1、電動力學電動力學二二唯一性定理第1頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四2一、靜電問題的唯一性定理區域V可以分為若干個均勻區域Vi，每一均勻區域的電容率為i 。設V內有給定的電荷分布(x) 。電勢在均勻區域Vi內滿足泊松方程第2頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四3除此之外，要完全確定V內的電場，還必須給出V的外邊界S上的一些條件。在兩區域Vi和Vj的分界面上滿足邊值關系第3頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四4唯一性定理：設區域V內自由電荷分布為(x) ，在V的外邊界S上給定（i）電勢s或（ii）電勢的法向倒數(/n)s則V內的

2、電場唯一地確定。也就是說，在V內存在唯一的解，它在每個均勻區域內滿足泊松方程，在兩均勻區域分界面上滿足邊值關系，并在V的邊界S上滿足給定的或 /n值。第4頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四5證明：設有兩組不同的解和滿足唯一性定理的條件。由得令第5頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四6在兩均勻區界面上有在整個區域V的邊界S上有或第6頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四7考慮第i個均勻區Vi的界面Si上的積分對所有分區Vi求和在均勻區界面 內部邊界積分相互抵消 第7頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四8這說明

3、和至多只能相差一個常量。但電勢的附加常量對電場沒有影響，這就證明了唯一性定理。而右邊被積函數i()2 0。上式成立的條件是在V內各點上都有=0 ，即在V內，外邊界因 積分亦為零或 第8頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四9二、有導體存在時的唯一性定理當有導體存在時，由實踐經驗我們知道，為了確定電場，所需要條件有兩種類型：一類是給定每個導體上的電勢i；另一類是給定每個導體上的總電荷Qi。第9頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四10如圖設在某區域V內有一些導體，除去導體內部以后的區域為V。設V內有給定電荷分布，S上給定了|s 或(/n)|s值。第10頁，

4、共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四11第二類型：設區域V內有一些導體，給定導體之外的電荷分布 ，給定各導體上的總電荷Qi以及V的邊界S上的 或/n 值，則V內的電場唯一地確定。第一類型：當每個導體上的電勢i給定時，即給出了V所有邊界上的 或(/n)值，因而由上一小節證明了的唯一性定理可知， V內的電場被唯一確定。第11頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四12在第i個導體上滿足總電荷條件和等勢面條件以及在V的邊界S上具有給定的|s 或(/n)|s值。也就是說，存在唯一的解，它在導體以外滿足泊松方程第12頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，

5、星期四13證明設有兩個解和滿足或則滿足第13頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四14對區域V用公式第14頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四15上式左邊的面積分包括V的邊界S以及每個導體的表面Si上的積分。在Si上的積分在S上的積分由此第15頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四16即和至多只能相差一個常量，因而電場唯一確定。當導體外的電勢確定后，導體上的電荷面密度由邊值關系確定第16頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四17例 如圖兩同心導體球殼之間充以兩種介質，左半部電容率為1，右半部電容率為2，設內球殼帶

6、總電荷Q，外球殼接地，求電場和球殼上的電荷分布。第17頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四18設兩介質內的電勢、電場強度和電位移分別為解第18頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四19如果我們假設E仍保持球對稱性，即此時邊值關系得到滿足。由于左右兩半是不同介質，因此一般不同于只有一種均勻介質時的球對稱解。在找嘗試解時，我們先考慮兩介質分界面上的邊值關系第19頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四20導體球面上的積分將電場值代入得解出第20頁，共22頁，2022年，5月20日，18點41分，星期四21則此解滿足唯一性定理的所有條件，因此是唯一正確的解。注意導體兩半球上的面電荷分布是不同的，但E卻保持球對稱性。第21頁，共22頁，2022年，5月20日，