1、關于二次曲線的代數定義第1頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四二、二次曲線的幾何結構 4.1 二次曲線的射影定義 定理4.1 不同心的兩個射影線束的對應直線交點的全體構成一條經過此二線束束心的二階曲線.即：O(p) O(p)若A+BA+B：則的方程為第2頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四 4.1 二次曲線的射影定義 注：由本定理, 一旦二階曲線由兩個射影線束生成, 則其上點的地位平等,任意取定上相異二點為束心與上的點連線則得到兩個也生成此的射影線束. 定理4.2 設二階曲線由射影線束O(P)與O(P)生成. 則在上任意取定相異二點A,B, 與上的動點M

2、連線可得兩個射影線束二、二次曲線的幾何結構 161電影網整理發布第3頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四二、二次曲線的幾何結構 4.1 二次曲線的射影定義 定理4.2 設二階曲線由射影線束O(P)與O(P)生成. 則在上任意取定相異二點A,B, 與上的動點M連線可得兩個射影線束 證明. 設由O(P) O(P)生成.設只要證設分別以AM, BM截, 得注意到從而對應點的連線共點, 即AA, BB, KK共點于S.但是為定點, 故當M變動時, KK經過定點S. 即第4頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四二、二次曲線的幾何結構 4.1 二次曲線的射影定義 定理

3、4.2 設二階曲線由射影線束O(P)與O(P)生成. 則在上任意取定相異二點A,B, 與上的動點M連線可得兩個射影線束 推論4.1 平面上五點(其中無三點共線)唯一確定一條非退化二階曲線. 推論4.1 平面上五直線(其中無三線共點)唯一確定一條非退化二級曲線. 推論4.2 任一二階曲線可由兩個射影線束生成. 推論4.2 任一二級曲線可由兩個射影點列生成. 推論4.3 二階曲線上四個定點與其上任意一點連線所得四直線的交比為定值. 推論4.3 二級曲線上四條定直線被其上任意一條直線所截得四點的交比為定值. 注：推論4.3對于解析幾何中的各種二次曲線都適用.第5頁，共13頁，2022年，5月20日，

4、18點2分，星期四 4.1 二次曲線的射影定義三、二次曲線的射影定義 由上述的兩個定理及其推論, 我們有 定義4.3 在射影平面上, 稱兩個射影線束對應直線交點的集合為一條二階曲線. 定義4.3 在射影平面上, 稱兩個射影點列對應點連線的集合為一條二級曲線. 思考：試研究本定義是如何包含退化二次曲線的.提示：考慮透視對應、射影變換的情況.注 請自學教材例4.2, 并與2.3(P.67)習題6, 7比較.第6頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四 4.1 二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線本部分總假定：所論二次曲線為非退化的.1. 定義 定義4.4 與二階曲線交于兩個重合的點

5、的直線稱為的切線.第7頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四 4.1 二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線2、切線的方程問題：已知二階曲線求過定點P(pi)的的切線方程. 設Q(qi)為平面上任一點. 則直線PQ上任一點可表為xi=pi+qi. PQ為的切線Q為的過P的切線上的點 PQ交于兩個重合的點將xi=pi+qi代入 ：S=0后只有一個解. 代入得即即第8頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四 4.1 二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線2、切線的方程為簡便計, 引入記號以上述記號代入，(2)式可寫為第9頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分

6、，星期四 4.1 二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線2、切線的方程從而, Q(qi)在過P(pi)的切線上(3)對有二重根=0(4)式即為Q(qi)是過P(pi)的切線上的點的充要條件. 習慣地, 將其中的流動坐標qi換為xi , 得到二階曲線過點P(pi)的切線方程為(5)式為一個二次方程, 故經過平面上一點P一般有兩條切線. 如果P在上, 則Spp=0, 從而, 二階曲線上一點P處的切線方程為第10頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四 4.1 二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線2、切線的方程注：教材P.104, (4.10)(4.12)關于Sp=0常用的等價寫法中在S中, 將xj(ji)視為常數, 對xi求導數, 稱為S對xi的偏導數.S對xi的偏導函數在點P(p1,p2,p3)處的取值, 即把P的坐標代入.第11頁，共13頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四今日作業P.110: 4(