1、17 振動基本理論 117 振動基本理論 1 振動是日常生活和工程實際中常見的現象。 例如：鐘擺的往復擺動，汽車行駛時的顛簸，電動機、機床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。 振動（Vibration ）:系統在平衡位置附近作往復運動。振動的利弊：利：振動給料機； 弊：磨損，減少壽命，影響強度 振動篩； 引起噪聲，影響勞動條件 振動沉拔樁機等。 消耗能量，降低精度等。2 振動是日常生活和工程實際中常見的現象。 研究振動的目的： 消除或減小有害的振動，充分利用振動為人類服務。 單自由度系統的振動 按系統的自由度分 多自由度系統的振動 彈性體的振動振動的分類：3 研究振動的目的： 按振

2、動產生的原因分：自由振動強迫振動自激振動無阻尼的自由振動有阻尼的自由振動（衰減振動）無阻尼的強迫振動有阻尼的強迫振動4 按振動產生的原因分：自由振動強迫振動自激振動無阻尼的自由振17.1 單自由度系統的自由振動 實際中的振動往往很復雜，為了便于研究，需簡化為力學模型。質量彈簧系統振體517.1 單自由度系統的自由振動 實際中66 17.1.1 自由振動微分方程 如圖17-1所示振動系統，設物塊的質量為m，彈簧原長為 l0，剛度系數為 k。物塊在平衡位置時，彈簧的變形為 ，稱為靜變形。平衡時，重力G與彈性力相等，即 彈簧的靜變形為 （17-1）取物塊的靜平衡位置為坐標原點，x軸鉛垂向下，當物塊在

3、任意位置x處時，彈簧對物塊的作用力大小為7 17.1.1 自由振動微分方程 （17-2）根據牛頓第二定律，物塊的運動微分方程為 令 （17-3） 單自由度系統無阻尼自由振動（Free vibration）微分方程的標準形式。 8（17-2）根據牛頓第二定律，物塊的運動微分方程為 令 通解： （17-4）任意瞬時的速度為 當t = 0時，x = x0，v = v0，可求出積分常量 令 式（17-4）可寫成 （17-5）9通解： （17-4）任意瞬時的速度為當t = 0時，x （17-6） 無阻尼自由振動是簡諧振動，其運動圖線如圖17-2所示。 10 （17-6） 無阻尼自由振動是簡諧10 17.

4、1.2 自由振動的特點 （17-7）無阻尼自由振動的周期 無阻尼自由振動的頻率 （17-8） （1）周期與頻率。物體的無阻尼自由振動是周期運動，設周期為T11 17.1.2 自由振動的特點 （17-7（17-10）（17-9）表示物體在 2p 秒內振動的次數，稱為圓頻率（Circular frequency）。 只與系統本身的質量m及彈簧剛度k有關，而與運動的初始條件無關，是振動系統的固有特性，所以稱為固有圓頻率（固有頻率（Natural frequency）。其單位與頻率 f 相同，為赫茲（Hz）。12（17-10）（17-9）表示物體在 2p 秒內振動的次A表示物塊偏離振動中心的最大距離，

5、稱為振幅（Amplitude），它反映自由振動的范圍和強弱； 稱為振動的相位（Phase）（或相位角），單位是弧度（rad），相位決定了物塊在某瞬時t的位置，而q 稱為初相位，它決定了物塊運動的起始位置。 （2）振幅和初位相13A表示物塊偏離振動中心的最大距離，稱為振幅 例17-1 求如圖17-3所示單擺的微幅振動周期。已知擺球質量為m，擺繩長為l。 解： 單擺的靜平衡位置為鉛垂位置，用擺繩偏離垂線的夾角 j 作為角坐標。擺球受到重力 mg和繩拉力 F 的作用。取j 的增大方向為正向，依據動量矩定理，得 14 例17-1 求如圖17-3所示單擺的微幅微幅振動 固有圓頻率 周期為 15微幅振動

