1、高一數學競賽訓練題 一 1.函數 f x 3log 2 x 4 x 1 的值域是 2如 a,b, c 是三個互不相等的實數,且中意關系式 2 2 2 2b c 2 a 16a 14, bc a 4a 5 ,就 a 的取值范疇是 3.如 a, b 是正實數,且 a b 2 ,就 1 1 的最小值是 1a1bx xx xx x 4.已知 ,如將 x, x , x 按從小到大的次序排列,應當是 x x x , 5. , 是關于 x 的方程 x 2 2 m 1x m 2 4 0 的兩個實根,設 y 2 2,就 y f m 的解析式是 ,值域是 6. 方程 x 2log16 x 0 的解是 ;使不等式

2、x 2log m x 0 在 0, 上恒 12成立的 m 的取值范疇是 2 27. 如函數 f x log a x 2ax 1 2 a a 0, a 1 在 R 上的最大值是 2,就 a = , f x 的單調遞增區間是 ； 3 5 5 58設 x1 , x2 , x 3 是方程 x x 1 0 的三個根,就 x1 x 2 x3 的值為 x 19函數 f x 2 的值域為 x 4x 710函數 f x ln | x 1| x 3 的零點個數為（ ） A 0 B 1 C 2 D 311設 S x 22 xy 2y 2 2x 1,其中 x R, y R ,就 S 的最小值為（ ） A 1 B 1

3、C 3 D 0 412 已 知 定 義 域 為 R 的 函 數 y f x 對 任 意 x R 都 滿 足 條 件 f（ x）+f（4 x） =0 與 f（ x 2） f（x 2）= 0 ,就對函數 y f x ,以下結論中必定正確選項 y f x 是 奇 函 數 ； y f x 是 偶 函 數 ； y f x 是 周 期 函 數 ； y f x 的圖象是軸對稱的 13 y f x 是定義域為 R 的函數, g（x） f x 1 f 5 x）,如函數 y g（x）有且僅有 4個不同的零點,就這 4 個零點之和為 第 1 頁,共 5 頁14已知函數 y f n 中意： f 1為正整數, f x

4、1恒 f n 1 f n , 2f n為偶數 , 假如 f 1 f 2 f 3 29 ,就 f 1 3 f n 1, f n為奇數 , 15設 f x log a x 2a log a x 3a ,其中 a 0 且 a 1 如在區間 a 3, a 4 上 成立,求 a 的取值范疇 16設函數 f x 2 x bx 3 ,對于給定的實數 b , f x 在區間 b2, b 2上有最大值 M b 和最小值 mb ,記 gb M b mb 求 gb 的解析式； 問 b 為何值時, g b 有最小值？并求出 gb 的最小值 17. 定義在正實數集上的函數 f x 中意以下條件： 存在常數 a（0 a

5、1）,使得 f a 1 ； 對任意實數 m , 當 x R 時,有 m f x mf x 求證：對于任意正數 x, y , f xy f x f y ； 證明： f x 在正實數集上單調遞減； 2 如不等式 f log a4 x 2f log a4 8 x3 恒成立,求實a 的取值范疇 數 第 2 頁,共 5 頁參考答案 1. ,1 2. 1, 3. 1 4. 1 5. f m 2m 28m 12 m 5 ,4, 28. 5 9. 0, 6 10 D 11B.12. 13. 8 14. 5 62 216 解： f x x b3 b,拋物線開口向上,其對稱軸方程為 x b,下面就對稱 2 4 2

6、軸 與 區 間 b 2, b 2 端 點 的 相 對 位 置 分 段 討 論： . .1 分 當 0 b 4時, b 2 bb 2 且 b 2 b b b 2 , 3 2 2 22此時 M b f b 2 2b 26b 1 , mb 3 b gb 9 b 2 6b 4 3 分 4 4當 4b 0 時, b2 bb 2 且 b 2 b bb 2 , 3 2 2 2此時 M b f b 2 2b 26b 1 , mb 3 b 2 gb 9 b 2 6b 4 5 分 4 4當 b 4 時, b b 2 , f x 在區間 b 2, b 2上遞增, 3 22 2此時 M b f b 2 2b 6b 1

7、 , mb f b 2 2b 6b 1 gb 12b 7分 當 b4時, bb 2 , f x 在區間 b2,b 2上遞減, 12b 932此時 M b f b 2 2 2b 6b 1 , mb f b 2 2 2b 6b 1 g b 分 gb 綜 上 g0 所 10 分 得 4 3; 12b, b9b26b 4, 4b0; 43b4; 9b26b 4, 0當 b434 ； 11 分 4 3. 12b, b4時, gb 12b g416 ； 33當 4 3. . 13 分 9 b 42 6b 4 遞減, g b b0 時, gb 第 3 頁,共 5 頁當 0 b 4 時, 3 gb 9 b 4

8、 2 6b 4 遞增, gb g0 4 ； . 15 分 當 b 4時, gb 12b g 416 . 16 分 3 3綜上所述,當 b 0 時, g b min 4 . 17 分 17證明： Q x, y 均為正數,且 0a 1 ,依據指數函數性質可知,總有實數 m, n 使得 x a m , y a n ,于是 f xy f a m a n f a m n m n f a m n , . 2 分 又 f x f y f a m f a n mf a nf a m n , f xy f x f y . 5 分 證明：任設 x1 , x2 R , x1 x2 ,可令 x1 x2 t t 1,

9、t a 0 .7 分 就由知 f x1 f x2 f x2t f x2 f x2 f t f x2 f t f a f a 0 , .9 分 即 f x1 f x2 f x 在正實數集上單調遞減； . .10 分 解：令 log a4 x t ,原不等式化為 f t 22 f 8t 3 ,其中 t 0 Q f x f y f x f y 1f x 且 f a 10 a 1 , y 2不等式可進一步化為 f t 2 f a 3, . .12 分 8t 2又由于單調遞減, t 2 a 3對于 t 0 恒成立 .13 分 8t 22而 t 2 1t 222 1, . . .15 分 8t 8 t 2

10、22且當 t 2 時 t 2 1 .16 分 8t min 2 2 3 1 2a,又 0a 1 ,終得 0a .18 分 2 2 2解 f x log x 25ax 6a 2log x 5a 2 a 2 2 4由 x x 2a 3a 0, 得 0, x 3a,由題意知 a 3 3a ,故 a 32,從而 a 3 5a 2 32 a 2 0 , 第 4 頁,共 5 頁故函數 g x x 5a 2 a 2在區間 a 3, a 4 上單調遞增 . 2 4-5 分 （1）如 0 a 1 ,就 f x 在區間 a 3, a 4 上單調遞減,所以 f x 在區間 a 3, a 4 上的 最大值為 f a 3 log 2a a 2 9a 9 在區間 a 3, a 4 上不等式 f x 1 恒成立,等價于不等 log 2a 2 9a 9 1 成立,從式 而 2a 29a 9 a,解得 a 5 7或 a 5 7 2 2結合 0 a 1 得 0 a 1 -10 分 （2）如 1 a 32,就 f x 在區間 a 3, a 4 上單調遞增,所以 f x 在區間 a 3, a 4 上的 最大值為 f a 4 log 2a 2 12 a 16 . 在區間 a 3,