第七屆校賽數學類試題及解答_第1頁
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第5頁 共5頁麗水學院第七屆高等數學（微積分）競賽試卷（數學類） 時間：2013年3月23日，8:3011:00學院： 班級： 姓名：題號一二三四五總分得分一、計算題(本大題共5小題，每小題14分，共70分)1. 求極限（1）（2）解：（1）=（2） =而所以. 計算積分（1） （2）設是上的連續函數，試交換累次積分的積分順序。解：（1） =（2）3. 比較的大小。解：題目等價于比較的大小。由知，在中嚴格遞減。而4. 設，求：，.解：5. 證明：。證：記則因此二、（滿分20分）設在有限區間上有定義，且對任意的都存在，證明：對任意的區間中使得的點至多只有有限個。證明：反證法，假設存在在中有一列使由于有界故有收斂子列，不妨設為又由存在知，對上述存在使有 從而存在正整數當有 固定某個由存在，故存在使 所以 矛盾。因此結論成立。三、（滿分20分） 設在內可導，上連續，且對任意有，又 證：存在有證明：構造函數， 顯然在內可導，上連續，且 由微分中值定理知，存在使. 令，結合從而在單調增，有，得四、（滿分20分）證明：。證明： 顯然所以收斂。又因為而發散，類似前面可證收斂。因此發散。從而。五、（滿分20分）從調和級數中去掉所有在分母的十進制表示中含數碼8的項（如

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