1、第七章不等式第一節不等式的性質及一元二次不等式(全國卷5年4考)【知識梳理】1.兩個實數比較大小的依據(1)a-b0a_b.(2)a-b=0a_b.(3)a-b=b_.(2)傳遞性:ab,bc_.(3)可加性:aba+cb+c.(4)可乘性:ab,c0_;ab,cb,cd_.bcacbcacb+d(6)乘法法則:ab0,cd0_.(7)乘方法則:ab0_(nN,n1).(8)開方法則:ab0_(nN,n2).acbdanbn3.一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系判別式=b2-4ac0=00)的圖象 判別式=b2-4ac0=00)的根_ 沒有實數根ax2+bx+c0 (a0)的解

2、集_R有兩個相異實根x1,x2(x1x2)有兩個相等實根x1=x2=x|xx2x|xx1判別式=b2-4ac0=00ax2+bx+c0)的解集_x|x1x0,則ab 2.糖水不等式:若ab0,m0,則 3.分式不等式的符號:(1) 0(0(0對任意實數x恒成立 不等式ax2+bx+cbac2bc2()(2)若方程ax2+bx+c=0(a0的解集為R.()(3)不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的條件是abc2ab;反之,c=0時,ab ac2bc2.(2).若方程ax2+bx+c=0(a0的解集為.(3).當a=b=0,c0時,不等式ax2+bx+c0也在R上恒成立.2.若不等式ax2-bx

3、+c0的解集是(-2,3),則不等式bx2+ax+c0的解集是_.【解析】因為不等式ax2-bx+c0,且對應方程ax2-bx+c=0的實數根是-2和3,由根與系數的關系,得 即 所以b0,且所以不等式bx2+ax+c0可化為x2+x-60,解得-3xb,cb-d;ab0,cdbd;ab0 ab0 A.B.C.D.【解析】選D.利用不等式的性質易知正確.2.(2016全國卷)若ab1,0c1,則()(源于必修5P74練習3)A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logaclogbc【解析】選C.對A:由于0cb1acbc,A錯誤.對B:由于-1c-1b1ac-1bc-1b

4、ac1),則f(x)=ln x+110,f(x)在(1,+)上單調遞增,因此f(a)f(b)0aln abln b0 又由0c1得ln calogbc,C正確.對D:要比較logac和logbc,只需比較 和 而函數y=ln x在(1,+)上單調遞增,故ab1ln aln b0 又由0c1得ln clogbc,D錯誤.3.(必修5P80A組T3改編)若關于x的一元二次方程x2-(m+1)x-m=0有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍是_.【解析】由題意知=-(m+1)2+4m0,即m2+6m+10,解得m-3+2 或m-3-2 .答案:(-,-3-2 )(-3+2 ,+)考點一比較大小與不等式

5、的性質【題組練透】1.設0abb3B. C.ab1D.lg(b-a)aB.acbC.cbaD.acb【解析】選A.因為c-b=4-4a+a2=(a-2)20,所以cb.又b+c=6-4a+3a2,所以2b=2+2a2,所以b=a2+1,所以b-a=a2-a+1= 0,所以ba,所以cba.3.若ab0,且ab=1,則下列不等式成立的是()A.a+ log2(a+b)B. log2(a+b)a+ C.a+ log2(a+b) D.log2(a+b)a+ b0,ab=1,所以log2(a+b)log2(2 )=1.因為 =a-12-a,令f(a)=a-12-a,又因為b= ,ab0,所以a ,解得

6、a1.所以f(a)=-a-22-a-a-12-aln 2=-a-22-a(1+aln 2)0,所以f(a)在(1,+)上單調遞減.所以f(a)f(1),即 a+blog2(a+b),所以 log2(a+b)b0,ab=1,所以取a=2,b= ,此時 log2(a+b)=log2 ,所以 log2(a+b)b1,f(x)= 則f(a)與f(b)的大小關系是()A.f(a)f(b)B.f(a)0,又ab1,所以f(a)f(b).綜上,f(a)f(b).【規律方法】1.用同向不等式求差范圍的技巧 a-dx-y0的解集為()【解析】選B.由2x2-x-30,得(x+1)(2x-3)0,解得x 或x0的

