1、精選優質文檔-傾情為你奉上精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業專心-專注-專業精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業概率論與數理統計知識在金融學中的應用胡景軒 商學院2014級金融與保險學系金融學專業摘要：概率論與數理統計是高等數學教育中研究隨機性等現象的一門重要基礎課程，其能夠通過運算技巧對風險控制和風險預算進行分析的特點使之在金融領域的分析中發揮著重要作用。本文力圖將當前所學基礎概率統計知識與金融界主流的理論或模型進行對應并舉例分析，包括但不限于置信區間與VaR風險控制模型、條件期望與ES （expected shortfall）風險度量模型、t分布與厚尾分布數據、期望方差與經典

2、投資組合理論等。篇幅和精力所限，本文將不對經濟學中常用的概率統計知識進行討論，而將討論氛圍限于應用金融學領域。關鍵詞：概率統計 金融學 風險控制與管理 期望 方差 置信區間 投資組合概率統計在金融中的應用實例：一、資產組合選擇的均值方差理論（mean-variance theory of portfolio selection）在確定的情況下，投資者決策可用確定性結果來描述，在風險條件下，任何行動的結果并不被確知，結果用頻率函數來表達。頻率函數列示出所有可能結果和每種結果發生的可能性。因此，在風險條件下，描述收益的兩個最常用的屬性是：期望收益和標準差，前者是描述中心趨向性的指標，后者是描述風險

3、圍繞著中心偏離的指標。這一理論的意義在于將投資組合轉化為了一個帶約束的最優解問題，使得人們明白自己要追求的是給定風險水平下極大化期望收益或者給定收益水平下極小化風險。以下舉出一個簡單投資組合的分析流程作為示例：某人有一筆資金,可投入三個項目:房產x、地產y 和商業z,其收益和市場狀態有關,若把未來市場劃分為好、中、差三個等級,其發生的概率分別為 p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1,根據市場調研的情況可知不同等級狀態下各種投資的年收益(萬元) ,見下表請問:該投資者如何投資好? 解：我們先考察數學期望,可知EX=4.0 EY=3.9 EZ=3.2根據數學期望可知,投資房產的平均收益最大,可

4、能選擇房產。但投資也要考慮風險,我們再來考慮它們的方差: DX=15.4 DY=3.29 DZ=12.96方差愈大,則收益的波動大,從而風險也大。若收益與風險綜合權衡,該投資者應選擇投資地產。雖然平均收益較房產少0.1萬元,但風險僅為房產的四分之一以下，可以獲得較為穩定的回報。二、Black-Scholes期權定價模型這一期權定價模型（Black-Scholes Option Pricing Model）為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎，某種意義上來說可視為當代金融衍生品市場的奠基石之一。模型公式：C=SN(d1)-X

5、exp(-rT)N(d2)其中:d1=ln(S/X)+(r+2/2)T/(T)d2=d1-TC期權初始合理價格X期權執行價格S所交易金融資產現價T期權有效期r連續復利計無風險利率股票連續復利（對數）回報率的年度波動率（標準差）N(d1)，N(d2）正態分布變量的累積概率分布函數需要特別注意的是，該模型的基本假設之一是股票價格隨機波動并符合對數正態分布。以下舉例闡釋該模型的具體應用方法：假設市場上某股票現價S為164，無風險連續復利利率是0.0521，市場方差2為0.0841，那么實施價格L是165，有效期T為0.0959的期權初始合理價格計算步驟如下:求D1:D1=ln164/165+(0.0

6、52+0.0841/2)0.0959/(0.08410.0959)=0.0327求D2:D2=0.0327-(0.08410.0959)=-0.057查標準正態分布函數表，得:N(0.03)=0.5120N(-0.06)=0.4761求C:C=1640.5120-165E-0.05210.09590.4761=5.803因此理論上該期權的合理價格是5.803。如果該期權市場實際價格是5.75，那么這意味著該期權有所低估。在沒有交易成本的條件下，購買該看漲期權有利可圖。三、經濟損失估計保險學作為金融學的分支之一，發展之初便建立在基于大規模數據分析的概率統計基礎之上。在保險學的財產損失評估領域，概

