以會出現兩種半音，就是這個近似值造成的。對“五度相生律” 12聲音階的進一步修改，東、西方也大致遵循了相似的路線。比 如東晉的何承天（370AD-447AD ,他的做法是把（3/2）八12和2八7之間的差距分 成12份，累加地分散到12個音階上，造成一個等差數列。可惜這只是一種修補工 作，并沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把（3/2）八12和2八7之間的差距分 散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的3/2的比例關系（這個“純五度” 精心整理 精心整理是一個音階中最重要的和諧，即使是在 12聲音階中也是如此)，這種分散注定不是 平均的，最好的結果也是12音中至少有一個“不在調上”。如

27、果把差距全部分散到 12個音階上的話，就必須破壞 C和G之間的“純五度”，以及 C和F之間的4/3比 例(術語是“純四度”)。這樣一來，雖然方便了轉調，但代價就是音階再也沒有 以前好聽了。因為一個八度之內最和諧的兩個關系一一純五度和純四度一一都被破 壞了。一直到文藝復興之前，西方音樂界通行的律法叫“平均音調律” (Meantonetemperament),就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下，把 (3/2 )八12和2八7之間的差距盡量分配到12個音上去。這種折衷只是一種無可奈何的妥協，大家其實都在等待新的音律出現。終于還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個八度內均分12份嗎？直接

28、就把2:1這個比例關系開12次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應該是2八1/12。如果12音階中第一個音的頻率是 F,那么第二個音的頻率就是2八1/12F,第三個音 就是2八2/12F,第四個音是2八3/12F,，第十二個是2八11/12F,第十三個就是 2八12/12F,就是2F,正女?是F的八度。這是“轉調”問題的完全解決。有了這個新的音律，從任何一個音彈出的旋律可以 復制到任何一個其它的音高上，而對旋律不產生影響。西方巴洛克音樂中，復調音 樂對于多重聲部的偏愛，有了這個新音律之后，可以說不再有任何障礙了。后來的 古典主義音樂，也間接地受益匪淺。可以說沒有這個新的音律的話，后來古典主義

29、 者、浪漫主義者對于各種音樂調性的探索都是不可能的。精心整理精心整理這種新的音律就叫“十二平均律”。首先發明它的是一位中國人，叫朱載培( yu) 他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算開方的辦法(珠 算開12次方，難度可想而知)，首次計算出了十二平均律的正確半音比例，其成就 見于所著的律學新書一書。很可惜，他的發明，和中國古代其它一些偉大的發 明一樣，被淹沒在歷史的塵埃之中了，很少被后人所知。西方人提出“十二平均律”，大約比朱載培晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當時西方音樂界對于解決轉調問題的迫切要求。當然，反對“十 二平均律”的聲音也不少。主要

30、的反對依據就是“十二平均律”破壞了純五度和純 四度。不過這種破壞程度并不十分明顯。“十二平均律”的12聲音階的頻率(近似值)分別是：F (C)、1.059F (C廿Db)、 1.122F (D)、1.189F (D”Eb)、1.260F (E)、1.335F (F)、1.414F (F#/Gb)、 1.498F (G)、1.587F (G#kAb)、1.682F (A)、1.782F (A#/Bb)、1.888F (B)。注意，現在所有的半音都一樣了，都是 2八1/12 ,即1.059。以前的自然半音和變化 半音的區別沒有了。另外，原來“五度相生律”的12音階中，C和G的比例是3/2 (即純五

31、度)，現在 “十二平均律”的12音階中，C和G的比例是1.498,和純五度所要求的3/2 (1.5)非常接近。原來“五度相生律”的12音階中，C和F的比例是4/3 (即純四度)， 現在“十二平均律”的12音階中，C和F的比例是1.335,和純四度所要求的4/3(1.333)也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了 “五度相生律”最重要的 特性。又加上它完美地解決了轉調問題，所以后來“十二平均律”基本上取代了 “五 度相生律”的統治地位。現在的鋼琴就是按“十二平均律”來確定各鍵音高的。現 精心整理精心整理在學生們學習的do、re、mi也是按“十二平均律”修改過的 7聲音階。現在如果想 聽“五度

32、相生律”或者“純律”的 do、re、mi,已經很不容易了。BTW現在鋼琴的音高標準是按“中央 G (即通常的do)右邊的第五個白鍵(按術 語說是A4)的頻率來定的。這個A鍵的頻率被確定為440Hz確定了它，鋼琴上其 它鍵的頻率都可以按“十二平均律”類推得到。不過在某些國家(比如東歐)，也 有把這個鍵的頻率定為444Hz的。歷史上，這個A鍵的標準曾經有過很多次變化。比如在1759年，英國劍橋的“三一學院” (TrinityCollegeCambridge )的管風琴 的這個A鍵，就曾經被定在309Hz可以想像在這里聽到的旋律和我們現在聽到的旋 律該有怎樣大的差別。研究古代音樂家的作品的時候，對于當時音高標準的研究也 是很重要的一部分。關于“十二平均律”，最后要提的是所謂“大調”、“小調”的問題。自從“五度 相生律”提出12音階以來，12音階和原來的7音階之間的關系一直就被人們所研究。也就是說，在原來的7音階之外，現在人們可以在12音階中選取其它的7個音來作 為音樂的“標尺”