1、實驗 10 傅里葉變換光學系統實驗時間：2014年 3月 20日 星期四一、實驗目的了解透鏡對入射波前的相位調制原理。加深對透鏡復振幅、傳遞函數、透過率等參量的物理意義的認識。觀察透鏡的傅氏變換力圖像，觀察4f系統的反傅氏變換的圖像，并進行比較。在4f系統的變換平面插入各種空間濾波器，觀察各種試件相應的頻譜處理圖像。二、實驗原理透鏡的 FT 性質及常用函數與圖形的關學頻譜分析 透鏡由于本身厚度的不同，使得入射光在通過透鏡時，各處走過的光程差不同，即 所受時間延遲不同，因而具有相位調制能力。假設任意點入射光線在透鏡中的傳播距離 等于改點沿光軸方向透鏡的厚度，并忽略光強損失，即通過透鏡的光波振幅分

2、布不變，僅產生位相的變化，且其大小正比于透鏡在該點的厚度。設原復振幅分布為U (x,y)的L光通過透鏡后，其復振幅分布受到透鏡的位相調制后變為Ul(x, y):LU (x, y) = U (x, y)exp j (x, y)LL(1)若對于任意一點(x, y)透鏡的厚度為D(x,y)，透鏡的中心厚度為。光線由該點通過透鏡時在透鏡中的距離為D(x, y)，空氣空的距離為D -D(x, y)，透鏡折射率為n,則該點的位相延遲因子t(x, y)為：(2)t (x, y) = exp( jkD0)exp jk (n - 1)D( x, y)(2)由此可見只要知道透鏡的厚度函數D(x, y)就可得出其相

3、位調制。在球面鏡傍軸區域，用拋物面近似球面，并引入焦距f,有:(3)(4)(5) TOC o 1-5 h z 111(3)(4)(5) HYPERLINK l bookmark6 o Current Document D(x，y) D (x2 + y2)() 0 2RR12111 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 二(n -1)(-一) fRR12kt( x, y) =exp( jknD0)exp - j 方(x 2 + y2)第一項位相因子exp(jknD )僅表示入射光波的常量位相延遲，不影響位相的空間 0分布，即波面形狀，所以在運算過程中可

4、以略去。當考慮透鏡孔徑后，有：kt (X, y) = exp- j 2f (x2 + y 2) p( x, y)2f其中的 p（x, y） 為透鏡的光瞳函數，表達式為：/孔徑內(7)P（ X，y %其它(7)2 透鏡的傅立葉變換性質透鏡輸出尤場入對光場B衍帖屏后扯拆2 透鏡的傅立葉變換性質透鏡輸出尤場入對光場B衍帖屏后扯拆透掘輔1人疋場圖 1 透鏡的傅立葉變換性質如圖 1 所示，入射的光波通過透鏡前面的衍射屏后產生一個衍射光場，這個光場中包含很多不同的頻率成分。由于凸透鏡的會聚作用，衍射光場中擁有相同空間頻率的 光波成分將會聚集到透鏡的像方焦平面上（如圖2中的光線1 和2，光線3和4的空間 頻

5、率相同，它們經過透鏡后分別會聚到A、B兩點）。于是，在透鏡的像方焦平面上安放 一個觀察屏，屏上顯現的是衍射波場的空間頻率分布，這種變換就是從空間域到頻率域 的變換，即衍射光場的傅立葉變換。透鏡像方焦平面上的光波復振幅分布E（X , y ）表 ff達式如下（其中T（u, v）是t（x,y）的傅里葉變換）:eik (z+f )eik (z+f )汎fXik ev)(8)3 透鏡孔徑的衍射與濾波特性實際上透鏡總有一定大小的孔徑。這個孔徑在光學系統中扮演著兩種重要角色：衍射 與濾波。從波動光學角度來說，由于孔徑的衍射效應，任何具有有限大小通過光孔徑的光學成 像系統，均不存在如幾何光學中所說的理想像點。

6、所謂共軛像點，實際上是由系統孔徑 引起的，以物點的幾何像點為中心的夫瑯禾費衍射圖樣的中央亮斑艾里斑。此結論 對于有限遠處物點的成像情況同樣適用。其次，透鏡有限大小的通光孔徑，也限制了衍射屏函數的較高頻率成分（具有較大入 射傾角的平面波分量）的傳播。這可以從圖2 可以看出：圖 2 透鏡孔徑引起漸暈效應因此，所得衍射屏函數的頻譜將不完整。這種現象稱為衍射的漸暈效應。由此可見， 從光信息處理角度來講，透鏡孔徑的有限大小，使得系統存在著有限大小的通頻寬帶和 截止頻率；從光學成像的角度來講，則使得系統存在著一個分辨極限。4.相干光學圖象處理系統（4f系統）如圖 4 所示：圖 3 4f 系統光路圖當第一個

