1、找次品【教學內容】人教版數學五年級下冊數學廣角第in 113頁的內容。【教學目標】.通過觀察與操作，猜想驗證和推理，體驗找次品方法的多樣化和 最優化，發現和理解“把物品總數盡可能平均分成三份來稱，保證找 出次品的次數會最少”。.通過找次品的探究活動，滲透“逐步逼近”和“簡化”的數學思 想，培養學生的合情推理能力，提高學生表達交流的能力，讓學生養 成全面思考的習慣。.經歷由直觀演示操作逐步到邏輯推理抽象概括，體會數學的簡潔 美和神奇魅力，激發學生學習數學的興趣。【教學重點】探索出找次品方法的多樣化和最優化方法，理解和體會最優方案 的特點。【教學難點】.能夠用簡明的方法記錄找次品的思維過程。.在觀

2、察比較中初步體會找次品最優方案的特點。【教學準備】學生2人一組；8顆珠子及探究單、紙質天平；多媒體課件【課前游戲】找不同師：上課之前，我們先來玩一個“找不同”的游戲。師：已經寫好的舉手。稱幾次？ （2次）2次怎么稱的？（生答師板演）如果平衡如果不平衡也就是說，無論平衡不平衡，接下來從幾個里面找？（3個）然后3個剛才已經研究過了稱幾次？（1次）那么這樣一共稱了一一2次。剛才，也是這樣稱的舉手。很好！剛才這位同學稱的是9個，左 邊3個，右邊3個，外面3個，需要稱1次。接下來無論平衡不平衡, 接下來3個只需稱1次。（觸發器9 （3, 3, 3）, 3 （1, 1, Do） 一共稱了一一2次。 9（4

3、, 4, 1） 一 4 （1, 1, 2） f2 （1, 1）師：還有不一樣稱法的嗎？除了左右盤各放3個之外，還有哪 些情況？師:如果像老師這樣去稱，從最不利的角度考慮，可能天平不平 衡，次品在哪里？要到幾個里面去找？ 4個里面找，再從一一2個里 面找，一共要用一一3次。那老師想不通，剛剛我們說要用三個托盤, 分3份比分兩份好，老師也用上了，這位同學也用了，為什么他兩次 就稱出來了，而我卻要三次。師：我們來看，這種方法，無論是平衡或是不平衡，接下來都是 從3個里面去找，都能從9個里面找縮減到3個里面找，從3個里面 找只要1次就能找出次品了。由此可見，雖然我也用了三個托盤，但 沒有*用的好，怎么

4、用才更合理呢？（平均分）驗證 9 (1,1,7)； 7 (1,1,5)； 5 (1,1,3); 3 (1,1,1)9 （2,2,5）； 5 （2,2,1）； 2 （1,1）師：誰來說說，同樣是分成3份，這種最佳方案的分法有什么 特點？師：對呀！他是平均分，而且分成了一一3份。平均分有什么 好處？（可以將下一次找的范圍縮到最小）師:但并不是每次都能平均分的，剛才8個球能平均分嗎？（不 能）不能平均分成3份，那我們是怎么分的？我們分成3個、3個、 2個。雖然沒有達到平均分，但是分的很一一接近，數量與數量之間 的差距很小。這叫做盡量的、盡可能的平均分。師:我們一起來把9個球中找次品一起來寫一寫。左邊

5、放幾 個？（3個）右邊放幾個？（3個），還有三個在哪？（天平外面） 不管天平是否平衡，接下來都從幾個里面去找？（3個），3個里面 找，只需要稱一次。所以，一共需要2次就能找出次品。（板書：9（3, 3, 3）, 3 （1, 1, 1）（三）思考討論，總結策略根據前面找次品的經驗，思考：怎樣才能用最少的次數，并且保證能找到次品?一盡可能分3份,每組數量盡量接近想一想：如果你認為天平有2個托盤，那么一盡可能分3份,每組數量盡量接近的二分之一里去找次品；如果你認為天平有3個托盤，那么一一接下來（三分之一），對了，我們知道，平均分的份數越多，每份的數量就越少。這樣就能從更少的范圍中，找到次品。師：那找

6、到方法，27個球，會嗎？（請一位同學說）師：現在你能解決這個問題了嗎？師：我們共同配合，看看我們有沒有默契。準備，開始。天平， 左邊放27個，右邊放27個，外邊27個。無論天平平衡還是不平衡, 接下來從幾個里面去找？（27個）天平左邊放9個，右邊9個，外 邊9個。好，接下來，左邊3個，右邊3個，外邊3個。最后左邊1 個，右邊1個，外邊1個。數一數，一共需要4次就能找出次品。 教師:隨著最初問題的解決，今天的課也即將結束。回顧我們整節課 的經歷，從81個小球，回歸到解決2、3個小球的問題，再到研究8、 9發現分組規律，直至研究了更大的像27、81這樣的數，發現了被 測物品數目與稱的最少次數之間的