7、率統計知識特別是數學期望和參數估計得到了大量運用。以下舉例闡釋參數估計在財產損失評估方面的應用：已知某倉庫貨物在儲藏過程中,倉庫貨物因火災而損失的金額服從正態分布N（，2）由矩估計或極大似然估計均可得出：代入表中數據運算得：從而得到倉庫貨物損失的平均估計值為2625元,標準差的估計值為1049.55 元。保險精算師在設定保費額度和保險費率時即可參考以上數據，以期得到較為合理的保費數據。四、VaR風險控制模型VaR意為“處于風險狀態的價值”，即在一定置信水平和一定持有期內，某一金融工具或其組合在未來資產價格波動下所面臨的最大損失額。當代經濟學者將之定義為“給定置信區間的一個持有期內最壞的預期損失

8、”。VaR不僅指出了市場風險暴露的大小,同時也給出了損失的概率。其與ES模型并列為兩大風控模型，在金融資產定價和管理方面被廣泛運用。其定義式為：VaR=E（）-*式中E（）為資產組合的預期價值；為資產組合的期末價值；*為置信水平下投資組合的最低期末價值。 又設=0（1+R） 式中0為持有期初資產組合價值，R為設定持有期內（通常一年）資產組合的收益率。 *=0（1+R*） R*為資產組合在置信水平下的最低收益率。 根據數學期望值的基本性質，將、式代入式，有 VaR=E0（1+R）-0（1+R*） =E0+E0（R）-0-0R* =0+0E（R）-0-0R* =0E（R）-0R* =0E（R）-R

9、*VaR=0E（R）-R*上式公式中即為該資產組合的VaR值，根據公式，如果能求出置信水平下的R*，即可求出該資產組合的VaR值。在VaR的計算中，主要采用三種方法：歷史估計法、方差-協方差法以及蒙特卡羅模擬法。在此重點介紹與概率統計知識相關度最高的方差-協方差法：首先，利用歷史數據計算資產組合的收益的方差、標準差、協方差；其次，假定資產組合收益是正態分布，可求出在一定置信水平下，反映了分布偏離均值程度的臨界值；第三，建立與風險損失的聯系，推導VaR值。 設某一資產組合在單位時間內的均值為，數準差為，R*（、），又設為置信水平下的臨界值，根據正態分布的性質，在概率水平下，可能發生的偏離均值的最

10、大距離為-，即R*=-。 E（R）= 根據VaR=0E（R）-R*有 VaR=0-（-）=0 假設持有期為 t，則均值和數準差分別為t和 ，這時上式則變為： VaR=0 因此，我們只要能計算出某種組合的數準差，則可求出其VaR的值五、Expected Shortfall風險控制模型ES是指在損失超出VaR時的條件期望值。設隨機變量X代表給定組合的損益，VaR（X）代表組合在100（1-）%置信度下的VaR，則有：當損益分布非正態分布時，VaR的計算只能通過模擬的方式求解，此時均值-方差模型不再適用。此時應當將組合優化問題轉化為線性規劃問題，應用模擬法來估計ES加以求解。在這一情況下，ES模型可

11、視為對VaR模型的有效補充。在更復雜的情況下，兩者可以產生不同的互補或替代作用，因筆者能力所限在此無法詳細展開論述。六、厚尾分布厚尾分布多出現在金融數據如證券的收益率中。以圖形而論，其較正態分布圖的尾部要厚，峰處要尖。直觀上看，這些數據出現極端值的概率比正態分布數據出現極端值的概率大。因此，不能簡單的用正態分布去擬合這些數據的分布。通過實證分析發現，自由度為5或6的t分布擬合較好。厚尾分布圖形及理論在金融市場的技術圖形分析和基本面分析中應用較為廣泛。七、其他金融理論中概率統計知識的應用在金融學的其他領域，概率統計知識同樣得到了廣泛運用。例如：正態分布與資本資產定價模型、回歸分析與財產保險、對數正態分布與資產收益率之間均存在密切的聯系。除此之外，最新的現代金融理論引入了鞅理論、最優停時理論等方法，與概率統計的聯系愈發緊密。 結語金融與數學的結合已經成為業界共識，概率統計知識由于其對不確定性的研究契合了金融市場的特征而贏得了金融人士的青睞。作為金融學專業的學生，筆者認為概率論與數理統計課程是最重要的一門高等數學課程，應當得到自己充分的重視，是一門值得好好掌握并終身應用的科學。此外，由于筆者能力和所學知識所限，在本文中部分數學公式（主要是ES模型和VaR模型）及其推導過程直接由所引文獻及百科中復制而來，在此表示歉意。參考文獻：1.佚名；論概率論與金融學的結合