6、固有圓頻率 周期為15 例17-2 滑輪重量為 G，重物 M1，M2重量為 G1，G2。彈簧的剛度系數為k，如圖17-4所示。設滑輪為均質圓盤，略去彈簧與繩子的質量，求重物垂直振動的周期。 解： 以滑輪偏離其平衡位置的轉角j 為確定系統位置的坐標。設滑輪半徑為r。當系統在任意位置j 時，彈簧的變形量為依據動量矩定理，有16 例17-2 滑輪重量為 G，重物 M1，M系統對點O的轉動慣量系統在平衡位置時彈性力對點O之矩與重物重力對點O之矩相互抵消，即17系統對點O的轉動慣量17 （1）彈簧并聯。圖17-5表示剛性系數為k1，k2的彈簧組成的兩種并聯系統。 17.1.3 彈簧的并聯與串聯 在物塊重

7、力作用下，每個彈簧產生的靜變形相等，由物塊的平衡條件可得將并聯彈簧看成為一個彈簧，其剛度系數 ，稱為等效剛度系數（Equivalent stiffness）。 （17-11）18 （1）彈簧并聯。圖17-5表示剛性系數為k1并聯彈簧系統的等效剛度系數等于各彈簧剛度系數之和。 這一結果說明彈簧并聯后總的剛度系數增大了。該系統的固有圓頻率為 19并聯彈簧系統的等效剛度系數等于各彈簧剛度系數之19 （2）彈簧串聯。 圖17-6表示兩個彈簧串聯，兩個彈簧的剛度系數分別為k1，k2。在物塊重力作用下每個彈簧所受的拉力相同，因此每個彈簧的靜變形為將串聯彈簧看成為一個彈簧，其等效剛度系數為keq，則有彈簧總

8、的靜變形為20 （2）彈簧串聯。 圖17-6表示兩個彈簧串聯（17-12）表明串聯彈簧系統的等效剛度系數的倒數等于各彈簧剛度系數的倒數之和。 串聯彈簧系統的固有頻率為（17-13）21（17-12）表明串聯彈簧系統的等效剛度系數的倒數等于各彈 17.2 計算固有頻率的能量法 求系統固有頻率的方法： （1）運動微分方程法 （2）靜變形法 （3）能量法。能量法是從機械能守恒定律出發，對于計算較復雜的振動系統的固有頻率，用能量法來求更為簡便。2217.2 計算固有頻率的能量法 求系統固有 對于如圖17-1所示無阻尼振動系統，當系統作自由振動時，物塊的運動規律為速度：動能： 選靜平衡位置為零勢能位置，

9、系統的勢能：23 對于如圖17-1所示無阻尼振動系統，當系統物塊處于靜平衡位置時，勢能為零，動能最大，即物塊距振動中心最遠時，動能為零，勢能最大，即無阻尼自由振動系統是保守系統，機械能守恒 對于質量彈簧系統，固有頻率為：這種求振動系統固有頻率的方法稱為能量法。24物塊處于靜平衡位置時，勢能為零，動能最大，即物塊距振動中心最 例17-3 如圖17-7所示系統中，圓柱體半徑為 r，質量為 m，在水平面上滾而不滑；彈簧剛度系數為 k。試求系統的固有頻率。 解： 以彈簧處于原長時圓柱圓心為坐標原點，以圓柱圓心偏離原點的距離 x為系統的運動坐標。設系統作自由振動，坐標 x 的變化規律為動能：最大動能：2

10、5 例17-3 如圖17-7所示系統中，圓柱動勢能：最大勢能：機械能守恒，有26勢能：最大勢能：機械能守恒，有26 例17-4 用能量法計算例17-2題，如圖17-4所示。 解： 以滑輪偏離其平衡位置的轉角j為系統的坐標。設系統作自由振動，振動規律為 當系統在任意位置j 時，其動能為最大動能：27 例17-4 用能量法計算例17-2題，如圖 系統在任意位置j 時，其勢能為最大勢能：28 系統在任意位置j 時，其勢能為最大勢能：217.3 單自由度系統有阻尼自由振動 自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的，這是由于阻尼（Damping）的存在。 阻尼有多