7、解集為 (2)已知不等式ax2-bx-10的解集是 則不等式x2-bx-a0的解集是_.【解析】由題意,知 是方程ax2-bx-1=0的兩個根,且a0,所以 故不等式x2-bx-a0為x2-5x+60,解得x3或x2.答案:x|x3或x2(3)解關于x的不等式x2-(a+1)x+a0.【解析】原不等式可化為(x-a)(x-1)1時,原不等式的解集為(1,a);當a=1時,原不等式的解集為;當a1時,原不等式的解集為(a,1).【互動探究】 將本例(3)中的不等式改為ax2-(a+1)x+10,求不等式的解集.【解析】若a=0,原不等式等價于-x+11.若a0,解得x1.若a0,原不等式等價于

8、(x-1)0.當a=1時, =1, (x-1)1時, 1,解 (x-1)0得 x1;當0a1,解 (x-1)0得1x .綜上所述:當a1;當0a1時,解集為x|1x1時,解集為x| x0(0)的形式:當a=0時,轉化為一次不等式.當a0時,直接求解.(2)當不等式對應方程的根的個數不確定時,討論判別式與0的關系.(3)確定無根或一個根時可直接寫出解集,確定方程有兩個根時,要討論兩根的大小關系,從而確定解集形式.【對點訓練】1.若不等式ax2+bx+c0的解集為x|-1x2ax的解集為()A.x|-2x1B.x|x1C.x|0 x3D.x|x3【解析】選C.由題意a(x2+1)+b(x-1)+c

9、2ax,整理得ax2+(b-2a)x+(a+c-b)0,又不等式ax2+bx+c0的解集為x|-1x2,則a0,且-1,2分別為方程ax2+bx+c=0的兩根,由根與系數的關系得將兩邊同除以a得 將代入得x2-3x0,解得0 x3.2.不等式0 x2-x-24的解集為_.【解析】原不等式等價于 借助于數軸,如圖所示, 故原不等式的解集為x|-2x-1或2x3.答案:x|-2x-1或20的解集為(-,+),則實數a的取值范圍為_.【解析】設f(x)=x2-ax-a,則關于x的不等式x2-ax-a0的解集為(-,+)f(x)0在(-,+)上恒成立=(-a)2-41(-a)=a2+4a0,解得-4a

10、0.答案:(-4,0)【狀元筆記】xR的二次不等式確定參數的范圍時,結合二次函數的圖象,利用判別式來求解.命題角度2給定區間上的恒成立問題【典例】設函數f(x)=mx2-mx-1(m0),若對于x1,3,f(x)-m+5恒成立,則m的取值范圍是_.【解析】要使f(x)-m+5在1,3上恒成立,則mx2-mx+m-60,即m m-60時,g(x)在1,3上是增函數,所以g(x)max=g(3)=7m-60.所以m ,則0m .當m0時,g(x)在1,3上是減函數,所以g(x)max=g(1)=m-60.所以m6,所以m0恒成立,則x的取值范圍為()A.(-,2)(3,+)B.(-,1)(2,+)

11、C.(-,1)(3,+)D.(1,3)【解析】選C.采用轉化法把不等式的左端看成關于a的一次函數,記f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,則由f(a)0對于任意的a-1,1恒成立,所以f(-1)=x2-5x+60,且f(1)=x2-3x+20即可,解不等式組得x3.【狀元筆記】已知參數ma,b確定x的范圍:要注意變換主元,一般地,知道誰的范圍,就選誰當主元,求誰的范圍,誰就是參數.【對點練找規律】1.若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)0對任意實數x恒成立,則實數m的取值范圍是()A.(1,+)B.(-,-1)C. D. (1,+)【解析】選C.分情況討論,當m=-1時,不等式