7、一些關系。在探究過程中，我們不 斷思考，不斷實踐、不斷發現，是不是有點“山重水復疑無路，柳暗 花明又一村”的感覺！（觀察，形成區間套）師：多年后，這些數據我們慢慢模糊了，淡忘了，現在你還會找 次品嗎？（生答，回顧找次品的方法）說的真好！我想大家在收獲知識的同時，一定收獲了更多的智慧。 最后有兩句話與大家共勉（多媒體呈現）o探究問題:學會化繁為簡（轉化）。解決問題:要有優化意識（統籌）。.貓（方向不同）.喜洋洋（大小不同）.師：方向、大小，還有顏色好像都沒區別，那猜一猜可能是什么 不同？（可能質量不同）師：真的嗎？我們來看看。如同他所猜的，質量有些許的差別。誰與眾不同？ （A）它的質量稍微的一一

8、小一些。師：很好！生活中經常會有一些產品與合格產品不一樣。有的是 外觀瑕疵，有的是成分不過關，還有的是產品的質量與正常的不 同我們把這些不合格的產品稱為“次品” o （板書：次品。）師：次品雖小，危害卻大。今天咱們就一起去找輕重不合格的次 品。（板書：找。）【教學過程】（一）弄清問題題意，激發探究愿望（演示課件并提出問題）有81個乒乓球，其中有1個球比其他稍輕，如果只能利用沒有 祛碼的天平來斷定哪一個球輕，請問你最少要稱幾次才能保證找到較 輕的那個球？（1生讀題）師：這就是數學中的典型的“找次品”問題。81個乒乓球，幾個次品？（1個）次品比標準質量稍微一一輕一些。找次品用到什么工具呢？（天平）

9、見過天平嗎?和天平配套的是祛碼。但是這道題目_沒有祛碼。這題還有什么特殊要求？（最少）什么意思？（至少）稱5次和稱3次，哪個最少？ （3次）最少 的次數就是以最快的速度,最高的效率找出次品。題目還有什么要求？（保證能找到）保證是什么意思？（一定） 肯定、一定、確定，確保能找到，對嗎？現在想象你的大腦中就有一 架天平，你想怎么找次品？學生思考請1次的同學來說。師：他說的是什么樣的情況？（最幸運的）最好的情況對吧，隨 意拿兩個乒乓球放天平兩邊一稱，一邊重一邊輕，次品馬上就出來了, 是吧。師：那你能保證每次都那么幸運嗎？（不能）大家不僅要考慮最 幸運的情況，還要考慮最糟糕的，也就是最不幸的情況。如果

10、我們在 最不幸的情況下我們都能把次品找出來，那么在幸運的情況下就更能 找出來啦!師：所以，我們要想保證找到次品，我們考慮問題要全面，不光 要次數少，還要以“保證能找到”為前提。那么我們考慮問題時，是 從幸運的角度來思考，還是從不幸運的角度來思考？（最不幸的情況） 達成一致，在最不利的情況下,還要能最快、最少的次數來保證找到 次品，那該怎么找呢?（二）簡化問題，經歷問題解決基本過程.研究2個乒乓球。教師:對于從81個乒乓球中找次品的問題，比較復雜，那么怎樣 開始我們的研究呢？學生:可以從最少的試一試。教師:如果從最簡單的入手研究，2個小球,來，幾次稱出來？學生：1次教師：兩個球，怎么一次稱出來？

11、學生：把兩個球分別放在天平兩邊上（放磁鐵）教師：會不會出現平衡的狀況？（不會）教師：是呀！兩個球中有次品，必然一邊重，一邊輕。（板書： 畫天平）那此時次品就找出來啦！誰呀？（哪邊輕就是哪個）翹起里 的那一邊。所以1A我們就從中稱出了次品。.研究3個乒乓球。師:如果是3個呢?學生:先把其中的2個放在天平的兩側，如果左邊下沉，就說明 右邊的是次品：如果右邊下沉，就說明左邊的是次品：如果天平平衡， 則沒稱的是次品。師：他剛才描述的話，有兩種情況，誰聽明白了？你說，是哪兩 種情況？師：這兩位同學說的真好！用上“如果”、“那么”就把這兩種情況都表示出來了。師課件演示(1)天平平衡師：我們一起來看如果一一

12、，那么一一學生說(第一個一一非常好，掌聲鼓勵，再1生說，一起說一一 如果天平平衡，那么天平外的那一個球就是次品。)(2)天平不平衡師：當我們兩個球放上去時，也有可能天平沒平衡。一邊翹起來 了，一邊下沉了。那這時候就能把次品找出來啦！用手指一指，哪邊 就是次品呢？是不是就是這一個？哪一端呢？(天平翹起的那一端) 那這種情形用“如果那么”怎么描述？生：如果天平不平衡，那么翹起的那一邊的球就是次品。(3)學生完整說師：真好！ 一起來說一說。師：那同學們，天平來稱3個球的時候，會出現兩種可能。誰能 把這兩種情況完整的說一說。生：如果太平平衡，剩下的那一個是次品；如果天平平衡，那么 翹起的那一邊的球是次