11、種形式：如黏性阻尼、干摩擦阻尼、結構變形產生的內阻尼等。這里只討論黏性阻尼。 阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。2917.3 單自由度系統有阻尼自由振動 自 當振動速度不大時，阻力近似地與速度成正比，方向與速度相反。這樣的阻尼稱為黏性阻尼（Viscous damping）。設振動質點的速度為 v ，黏性阻尼的阻尼力可表示為（17-14）其中比例常數 C 稱為阻尼系數（Coefficient of damping），負號表示阻力與速度的方向相反。30 當振動速度不大時，阻力近似地與速度成正比，方（17-16） 17.3.1 振動微分方程 質量彈簧系統存在黏性阻尼。取靜平衡位置為原點，坐標軸 x

12、向下為正（見圖17-8）。物塊的運動微分方程為 有阻尼自由振動微分方程的標準形式。31（17-16） 17.3.1 振動微分（17-17） 17.3.2 微分方程的通解：（1）小阻尼情形（ ）阻尼系數有阻尼自由振動的圓頻率 分三種情況討論： 32（17-17） 17.3.2 微分方程的通解 由小阻尼情形下的自由振動表達式式（17-17）知 ，振幅隨時間不斷衰減，所以又稱為衰減振動（Damped Vibration）。運動圖線如圖17-9所示。 衰減振動的特點：振幅在曲線與 之間逐次遞減。這種振動已不是周期振動，但仍然是圍繞平衡位置的往復運動，仍然具有振動的特點。 33 由小阻尼情形下的自由振動

13、表達式式（17-1（17-19）瞬時振幅衰減振動的圓頻率x 稱為阻尼比（Damping ratio）。 （17-20）相同的質量及剛度系數條件下，衰減振動的周期比無阻尼自由振動的周期長。34（17-19）瞬時振幅衰減振動的圓頻率x 稱為阻尼比（Dam（17-21）（17-22）振幅減縮率：兩個相鄰振幅之比 任意兩個相鄰振幅之比為一常數。衰減振動的振幅呈幾何級數減小 。對數減縮率 ：（17-23）阻尼很小時： （17-24）35（17-21）（17-22）振幅減縮率：兩個相鄰振幅之比 （17-25） （2）大阻尼情形（ ）積分常數由C1、C2由運動的初始條件決定。系統不具備振動特性。 （3）臨界

14、阻尼情形（ ）臨界阻尼系數 積分常數由C1、C2由運動的初始條件決定。系統不具備振動特性。36（17-25） （2）大阻尼情形（ 綜上所述，系統受粘滯阻尼作用時，只有在nn的情況下才發生振動，振動的周期較無阻尼時略長，而振幅則按幾何級數遞減。在臨界阻尼和大阻尼情形下，系統已不振動。 例17-5 一有阻尼的彈簧質量系統如圖17-10（a）所示。測得 ，如圖17-10（b）所示。已知質量塊m = 450 kg，振動周期為 1 s。求此系統的彈性系數 k 及阻尼系數C。37 綜上所述，系統受粘滯阻尼作用時，只有在n 解： 振幅的對數減縮率為Td =1s 將 、 代入 38 解： 振幅的對數減縮率為T

15、d =1s 將 17.4 單自由度系統無阻尼受迫振動 由于阻尼的存在，自由振動的振幅逐漸衰減，最后，系統的振動停止。但實際中，振動系統常常會受到激振力的作用。由激振力所引起的振動稱為受迫振動（Forced vibration）。例如，電機轉子的偏心引起的振動 。 簡諧激振力是一種典型的周期變化的激振力，簡諧激振力 FS 隨時間變化的關系為H 稱為激振力的力幅，即激振力的最大值；w 是激振力的圓頻率（17-26）3917.4 單自由度系統無阻尼受迫振動 由于 17.4.1 振動微分方程 如圖17-11（a）所示的質量彈簧系統，物塊質量為m。取重物的靜平衡位置為坐標原點O，x 軸鉛垂向下。當物體在