12、化為2x-60,即x3,顯然不對任意實數x恒成立.當m-1時,由題意得 所以m0恒成立,則實數a的取值范圍是_.【解析】因為x1,+)時,f(x)= 0恒成立,即x2+2x+a0恒成立.即當x1時,a-(x2+2x)=g(x)恒成立.而g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1在1,+)上單調遞減,所以g(x)max=g(1)=-3,故a-3.所以實數a的取值范圍是a|a-3.答案:a|a-33.不等式ax2-2x-a+10對滿足|a|1的一切實數a都成立,則實數x的取值范圍是_.【解析】由|a|1,得-1a1,不等式變形為(x2-1)a-(2x-1)0,不等式可以看成關于a的一次函數,所

13、以只需 解得 -1x2.答案:( -1,2)思想方法系列14轉化與化歸思想在一元二次不等式中的應用【思想詮釋】 轉化與化歸思想,就是在研究和解決數學問題時采用某種方式,借助某種函數性質、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化,進而達到解決問題的思想.【典例】(2019秦皇島模擬)已知函數f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域為0,+),若關于x的不等式f(x)c的解集為(m,m+6),則實數c的值為_.【解析】由題意知f(x)=x2+ax+b= 因為f(x)的值域為0,+),所以b- =0,即b= ,所以f(x)= 又因為f(x)c,所以 0直線Ax+By+C=0某一側的所有點組成的平

14、面區域不包括_Ax+By+C0包括_不等式組各個不等式所表示平面區域的_邊界直線邊界直線公共部分2.線性規劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x, y組成的不等式(組)線性約束條件由x, y的_不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數關于x,y的函數_,如z=2x+3y等線性目標函數關于x,y的_解析式一次解析式一次名稱意義可行解滿足線性約束條件的解_可行域_組成的集合最優解使目標函數取得_或_的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的_或_問題(x,y)所有可行解最大值最小值最大值最小值【常用結論】1.平面區域的確定:(1)直線定界:不等式中無等號時直線畫成虛線,有等號時直線畫成

15、實線.(2)特殊點定域:若直線不過原點,特殊點常選原點;若直線過原點,則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證.2.利用“同號上,異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區域:對于Ax+By+C0或Ax+By+C0時,區域為直線Ax+By+C=0的上方;(2)當B(Ax+By+C)0表示的平面區域一定在直線Ax+By+C=0的上方.()(2)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區域.()(3)線性目標函數的最優解可能是不唯一的.()提示:(1).當B0表示的平面區域在直線Ax+By+C=0的下方.(2).當二元一次不等式組中的不等式所表示的區域沒有公共部分時,就無法表示平面上的一個區域.(

16、3).當線性目標函數轉化成的直線和某個邊界重合時,最優解無窮多.2.實數x,y滿足 使z=ax+y取得最大值的最優解有2個,則z1=ax+y+1的最小值為()A.0B.-2C.1D.-1【解析】選A.畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示,因為z=ax+y取得最大值的最優解有2個,所以-a=1,a=-1,所以當x=1,y=0或x=0,y=-1時,z=ax+y=-x+y有最小值-1,所以ax+y+1的最小值是0.題組二:走進教材1.(必修5P86T3改編)不等式組 表示的平面區域是()【解析】選B.x-3y+60表示直線x-3y+6=0及其右下方部分,x-y+20表示直線x-y+2=0左上

17、方部分,故不等式組表示的平面區域為選項B.2.(2018全國卷)若x,y滿足約束條件 則z=x+y的最大值為_.(源于必修5P91T1)【解析】畫出可行域如圖,由z=x+y得y=-x+z,作平行于y=-x的一系列平行線,可以得到過點A時,縱截距z最大,由x-2y+3=0與x=5解得A(5,4),代入z=x+y得其最大值為9.答案:93.(必修5P93B組T1改編)若實數x,y滿足 則不等式組表示區域的面積為_,z= 的取值范圍是_.【解析】如圖所示,不等式組表示區域的面積為 13= ,z= 理解為區域上的點P(x,y)與點Q(1,-2)連線所在直線斜率的變化范圍,kAQ= =1,kOQ= =-

