1、關于矩陣運算第一張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月主要內容：矩陣運算；矩陣元素運算；第3章 數學運算第二張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月3.1 矩陣運算3.1.1 矩陣分析1向量范式定義： 向量的3種常用范數及其計算函數在MATLAB中，求向量范數的函數為：(1) norm(V)或norm(V,2)：計算向量V的2范數。(2) norm(V,1)：計算向量V的1范數。(3) norm(V,inf)：計算向量V的范數。第三張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月 例3-1 求向量x=1,2,3,4,5和y=3,0,5,2,2間的距離 x=1,2,3,4,5; y=3,0,5,

2、2,2; norm(x,1); %1-范式 norm(x,inf); %范數 norm(x); e=x-y; norm(e); 第四張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月2矩陣的秩： 矩陣中線性無關的列（行)向量個數,稱為列（行）秩。 Matlab中用函數rank（）來計算矩陣的秩。 例3-2 求向量eye（4)，magic（4）和A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的秩。 rank(eye(4); rank(magic(4); rank(A); 第五張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月3矩陣的行列式： Matlab中用函數det（）來計算矩陣的行列式。 例3-3 求向量eye（

3、4)，magic（4）和A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的行列式。 det(eye(4); det(magic(4); det(A); 第六張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月4矩陣的行列跡： 矩陣的跡定義為對角元素之和。Matlab中用函數trace（）來計算矩陣的行列式。 例3-4 求向量eye（4)，magic（4）和A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的行列式。 trace(eye(4); trace(magic(4); trace(A); 第七張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月5矩陣化零矩陣： 對于非滿秩矩陣A，若存在矩陣Z使得AZ=0且ZZ=I，則稱 矩陣

4、Z為矩陣A的化零矩陣。Matlab中用函數null（）來計算矩陣的化零矩陣。 例3-5 求矩陣A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的化零矩陣。 Z=null(A) 驗證AZ=0的具體代碼如下： AZ=A*Z 驗證ZTZ的具體代碼如下： ZTZ=Z*Z 第八張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月6矩陣的正交空間： 矩陣A的正交空間Q滿足QTQ=I，且矩陣Q與A具有相同的列基底，Matlab中用函數orth（）來計算正交空間Q。 例3-6 求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和A2=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;10,11,12的正交空間Q。 Q=orth(A1) R=

5、orth(A2) 第九張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月7矩陣的簡化化梯形式： 矩陣A的簡化化梯形式為 ，其中 為r階單位矩陣。 Matlab 中用函數rref()來計算矩陣的簡化梯形形式 例3-7 求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和A2=1,2,3 ;1,1,5;7,8,9;10,11,12的正交空間Q。 Q=rref(A1) R=rref(A2) 第十張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月9矩陣空間之間的角度： 矩陣空間之間的角度代表具有相同行數的兩個矩陣線性相關程度，夾角越小代表線性相關度越高。Matlab中用函數subspace（）來計算矩陣空間之間的角度。

6、 例3-9 求矩陣A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9和A2=1,2;3 ,4;5,6之間的夾角Q。 Q=subspace(A1,A2) 第十一張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月3.1.2 線性方程組 Ax = b 有x = A-1b，但實際上并不顯式求A-1例子： 7x = 21 x = 21/7=3如果求逆 x = 7-1 21 = .142857 21 = 2.99997這就需要一次除和一次乘，且精度更低第十二張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月Backslash運算符 AX = BX = AB 左除 XA = BX = B/A 右除第十三張，PPT共三十二頁，創作于2

7、022年6月3-by-3的例子第十四張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月線性方程組的解結構齊次線性方程組的解結構非齊次線性方程組的解結構第十五張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月1.齊次線性方程組的解結構例3-10.判別方程組有無非零解,若有,寫出其通解.解 在MATLAB中輸入該方程組的系數矩陣A并將它化為最簡行階梯形矩陣,所用命令如下: A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rref(A)第十六張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0由階梯形矩陣可知R(A)=2 A=1 1 1 1 1;3 2 1