7、透鏡的像方焦平面和第二個透鏡的物方焦平面重合時，在第一個透鏡的物方 焦平面上放置衍射屏，在它的像方焦平面上（變換頻譜面T）的頻譜分布圖象再一次通 過第二個透鏡進行第二次傅立葉變換，于是在第二個透鏡的像方焦平面上放置的顯示屏 P出現了衍射屏的倒像。我們可以通過在變換頻譜面T上放置各種濾波器來改變原來圖 象，并將修改后的圖象在P上顯示出來。空間濾波實驗如果從輸入圖像中提取或排除某種信息，就要事先研究這類信息的頻譜特征，然后針 對它制備相應的空間濾波器置于變換平面。經第二次衍射合成后，即可達到預期的效果。 光學信息處理的原理概念大體就是如此。三、實驗用具與裝置圖用具：激光器、準直透鏡、傅立葉透鏡、傅

8、立葉變換試件、頻譜處理器、CCD。 實驗裝置圖如下面所示：圖 4 傅里葉變換光路圖圖 5 反傅里葉變換光路裝置簡圖四、實驗過程與結果分析1、開啟電腦，運行 csylaser 軟件。2、將除了樣品以外的各個光學元件粗略按照圖4 光路固定在實驗平臺上。3、打開激光器，用激光束作為參考，調整好光路，并調整好各個元件距離。此過程中用白紙在準直系統后來回移動，發現光斑并不能維持在一定大小，說明準直系統出射光并非平行光。我們重新調整了準直系統的兩個透鏡位置，利 用準直立尺確認了不同出射距離光線的高度一致、直徑相近，才繼續后續操作。4、在傅里葉透鏡焦面位置附近放置CCD,調整前后位置直到顯示屏上可看到的光斑

9、 最小，說明CCD正好位于透鏡焦面上。5、 在準直系統后面放置樣品,在顯示屏上得到傅里葉頻譜的圖像如圖6：圖 6 實驗所得傅里葉頻譜圖分析：由圖可見，樣品圖案的傅里葉頻譜為大致成一個“米”字，其中十字最為清晰，橫線為縱向圖案透射光場的衍射，縱線為橫向圖案投射光場的衍射。中心最大的光斑為光的直流與低頻分量，向兩邊擴散的是高頻分量，而部分 高頻漸漸隱去的原因是漸暈效應。若用mat lab模擬出樣品圖像的傅里葉變換，可得到理論頻譜圖，如圖7：圖像的頻譜圖圖 7 源圖像和理論頻譜圖對比圖 6，可見頻譜成像的質量并不是很好，尤其是斜線十分模糊，原因可能有：激光器出射激光不是完全水平或者準直系統透鏡間距沒

10、有調節準確，導致透過 樣品的光不是水平平行光，沒有形成標準的夫瑯和費衍射；光學元件沒有嚴格共軸，導致部分光場無法在觀察屏上形成清晰的衍射圖樣；調CCD位置時，肉眼分辨最小光斑有誤差，使得CCD沒有準確處在透鏡焦平面 位置；6、按圖5在圖4光路基礎上放置反傅里葉透鏡，并將CCD移至反傅里葉透鏡后，調 整二者位置，直至可在顯示屏上看到邊緣平整的倒置樣品圖案，即輸入圖像的反 傅里葉變換圖像。如圖 8：圖 8 實驗所得反傅里葉變換圖像可見連續兩次傅里葉變換后圖像形式基本復原，結果與理論相符。圖像略有黑斑，可能原因有：衍射頻譜圖的缺陷傳遞給了反傅里葉變換圖像，如漸暈效應和米字不完整使 得反變換后部分像損

11、失；反傅里葉透鏡與傅里葉透鏡沒有準確相距 2f 或入射傅里葉透鏡的光束不平 行，影響了成像效果。7、用白紙在兩個透鏡間來回移動，找到光斑最小的位置，即為4f系統的頻譜面。在 該處插入頻譜處理器，可得到一系列相應反傅里葉變換輸出圖如下表第二列。高 通濾波器為一組不透光的細線，低通濾波器為一組透光的細縫。第三四列為matlab 模擬的頻譜處理后的輸出圖與頻譜圖。a.實際輸出圖| b.模擬輸出圖c.模擬頻譜圖1.粗線高通濾波2.中線高通濾波1.粗線高通濾波2.中線高通濾波3.細線高通濾波4.寬 縫 低 通 濾 波5. 中 縫 低 通 濾 波4.寬 縫 低 通 濾 波5. 中 縫 低 通 濾 波6.窄

12、 縫 低 通 濾 波分析： 由表中圖可知，高通濾波器濾去縱向的低頻光，輸出橫向輪廓部分亮而中間和縱向 輪廓部分暗的圖像，線越寬濾去低頻成分越多，橫向輪廓越銳利；低通濾波器通過縱向 低頻光，輸出橫向邊緣模糊而內部明亮縱向邊緣清晰的圖像，縫越窄濾去高頻成分越多， 橫向輪廓越模糊。事實上由于兩種濾波器分別濾去了傅里葉頻譜的高頻部分和低頻部分， 因此大致可將兩組濾波器看做是三對互補衍射屏。對比實驗圖與理論圖，可以說結果總體比較理想，基本做出了不同程度高低通濾波的效 果。但仍有一些光場分布與理論存在差距，尤其以窄縫低通濾波的成像為例，本該通過而顯 示出明亮的縱向低頻部分也被濾去了許多。這些不足可以總結為