18、2,結合圖形分析知z= 的取值范圍為(-,-21,+).答案: (-,-21,+)考點一二元一次不等式(組)表示的平面區域【題組練透】1.點(3,1)和(-4,6)在直線3x-2y+a=0的兩側,則()A.a24B.-7a24C.a=-7或a=24D.以上都不對【解析】選B.依題意,(9-2+a)(-12-12+a)0,解得-7a24.2.不等式(x-2y+1)(x+y-3)0在坐標平面內表示的區域(用陰影部分表示),應是下列圖形中的()【解析】選C.(x-2y+1)(x+y-3)0 或 畫出平面區域后,只有C符合題意.3.不等式組 所表示的平面區域內的整點個數為()A.2B.3C.4 D.5

19、【解析】選C.由不等式2x+y6得y0,y0,則當x=1時,0y4,則y=1,2,3,此時整點有(1,1),(1,2),(1,3);當x=2時,0y2,則y=1,此時整點有(2,1);當x=3時,y無解,故平面區域內的整點個數為4.4.在平面直角坐標系中,不等式組 表示的平面區域的面積是()A. B. C.2D.2 【解析】選B.作出不等式組表示的平面區域是以點O(0,0),B(-2,0)和A(1, )為頂點的三角形區域,如圖所示的陰影部分(含邊界),由圖知該平面區域的面積為 2 = .+【規律方法】1.求平面區域的面積(1)首先畫出不等式組表示的平面區域,若不能直接畫出,應利用題目的已知條件

20、轉化為不等式組問題,從而作出平面區域.(2)對平面區域進行分析,若為三角形應確定底與高,若為規則的四邊形(如平行四邊形或梯形),可利用面積公式直接求解,若為不規則四邊形,可分割成幾個三角形分別求解再求和即可.2.利用幾何意義求解的平面區域問題,也應作出平面圖形,利用數形結合的方法去求解.考點二線性規劃中的最值問題【明考點知考法】 線性規劃問題是高考的重點也是熱點,線性規劃的最值問題多以選擇題或填空題的形式呈現,試題難度中等偏下.命題角度1求線性目標函數的最值【典例】(2018全國卷)若x,y滿足約束條件 則z=3x+2y的最大值為_.世紀金榜導學號【解析】畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界),

21、可知目標函數過點(2,0)時取得最值,zmax=32+20=6.答案:6【狀元筆記】求線性目標函數的最值線性目標函數的最優解一般在平面區域的頂點或邊界處取得,所以我們可以直接解出可行域的頂點,然后代入目標函數以確定目標函數的最值.命題角度2求參數的值或取值范圍【典例】(2018太原模擬)若x,y滿足 且z=3x-y的最大值為2,則實數m的值為 ()A. B. C.1D.2【解析】選D.若z=3x-y的最大值為2,則此時目標函數為y=3x-2,直線y=3x-2與3x-2y+2=0和x+y=1分別交于A(2,4),B mx-y=0經過其中一點,所以m=2或m=當m= 時,經檢驗不符合題意,故m=2

22、.【狀元筆記】由目標函數的最值求參數的兩種形式(1)把參數當成常數用,根據線性規劃問題的求解方法求出最優解,代入目標函數確定最值,通過構造方程或不等式求解參數的值或取值范圍;(2)先分離含有參數的式子,通過觀察的方法確定含有參數的式子所滿足的條件,確定最優解的位置,從而求出參數.【對點練找規律】1.(2017全國卷)設x,y滿足約束條件 則z=x-y的取值范圍是()A.-3,0B.-3,2C.0,2D.0,3【解析】選B.繪制不等式組表示的可行域,結合目標函數的幾何意義可得函數在點A(0,3) 處取得最小值z=0-3=-3 . 在點B(2,0) 處取得最大值z=2-0=2.2.(2018新鄉模