8、1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1; format rat B=null(A , r) %求基礎解系第十八張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月B = 1 1 5 -2 -2 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 syms k1 k2 k3 %定義符號參數 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)X= k1+k2+5*k3 -2*k1-2k2-6k3 k1 k2 k3第十九張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月即為方程組的通解,其中k1,k2,k3為任意實數.第二十張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月2.非齊次線性方程組的解結構例3-12

9、.求解方程組解 在Matlab中輸入系數矩陣及常數列向量,并檢驗系數矩陣是否逆,所用命令及結果如下 A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0; b=3 3 -1 ; det(A) %檢驗A是否可逆ans = 2系數矩陣行列式值等于2,是可逆的,則可以用矩陣相除來求解. X=AbX= 1 2 -1即是原方程組的解.第二十一張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月3.1.2 矩陣分解矩陣分解：把矩陣分解成比較簡單或對它性質比較熟悉的若干矩陣的乘積的形式；1Cholesky分解： Cholesky分解是把對稱正定矩陣表示成上三角矩陣的轉置與其本身的乘積，即：A=RTR，在Matlab中用函數cho

10、l來計算Cholesky分解 例3-13 求矩陣A=pascal（4）的Cholesky分解， A=pascal(4) R=chol(A) R*R 第二十二張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月2LU分解： LU分解是將任意一個方正A分解成為一個交換下三角矩陣L(或是排列(permuted) 的上三角形矩陣)和一個上三角矩陣U的乘積，A=LU，在Matlab中用函數lu來計算LU分解 例3-14 求矩陣A=1,4,2;5,6,9;4,1,8的LU分解， L1,U1=lu(A) L1*U1 第二十三張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月3奇異分解： 奇異值分解就是將 的矩陣A分解為U*S

11、*V，其中U 為 的酉矩陣，V為 的酉矩陣，S為 ，并可以表示如下： ，其中 ，r=rank（A)， ，Matlab中奇異值是有函數svd（）實現的。用svd計算矩陣A=1 4 2;5 6 9例3-15 求矩陣A=1 4 2;5 6 9的奇異分解， U,S，V=SVD(A) 第二十四張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月4QR分解： QR分解法是將矩陣分解成一個正規正交矩陣與上三角形矩陣,所以稱為QR分解法,與此正規正交矩陣的通用符號Q有關。 Matlab以qr函數來執行QR分解法， 其語法為Q,R=qr(A)。 例3-15 求矩陣A=1 4 2;5 6 9的奇異分解， U,S=qr(A)

12、 第二十五張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月3.1.3 矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值與特征向量在MATLAB中，計算矩陣A的特征值和特征向量的函數是eig(A)，常用的調用格式有3種：(1) E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成向量E。(2) V,D=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成對角陣D，并求A的特征向量構成V的列向量。 (3) V,D=eig(A,nobalance)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。第二十六張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月例3-16 求矩陣A=6

13、,12,19;-9,-20,-33;4,9,15的特征值和特征向量 V,D=eig(A);例3-17 用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p); %A的伴隨矩陣x1=eig(A) %求A的特征值x2=roots(p) %直接求多項式p的零點第二十七張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月例3-18.求解方程組解 先用Matlab函數null求出對應的齊次線性方程組的基礎解系,再利用其系數矩陣的上、下三角陣求出方程組的一個特解,這樣即可得到該方程組的通解,程序如下: A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5

14、 -9 -8; b=1 4 0 ; format rat C=null(A , r); %求基礎解系 L,U=lu(A); %A=LU,L為上三角陣,U為下三角陣 X0= U(Lb) %用LU求出一個齊次方程的特解第二十八張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月 syms k1 k2 X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0運行結果為X0 = 0 0 -8/15 3/5 X = 3/2*k1-3/4*k2 3/2*k1+7/4*k2 k1-8/15 k2+3/5即為該非齊次方程組的通解,其中k1,k2為任意實數.第二十九張，PPT共三十二頁，創作于2022年6月3.2 矩陣元素運算矩陣運算主要是對矩陣里的每個元素進行運算！3.2.1 三角函數（p48）例3-18 計算矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15每個元素的正弦,其中元素值的單位為弧度。Y=sin(A);3.2.2 指數和對數函數（p48-49）例3-19計算矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15每個元素的正指數和對數,其中元素值的