13、品。(板書：畫圖)(4)質疑師：同學們看，無論是天平平衡還是不平衡，我們都稱了幾次就 能從中找出次品？(1A)看來2個和3個雖然數量不同，但是都只 稱1次就可以將次品找到，你覺得3個球在稱的時候有什么特別不一 樣的地方嗎？同桌討論一下。生說師：一個天平，幾個托盤？（兩個）所以我們往上放球的時候， 可以把一個球放在天平的一一左邊，左邊放一個，還有呢（右邊放一 個）兩個球時，放好一邊一個，高低立現。那到了 3個球時，怎么放？ 左邊一個，右邊一個，那還有一個呢？一一天平外。我們看，由于天 平左右各有一個托盤，所以兩個球左右各一個；那三個球的時候，除 了左一個，右一個，還可以天平外放一個。那實際上，相

14、當于在天平 外虛構了一個托盤，第3個球就放在天平外的第3個托盤里。如果天 平平衡，次品就在天平外邊；如果不平衡，次品就在翹起的那邊。師：說的真好，還用上了推理，看來學習用上腦，方法就是好！（5）統一記錄方法師：老師要把這種稱法記下來，為了便于交流和記錄，我們可以 這樣記（結合操作步驟）。3個物品，我們可以用一根橫線來表示天平，（板書）可以先在 天臺兩邊任意各放1個，（板書：1, 1）,剩下1個在天平外面。（補 充板書：3 （1, 1, 1）這時天平可能會平衡，也可能不平衡（板書：平不平），如果是 平衡，天平外那個就是次品（指一指數字），需稱一次就找出了次品; 如果不平衡，次品就是翹起的那一個（

15、指一指數字），也只需要稱一 次就找出了次品。同樣，2 （L 1）.研究4個乒乓球。師：如果再增加一個球，4個球，最少要稱幾次可以保證找出次 品？生自由回答。師：你是怎么想的？上來畫一畫。(當第一次出現平衡的時候，說明次品在剩下的兩個中，當把 剩下兩個再來稱的時候，一定是怎樣的狀態一一傾斜，一定是不平衡 的狀態，所以我們要畫成傾斜的。最后總結一下，你稱了幾次(兩次)(1, 1, 2) 一2 (1, 1)還有不同的想法嗎？4 (2, 2) -2 (1, 1)師小結：4個球，有兩種不同的測量方法。不管是像第1位同學 這樣先稱兩個，再稱兩個，還是像第二位同學這樣，左右兩個一起稱, 但測量的結果都是一樣

16、的，至少需要2次才能保證找出次品。師：那也就是說，從4個球中來找次品，最少得一一兩次，才能 保證從里邊找出次品。不對呀！如果選兩個球，像這樣，左邊放一個, 右邊放一個，第一次就出現不平衡的狀態，那一次不就把次品給找出 來了嗎？師：這種情況雖然會發生，但它是考慮的是一一最幸運的情形， 我們還要考慮不幸運的情況，你們能保證每次都那么幸運嗎？所以我 們要從最不利的方向考慮。.探究8個乒乓球的情況。教師：加大難度，如果小球數是8個，需要稱幾次呢?學生猜測：4次？ 3次？教師:似乎不太容易很快得出結論，那么請同學們以小組為單位, 共同討論一下。先請一同學讀要求。小組學習要求:想一想:至少稱幾次保證能找到

17、次品?或一設：你是如何稱的?畫一畫:把稱的過程畫出來?(1)評價 8 (4, 4)； 4 (2, 2)； 2 (1, 1)你是怎樣稱的？也是這種稱法的舉手？在黑板上簡單記錄稱的過程。一共用了3次，能不能保證找到？過渡：但3次是不是次數最少的呢？還有沒有次數更少的稱法呢？ (2)評價 8 (3, 3, 2)； 3 (1, 1, Do誰看懂他的意思了？指名別的學生敘述稱的過程。你是這種意思嗎？那你把稱的過程用珠子擺出來，讓大家更能明白 你的意思。(指名學生邊擺邊說。)謝謝這位同學，接下來同桌之間也 像他這樣，邊擺邊說8個怎么找最快。(3)小組里學生互相說說這種稱法過程。(4)完善板書。板書：8 (

18、3, 3, 2)； 3 (1, 1, 1)師：這種稱法會稱了嗎？剛才這位同學首先第一次左邊3個，右 邊3個，外面放1個，這樣稱了幾次？ (1次)，如果天平平衡，次 品就在幾個當中找？(2個)如果不平衡，次品就在一一3個當中找。那無論平衡不平衡，從最不利的情況考慮，第二次從幾個里面找？ (3 個）3個剛才我們已經研究過了，3個只需要稱1次就可以了。這樣 子，它一共只需要稱2兩次。（5）比較，優化。這兩種稱法有什么地方不一樣？師：是的，同學們，到8個乒乓球中找次品，有兩種不同的稱法。 請仔細觀察，這兩種稱法，哪里不一樣？（主要說清第一種是分兩份, 第二種是分3份）你們觀察到了嗎？（板書：分成二份、分成三份） 你覺得哪種稱法比較好？（3份）次數少了 1次，對不對？ 那分成三份比分成兩份好在哪里？為什么？師：其實這兩