13、以下原因：a. 用白紙尋找共焦面較為粗略，頻譜處理器很難準確放置在兩個透鏡的共焦面上，所 以可能沒有很好地達到目的的濾波效果；b. 兩個透鏡間距不是 2f 或入射傅里葉透鏡的光束不平行的情況下沒有找到最佳元件 放置點；濾波器上的縫或線沒有很好地處在頻譜的中心，導致實際選頻偏離目的選頻。總結：通過本實驗，我們加深了對透鏡相位調制原理和透鏡性質及相關參量 的理解，在老師指導下和自主嘗試中感性認識了光場的傅里葉變換和反變換，以 及濾波器在信息處理中的作用，掌握了傅里葉變換光學系統中的光路調節方法和 準直系統的調節方法。【思考題】1、透鏡相位調試表達式的物理含義答：相位調制因子9 (x,y)的表達式可

14、以單從幾何光學簡單推出來：L9 (x, y) = kD -D(x, y) + knD(x, y) = kD + k(n - 1)D(x, y)(9)L 0 0其中k是某頻率光波的波矢量，n是透鏡折射率，D是透鏡中心厚度，D(x, y)是透鏡 上各個點的厚度。上式有很明顯的物理含義，由于透鏡的厚度是位置(x,y)的函數，使 得通過透鏡平面不同點的光經過的光程是不同的。我們計算光線通過以 D 為厚度的圓 0 柱體時通過的光程，這個光程分為兩個部分：一部分是在透鏡玻璃中的光程，即上式中 的nD(x, y)；另一部分則是光線在空氣中的光程，即上式中的D -D(x,y)(設空氣折 射率為1)。這兩個光程

15、之和乘以波矢k就是透鏡各個點造成光波的相位延遲。2、光信息處理的大概原理是什么？為何用白光做光源卻能得到彩色圖像？如何實驗物 像的反襯度反轉？答：阿貝在研究顯微鏡成像問題時，提出了一種不同于幾何光學的新觀點，他將物看成 是不同空間頻率信息的集合，相干成像過程分兩步完成，第一步是入射光場經物平面發 生夫瑯禾費衍射，在透鏡后焦面上形成一系列衍射斑；第二步是各衍射斑作為新的次波 源發出球面次波，在波面上互相疊加，形成物體的像將顯微鏡成像過看成上述兩步成 像過程，這稱為阿貝成像原理。它不僅用傅里葉變換闡述了顯微鏡成像的機理，更重要 的是首次引入頻譜的概念，啟發人們用改造頻譜的手段來改造信息。根據阿貝成

16、像原理，我們要對一個物體進行光信息處理，首先是要得到它的空間頻 譜圖。這一步可以利用透鏡的傅立葉變換性質，構造一個或者多個透鏡系統，然后在第 一個透鏡的物方焦平面上放置衍射屏(要處理的圖像)，在它的像方焦平面上會得到源 圖像頻譜分布圖。我們可以通過在變換頻譜面T上放置各種濾波器來改變原來圖像，并 再一次通過另一個同樣的傅立葉透鏡系統，在第二個透鏡的像方焦平面上就會出現經過 改造后的圖像了。同樣的，我們可以將要進行處理的光信息進行快速傅立葉變換得到信 息的頻率分布，通過對頻譜進行改造來改造信息，這就是信息光學處理的大概原理。因為白光是由各種頻率的光合成的，經過衍射屏產生衍射時，不同頻率的光分量在

17、 屏上同一個點產生的衍射是不同的。于是，經過透鏡的變換作用，最后屏上顯現的物體 的倒像上的各個點并不是具有所有的頻率分量，而是因為缺乏某些頻率分量而無法維持 原來的白色，從而就會出現彩色圖像了。用不插入頻譜處理器得到的圖像作為頻譜處理器，在 4f 系統中即可得到物象的反 襯度的反轉。3、為什么透鏡對通過的光波具有相位調制能力？ 答：波動方程、復振幅、光學傳遞函數透鏡由于本身厚度變化，使得入射光在通過透鏡 時，各處走過的光程不同，即所受時間延遲不同，因而具有相位調節能力。4、什么叫漸暈效應，怎樣消除漸暈？ 答：漸暈效應是指由于透鏡的孔徑大小有限，從而造成空間頻率高頻分量的丟失的現象。 理論上來說，只有透鏡的孔徑無限大才能完全消除漸暈效應。所以實際系統總是存在漸 暈效應的。從光信息處理角度來說，系統存在有限大小的通頻帶寬和截至頻率；從光學 成像上說，系統存在一個極限分辨率。5、什么叫光學4f系統？如何使用這一系統作光學信息處理？答：相干光學圖像處理系統即4f系統。相干光學系統的成像過程看作兩步在圖四中：第一步，從0面到T面，使第一次夫 瑯和斐衍射，它起分頻作用。第二步，從T面到I面，再次夫瑯和斐衍射，起合成作用， 即綜合頻譜輸出圖像。在這樣的兩步中，變換平面T處于關鍵地位，若在此處設置光學 濾波