23、擬)若實數x,y滿足 且z=mx-y(m2)的最小值為 則m等于()【解析】選C.作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示,z=mx-y(m2)的最小值為 當0m0,b0,分別以 代替a,b可得a+b2 即 a0,b0a=b設a0,b0,則a,b的算術平均數為 幾何平均數為 基本不等式可敘述為_兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.2.利用基本不等式求最值已知x0,y0,則:(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有_值是2 (簡記:_).(2)如果和x+y是定值p,那么當且僅當x=y時,xy有_值是 (簡記:_).最小積定和最小最大和定積最大【常用結論】1.基本不等式

24、的兩種常用變形形式(1)ab (a,bR,當且僅當a=b時取等號).(2)a+b2 (a0,b0,當且僅當a=b時取等號).2.幾個重要的結論【基礎自測】題組一:走出誤區1.判斷下列說法是否正確(在括號內打“”或“”)(1)兩個不等式a2+b22ab與 成立的條件是相同的.()(2)函數y=2x+ 的最小值是2.()(3)x0且y0是 2的充要條件.()提示:(1).不等式a2+b22ab成立的條件是a,bR;不等式 成立的條件是a0,b0.(2).函數y=2x+ 的值域是(-,-22,+),沒有最小值.(3).x0且y0是 2的充分不必要條件.2.在下列函數中,最小值等于2的函數是()【解析

25、】選D.當x0時,y=x+ -2,故A錯誤;因為0 x 所以0cos x2,故B錯誤;因為 所以y= 2,故C錯誤;因為ex0,所以y=ex+ -2 -2=2,當且僅當ex= ,即ex=2時等號成立.3.設a0,若關于x的不等式x+ 5在(1,+)上恒成立,則a的最小值為()A.16B.9C.4D.2【解析】選C.在(1,+)上,x+ =(x-1)+ +1 +1=2 +1(當且僅當x=1+ 時取等號),由題意知2 +15,所以2 4, 2,a4.題組二:走進教材1.(必修5P99例1(2)改編)設x0,y0,且x+y=18,則xy的最大值為()A.80B.77C.81D.82【解析】選C.由基

26、本不等式得18=x+y2 ,所以9 ,所以xy81,當且僅當x=y時,xy有最大值81.2.(必修5P100A組T2改編)一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18 m,則這個矩形的長為_m,寬為_m時菜園面積最大.【解析】設矩形的長為x m,寬為y m,則x+2y=30,所以S=xy= x(2y) 當且僅當x=2y,即x=15,y= 時取等號.答案:15 考點一利用基本不等式求最值【明考點知考法】 利用基本(均值)不等式求最值,一般是已知兩個非負數的和為定值求其乘積的最大值,或已知兩個非負數的乘積為定值求其和的最小值,高考對其考查的頻率低,但也要引起重視.命題角度1通過配湊法

27、求最值【典例】(1)若x 則f(x)=4x-2+ 的最大值為_.(2)函數y= 的最大值為_.【解析】(1)因為x0,則f(x)=4x-2+ = +3 +3=-2+3=1.當且僅當5-4x= 即x=1時,等號成立.故f(x)=4x-2+ 的最大值為1.答案:1(2)令t= 0,則x=t2+1,所以y= 當t=0,即x=1時,y=0;當t0,即x1時,y= 因為t+ =4(當且僅當t=2時取等號),所以y= 即y的最大值為 (當t=2,即x=5時y取得最大值).答案: 【狀元筆記】(1)注意事項:利用基本(均值)不等式解題一定要注意應用的前提“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數,“二

28、定”是指應用基本(均值)不等式求最值時,和或積為定值,“三相等”是指滿足等號成立的條件.(2)巧妙應用:在利用基本(均值)不等式求最值時,要根據式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數的形式,然后再利用基本(均值)不等式.命題角度2通過常值代換法求最值【典例】若正數x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為_.【解析】由x+3y=5xy可得 =1,所以3x+4y=(3x+4y) =5(當且僅當 即x=1,y= 時,等號成立),所以3x+4y的最小值是5.答案:5【狀元筆記】巧法妙用(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數).(2)把確定的定值(常數)變形為1.(3)把“1”的表達式與所求

