1、2.2函數的基本性質高考理數考點一函數的單調性及最值考點清單考向基礎1.函數的單調性 增函數減函數定義一般地,設函數f(x)的定義域為I.區間DI,如果對于任意x1,x2D,且x1x2都有f(x1)f(x2)函數f(x)在區間D上是增函數函數f(x)在區間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的注意(1)單調函數的定義有以下兩種等價形式:x1,x2a,b,且x1x2,(i)0f(x)在a,b上是增函數;0f(x)在a,b上是增函數;(x1-x2)f(x1)-f(x2)f(b)f(c)B. f(b)f(c)f(a)C. f(c)f(a)f(b)D. f(c)f(b)f(a

2、)解析因為a=33.130=1,0b=1,c=lnln 1=0,所以cbf(b)f(a),故選D.答案D考點二函數的奇偶性考向基礎函數奇偶性的定義及性質前提(必要條件)奇偶性滿足的充要條件圖象特征特性單調性函數f(x)的定義域關于原點對稱奇函數對定義域中任意的x,都有f(-x)=-f(x)關于原點對稱(1)如果定義域中包含0,那么f(0)=0.(2)若函數在關于原點對稱的區域上有最值,則f(x)max+f(x)min=0在關于原點對稱的區間上單調性相同偶函數對定義域中任意的x,都有f(-x)=f(x)關于y軸對稱f(x)=f(|x|)在關于原點對稱的區間上單調性相反注意既是奇函數又是偶函數的函

3、數只有一種類型,即f(x)=0,xD.其中定義域D是關于原點對稱的非空數集.考向突破考向一奇偶性的判斷例1(2018河南鄭州第二次質量預測,9)已知y=f(x)滿足f(x+1)+f(-x+1)=2,則以下四個選項一定正確的是()A. f(x-1)+1是偶函數B. f(-x+1)+1是奇函數C. f(x+1)+1是偶函數D. f(x+1)-1是奇函數解析根據題中條件可知函數f(x)的圖象關于點(1,1)中心對稱,故f(x+1)的圖象關于點(0,1)中心對稱,則f(x+1)-1的圖象關于點(0,0)中心對稱,所以f(x+1)-1是奇函數.故選D.答案D考向二函數的奇偶性及其應用例2(2018安徽合

4、肥第二次教學質量檢測,6)已知函數f(x)=是奇函數,則f(a)的值等于()A.-B.3C.-或3D.或3解析因為f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x),即=-,整理可得=,即(a2-1)2x=0,則a2=1,a=1.當a=1時,函數的解析式為f(x)=,f(a)=f(1)=-;當a=-1時,函數的解析式為f(x)=,f(a)=f(-1)=3.綜上可得, f(a)的值等于-或3.答案C考點三函數的周期性考向基礎1.周期函數的概念對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數f(x)叫做周期函數,非零常數T叫f(x)的周期.如果

5、所有的周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫f(x)的最小正周期.注意并不是所有的周期函數都有最小正周期,如f(x)=5.2.關于函數周期性的幾個常用結論(1)若f(x+a)=f(x+b)(ab),則f(x)的周期是T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是T=2|a|.(3)若f(x+a)=或f(x+a)= -,其中f(x)0,則f(x)的周期是T=2|a|.(4)設f(x)是R上的偶函數,且圖象關于直線x=a(a0)對稱,則f(x)是周期函數,2|a|是它的一個周期.(5)設f(x)是R上的奇函數,且圖象關于直線x=a(a0)對稱,則f(x)是周期函數,4

6、|a|是它的一個周期.考向突破考向函數的周期性及其應用例(2019江西臨川第一中學期末,4)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,對任意的實數x, f(x-2)=f(x+2),當x(0,2)時, f(x)=-x2,則f=()A.-B.-C.D. 解析因為f(x-2)=f(x+2),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)是周期為4的函數,所以f=f=f,又函數f(x)是定義在R上的奇函數,所以f =-f=- = , 所以f=.故選D.答案D方法1函數單調性的判定及應用問題的解題方法1.函數單調性的判斷方法(1)利用已知函數的單調性.(2)定義法:先求定義域,再利用單調性的定義判斷.(3)圖象法

7、:如果f(x)是以圖象形式給出的,或f(x)的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫出它的單調區間.(4)導數法:利用導數取值的正負確定函數的單調區間.(5)復合函數y=f(g(x)的單調性根據“同增異減”判斷.方法技巧(6)利用函數的性質:在公共定義域內,若y=f(x),y=g(x)都為增(減)函數,則y=f(x)+g(x)為增(減)函數;在公共定義域內,若y=f(x)為增函數,y=g(x)為減函數,則y=f(x)-g(x)為增函數,y=g(x)-f(x)為減函數.2.函數單調性應用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小:比較函數值的大小,應將自變量轉化到同一個單調區間內,然后利用函數的單調性解決.

8、(2)解不等式:在求解與抽象函數有關的不等式時,往往是利用函數的單調性將“f ”符號脫掉,使其轉化為具體的不等式求解.此時應特別注意函數的定義域.(3)利用單調性求參數:視參數為已知數,依據函數的圖象或單調性定義,確定函數的單調區間,與已知單調區間比較求參數.例1(1)(2019河北唐山摸底考試,7)設函數f(x)=x(ex+e-x),則f(x)()A.是奇函數,且在(0,+)上是增函數B.是偶函數,且在(0,+)上是增函數C.是奇函數,且在(0,+)上是減函數D.是偶函數,且在(0,+)上是減函數(2)(2019河南鄭州第一次(1月)質量預測,8)設函數f(x)=2ln(x+)+3x3(-2

9、x0成立的x的取值范圍是()A.(-1,1)B.C.D. 解析(1)易知f(x)的定義域為R,則f(-x)=-x(e-x+ex)=-x(e-x+ex)=-f(x),f(x)是奇函數.易證y=x在(0,+)上是增函數,y0,y=ex+e-x在(0,+)上是增函數,y0,f(x)在(0,+)上是增函數,故選A.(2)由題意知f(x)的定義域關于原點對稱.f(-x)=2ln(-x+)-3x3=-f(x),所以f(x)為奇函數,當x(0,2)時,易知函數f(x)=2ln(x+)+3x3是增函數,函數f(x)在(-2,2)上是增函數.不等式f(2x)+f(4x-3)0可轉化為f(2x)f(3-4x),由函數f(x)在(-2,2)上是增函數得到解得x0,b0;a+b(或ab)為定值;取等號的條件為a=b.三個條件缺一不可.6.函數的單調性法確定函數在定義域(或定義域的子集)上的單調性,從而求出函數的值域,例如 f(x)=ax+(a0,b0),當利用基本不等式法等號不能成立時,可考慮用函數的單調性求解.例3求下列函數的值域:(1)y=;(2)y=2x-1-.解析(1)分離常數法:y=-1+,1+2x1,02,-1-1+1,即-11,函數y=的值域為(-1,1).(2)解法一:換元法.令