1、4.1 動量守恒定律與動量定理孤立體系與動量守恒定律 第4章動量定理 前面三章，我們討論的是單個質點的運動。在這一章里，我們要討論由許多質點構成的體系的運動規律。這種問題，常稱為質點系問題，或多體問題。 在質點系中有一類是特別的，即所有質點都沒有受到體系之外的物體的作用力。也可以簡單他說，整個體系不與外物相互作用，這種質點體系稱為孤立體系。 球狀星團M13孤立體系與動量守恒定律 定義： 得：或 P =不變量 此式表明，對于兩個質點構成的孤立體系，我們找到了一個不變量 P，稱它為動量。 孤立體系與動量守恒定律 在上述推導過程中，我們并沒有用到作用力的具體形式，只用了牛頓第二、三定律，所以，這個守

2、恒律是非常普遍的，與作用力的具體形式無關，對于任何力都適用。 對于多個質點所構成的孤立體系，可以用完全類似的方法證明體系的總動量不隨時間變化，我們將它稱為動量守恒定律，表述如下：在不受外力或所受外力的矢量和為零的體系中，每個質點的動量都時刻在變，但它們的矢量和不變。 其中 Pi 是第 i 個質點的動量。 孤立體系與動量守恒定律 幾點說明： 1. 與牛頓定律一樣，動量守恒定律只適用于慣性系。 體系動量守恒并不是要求體系不受外力，只要所受外力的矢量和為零。但不受外力的體系其動量必然守恒，故孤立體系的動量守恒。 3. 動量守恒是矢量式，它可以寫成三個分量式： 若Fx = 0， 則 Px = 常量；

3、若Fy = 0， 則 Py = 常量； 若Fz = 0， 則 Pz = 常量； 沖量與質點的動量定理 力作用到質點上，可以使質點的速度或動量發生變化，我們將牛頓第二定律寫成微分形式，即： 式中 dp 表示質點動量的改變量，Fdt表示合外力在 dt 時間內的積累量，稱為 dt 時間內質點所受合外力的沖量（又稱為元沖量），記為 dJ，即： dJ = Fdt 。 上式表明在時間內質點所受合外力的沖量等于同一時間內質點動量的增量，這一關系叫做質點動量定理的微分形式。實際上它是牛頓第二定律的另一種形式。 沖量與質點的動量定理 對 t0 到 t1 這段有限時間積分，即考慮力在某段時間內的積累效果，則有：

4、式中 J 表示在到這段時間內合外力的沖量。沖量是矢量。 上式稱為質點動量定理的積分形式。 值得注意的是，要產生同樣的動量增量，力大力小都可以，力大，時間可以短些，力小，時間需長些。只要力的時間積累沖量一樣，就產生同樣的動量增量。 質點系動量定理 1. 兩質點系統（n = 2） 得： 體系的總動量： 令： Fex為體系所受的外力的矢量和，稱為體系所受的總外力。 有：微分形式積分形式質點系動量定理 2. 多質點系統（n 2） 將方程組中的所有方程相加，由于所有內力的矢量和為零，得： 其中：質點系動量定理 2. 多質點系統（n 2） 作用在體系上所有外力在一段時間內的總沖量等于體系動量的增量。 體系

5、的動量定理：積分形式微分形式質點系動量定理 幾點說明： 只有外力的沖量才對體系的總動量變化有貢獻，內力對體系的總動量變化沒有貢獻；但內力對動量在體系內部的分配是有作用的。 2. 動量定理與牛頓定律的關系： 對一個質點來說，牛頓定律說的是力的瞬時效果，而動量定理說的是力對時間的積累效果。 牛頓定律只適用于質點，不能直接用于質點系；而動量定理可適用于質點系。 質點系動量定理 幾點說明： 與牛頓定律一樣，動量定理也只適用于慣性系，要在非慣性系中應用動量定理，必須考慮慣性力的沖量。 對于孤立體系，所受外力的矢量和為零，因而外力的沖量也為零，此時體系的總動量守恒，這就是一般情況下的孤立體系動量守恒定律。