29、最值的表達式相乘或相除,進而構造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.【一題多解微課】本題還可以采用以下方法求解:【解析】由x+3y=5xy,得x= 因為x0,y0,所以y 所以3x+4y= +4y= +4y= 當且僅當y= 時等號成立,所以(3x+4y)min=5.答案:5命題角度3通過消元法求最值【典例】 已知函數f(x)=|lg x|,ab0,f(a)=f(b),則 的最小值為_.【解析】由函數f(x)=|lg x|,ab0,f(a)=f(b),可知a1b0,所以lg a=-lg b,b= a-b=a- 0,則 (當且僅當 即a= 時,等號成立).答案:2 【狀元筆記】消元法解多變

30、量問題根據條件建立兩個量之間的函數關系,然后代入代數式轉化為函數的最值求解.對于一些多元函數求最值的問題,解決方法是消元拼湊后利用基本不等式求解.【對點練找規律】1.已知x,y為正實數,則 的最小值為()A. B. C. D.3【解析】選D.由題意得x0,y0, -1 -1=4-1=3(當且僅當x=3y時等號成立).2.已知x0,y0,且x+16y=xy,則x+y的最小值為_.【解析】已知x0,y0,且x+16y=xy.即 =1,則x+y=(x+y) =16+1+ 17+ =25,當且僅當x=4y=20時等號成立,所以x+y的最小值為25.答案:253.(2018石家莊模擬)已知直線l:ax+

31、by-ab=0(a0,b0)經過點(2,3),則a+b的最小值為_.【解析】因為直線l經過點(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b= 0,所以a-30,所以a+b=a+ =a-3+ +55+ 當且僅當a-3= ,即a=3+ ,b=2+ 時等號成立.答案:5+2 考點二基本不等式在實際問題中的應用【典例】(1)要制作一個容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是()A.80元B.120元C.160元D.240元【解析】選C.設底面相鄰兩邊的邊長分別為x m,y m,總造價為T元,則xy1=4xy=4.T

32、=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202 =80+204=160(元)(當且僅當x=y=2時取等號).故該容器的最低總造價是160元.(2)運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米,按交通法規限制50 x100(單位:千米/時).假設汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油 升,司機的工資是每小時14元.求這次行車總費用y關于x的表達式.當x為何值時,這次行車的總費用最低,并求出最低費用的值.【解析】設所用時間為t,則t= (h),y= 2 +14 ,x50,100.所以,這次行車總費用y關于x的表達式是y= x50,100,即y= x50,100.y= 26 當且

33、僅當即x=18 時等號成立.故當x=18 千米/時時,這次行車的總費用最低,最低費用的值為26 元.【規律方法】有關函數最值的實際問題的解題技巧(1)根據實際問題抽象出函數的解析式,再利用基本不等式求得函數的最值.(2)解應用題時,一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.(3)在應用基本不等式求函數最值時,若等號取不到,可利用函數的單調性求解.【對點訓練】1.如圖,某城鎮為適應旅游產業的需要,欲在一扇形OAB(其中AOB=45,扇形半徑為1)的草地上修建一個三角形人造湖OMN(其中點M在OA上,點N在 或OB上,OMN=90),且沿湖邊OMN修建休閑走廊,現甲部門需要人造湖的面積最大,乙部門需要

34、人造湖的走廊最長,請你設計出一個方案,則該方案()A.只能滿足甲部門,不能滿足乙部門B.只能滿足乙部門,不能滿足甲部門C.可以同時滿足兩個部門D.兩個部門都不能滿足【解析】選C.當點N在 上時,設OM=x,MN=y,則x2+y2=1,所以人造湖的面積S= xy = 走廊長l=1+x+y=1+ =1+ 1+ =1+ ,上述兩個不等式等號成立的條件均為x=y= 即點N在點B處.當點N在線段OB上時,人造湖的面積、休閑走廊長度的最大值顯然也在點B處取得.2.某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是_.【解析】由題意,一年購買 次,則總運費與總存儲費用之和為 6+4x= =