16、離原點 x 處時，作用于物體上的力有重力G，彈性力 F 和激振力 FS，如圖17-11（b）所示。重物的運動微分方程為，（17-27）令40 17.4.1 振動微分方程 得（17-28）無阻尼受迫振動微分方程的標準形式。解由兩部分組成齊次通解： 特解： 將x2代入式（17-28），得（17-29）全解為（17-31）41得（17-28）無阻尼受迫振動微分方程的標準形式。解由兩部分表明：無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的，第一部分是頻率為固有頻率的自由振動；第二部分是頻率為激振力頻率的振動，稱為受迫振動。由于振動系統中總有阻尼存在，自由振動部分會很快地衰減下去。下面著重研究受迫振動 。 17.4

17、.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅 振幅的大小與運動初始條件無關，與振動系統的固有頻率 wn 、激振力頻率 w、激振力力幅 H 有關。 42表明：無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的，第一 幅頻 特性曲線： （1） ，激振力的周期趨于無窮大，激振力為一恒力，此時并不振動。在此恒力作用下的靜變形為 （2） ，振幅 B 隨著激振力頻率w 的增加而增大（見圖17-12（a）。當 w 接近于wn時，振幅 B 將趨于無窮大。43 幅頻 特性曲線： （1） 縱軸取為 ，為振幅比，振幅比表示由常力H 的靜力作用換成 的作用時，振動系統變形擴大的倍數。橫軸取為 ，稱頻率比。l 和b 的關系如圖17-12（b）所

18、示。 ，振幅 B 為負值，表示受迫振動 x2與激振力反相。習慣上把振幅都取為正值，因此 B 取其絕對值。隨著激振力頻率的增大，振幅減小，當w 趨于 時，振幅 B 趨于零。（3）44 縱軸取為 ，為振幅 當 w = wn 時，振幅 B 理論上趨向無窮大，這種現象稱為共振（Resonance）。此時，式（17-30）所表示的特解失去意義。此時微分方程的特解應為 17.4.3 共振現象代入微分方程得故共振時受迫振動的規律為（17-32）振幅為 。共振時，隨著時間的增加，振幅不斷加大，如圖17-13所示。45 當 w = wn 時，振幅 B 理論上趨向無實際上，由于系統存在有阻尼，共振時振幅不可能達到

19、無限大。但一般來說共振時的振幅都是相當大的。如不預先加以防止，極易造成工程上的危害。 例17-6 電機質量 m = 800 kg，安裝在彈性梁中部，如圖17-14（a）所示。電機轉速n = 1450 r / min，由于轉子偏心引起的激振力幅 H = 600 N，梁靜變形 dst = 0.4 cm。不計梁重及阻尼。求受迫振動的振幅及共振時電機的臨界轉速。46實際上，由于系統存在有阻尼，共振時振幅不可能達 解 圖17-14（a）所示的系統可簡化為圖17-14（b）所示的模型，系統的剛度系數為 系統的固有圓頻率為 激振力圓頻率為47 解 圖17-14（a）所示的系統可簡化為圖 單位質量的激振力幅為 當激振力頻率（即電機轉子的角速度）等于系統的固有頻率 wn 時，系統產生共振，這時的轉速稱為臨界轉速。設臨界轉速以nC表示，則有 所以，受迫振動的振幅為48 單位質量的激振力幅為 17.5 單自由度系統的有阻尼受迫振動 選平衡位置為坐標原點，坐標軸鉛直向下，如圖17-15所示建立質點的運動微分方程 （17-33） 有阻尼受迫振動微分方程的標準形式。 4917.5 單自由度系統的有阻尼受迫振動 選全解：（17-34） 小阻尼，齊次部分通解：特解：e 振動的相位落后于