6、 4.2 質心運動定理 動量定理的微分形式：牛頓第二定律： 形式上相同，但其含義并不相同。牛頓第二定律是對單個質點而言，但由于質點系內質點的運動情況各不相同，加速度也各不相同 。因此不能簡單等效 但對質點系而言，確實存在一個特殊點 ，這一點從上圖可以看得很清楚，盡管物體在上拋運動的同時還在旋轉，物體（可以看成質點系）上各點的運動比較復雜，但物體上的某一點（中間的小孔處）的運動就簡單得象一個質點的上拋一樣，沿著拋物線的軌跡運動。于是我們可以定義該特殊點為質心，并認為體系的總質量都集中在質心處。質心運動定理 回想一下，我們為什么可以在第一章引入“質點”的概念，而把一個復雜的物體在不考慮轉動和內部運

7、動時看成是一個“質點”？其根據正是質心運動定理。 關于質心運動定理，有下列幾點需要說明： 質心運動定理實際上是矢量方程?？梢詫懗扇齻€分量方程，運動的獨立性同樣成立，即：若合外力在某一分量上為零，則該分量滿足動量守恒定律。 質心的位矢并不是各質點位矢的算術平均值，而是它們的帶權平均值。體系質心的坐標（或位矢）與坐標原點的選取有關，但質心與體系各質點（質元）的相對位置則與坐標原點的選取無關。 質心坐標系 把原點取在質心上，坐標軸的方向始終與某固定參考系（慣性系）的坐標軸保持平行的平動坐標系叫質心坐標系（或質心參考系），簡稱質心系。質心坐標系在討論質點系的力學問題中，十分有用。對于不受外力作用的體系

8、（孤立體系）或所受外力的矢量和為零的體系，其質心坐標系是慣性系。對于受外力作用的體系，其質心系是非慣性系。 例 質量為M=500kg、長為L=4m的木船浮在靜止水面上，一質量為m=50kg 的人站在船尾. 令人以時快時慢的不規則速率從船尾走到船頭. 船相對岸移動了多少距離？設船與水之間的摩擦可以忽略.解 此題如果直接用動量守恒定律來解，似有困難，因為人的速度不規則. 但若用質心概念就很容易求解. 人和船的體系在水平方向不受外力作用，其質心加速度為零，體系原來靜止，所以質心在水平方向的位置保持不變. 取x 軸沿水平方向，設人和船的中心坐標分別為x1 , x2 , 取原來船的中心為坐標原點（即x2

9、=0）,以人的行走方向為x正方向. 人在船尾時，體系質心的x坐標xC為當人走到船頭后，設船的中心的坐標為x，則體系質心坐標質心水平位置不變，即xC= xC ,故即船相對岸移動的距離為變質量體系 4.3 變質量物體的運動我們來討論體系（質點系）動量定理的一個重要應用，即所謂的變質量體系。這里所說的變質量并非指相對論中描述的質量隨運動物體速度而變化的相對論情況，而是指在運動過程中不斷與外界交換質量的物體的運動。 所討論的體系有兩個特征： 它的質量不是常數，而隨時間變化，這種變化是由于外界不斷有新的質量進入體系，或是體系內部不斷有質量輸送到外界； 體系中所有質點運動情況相同，因而仍可用一個質點來描寫

10、體系的運動。 歸納起來，我們是研究一個質量隨時間變化的質點的運動，例如噴射高速氣流的火箭、過飽和蒸汽不斷凝聚于水滴上的雨滴等。 變質量體系 顯然，這樣的質點運動不能直接應用牛頓定律，也不能把體系動量定理直接搬過來用，因為無論牛頓定律或體系動量定理，都是指一個確定組成的體系（或一個確定的質點）在給定過程中所遵循的規律。只有當體系的組成是確定的，所謂內力和外力才有確定的意義，變質量體系是不斷與外界交換質量的體系，體系的組成隨時間不斷變化，對于這樣的體系，牛頓定律和體系動量定理不適用。 運動方程 t 時刻： 主體質量 m， 速度 v，外力Fm 附體質量m，速度 u，外力Fmt + t 時刻：主體質量 m+ m ，速度 v+v，外力 F = Fm+ Fm 體系的動量定理： 即： 令t0，則v0 ，上式取極限得： 這就是變質量質點（即主體）的運動方程。 火箭飛行的理論基礎齊奧爾科夫斯基(1857-1935)馮. 布勞恩（1912-1977）幾點說明： 第四章動量若主體與外界兩種（或兩種以上）質量交換過程時，上述方程應改寫為： 其中 u1、u2 分別表示附體1和2在并入主體前的速度，dm1/dt 和 dm2/dt 則表示相應兩種交換過程的質量改變速率，而主體的質量改變為： 航空噴氣發動機例：雨滴開始自由