1、2021-2022學年江蘇省南通市啟東東海中學高三數學理月考試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 集合,若,則的值為（ ）A0 B1 C2 D4參考答案：D2. “”是“兩直線和互相垂直”的 （ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件參考答案：A略3. 已知為虛數單位，為實數，復數在復平面內對應的點為，則“”是“點在第四象限”的 ( )A充要條件 B必要而不充分條件C充分而不必要條件 D既不充分也不必要條件參考答案：C略4. 已知,那么（）ABCD參考答案：C略5. 已知函數f(x

2、)為R上的奇函數，當x0時，則xf(x)0的解集為A-1，0)1，+) B(-，-11，+)C-1，01，+) D(-，-101，+)參考答案：D6. 為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求ACB=60，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了穩固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為（）A（1+）米B2米C（1+）米D（2+）米參考答案：D【考點】HR：余弦定理；7F：基本不等式【分析】設BC的長度為x米，AC的長度為y米，依據題意可表示出AB的長度，然后代入到余弦定理中求得x和y的關系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等號時x的值【解答】解：設BC的長度為x米，AC

3、的長度為y米，則AB的長度為（y0.5）米，在ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC22AC?BCcosACB，即（y0.5）2=y2+x22yx，化簡，得y（x1）=x2，x1，x10，因此y=，y=（x1）+2+2，當且僅當x1=時，取“=”號，即x=1+時，y有最小值2+故選：D【點評】本題主要考查了解三角形的實際應用以及基本不等式求最值問題考查了考生利用數學模型解決實際問題的能力，屬于中檔題7. 若f（x）=sin（2x+），則“f（x）的圖象關于x=對稱”是“=”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要

4、條件的判斷【分析】根據三角函數的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：若f（x）的圖象關于x=對稱，則2+=+k，解得=+k，kZ，此時=不一定成立，反之成立，即“f（x）的圖象關于x=對稱”是“=”的必要不充分條件，故選：B8. 函數和函數，若存在使得成立，則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 參考答案：D9. 已知函數f（x）=，則函數g（x）=f（1x）1的零點個數為（）A1B2C3D4參考答案：C【考點】根的存在性及根的個數判斷【分析】利用已知條件求出f（1x）的表達式，利用函數的圖象，求解兩個函數圖象交點個數即可【解答】解：函數f（x）=，f（1x）=，函

5、數g（x）=f（1x）1的零點個數，就是y=f（1x）與y=1交點個數，如圖：可知兩個函數的圖象由三個交點，函數g（x）=f（1x）1的零點個數為3故選：C【點評】本題考查函數的零點個數的判斷與應用，考查數形結合以及轉化思想的應用，考查計算能力10. 已知所在平面內有兩點，滿足，若，,則的值為( )A. B. C. D. 參考答案：D因為，所以為中點，又因為即，所以，所以為線段的靠近的三等分點所以，所以，所以，或故.二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 等比數列的前項和為，已知S1，2S2，3S3成等差數列，則數列的公比為_。參考答案：略12. 拋物線上一點到焦點的距離為3

6、，則點的橫坐標 參考答案： 2 略13. 已知集合，若，則實數的取值范圍是 參考答案： 14. 設是虛數單位,則_.參考答案：15. 已知P是橢圓上的一點，Q，R分別是圓和上的點，則的最小值是 .參考答案：7設兩圓圓心為M,N,則M,N為橢圓焦點，因此 ，即的最小值是716. 設過曲線f（x）=exx（e為自然對數的底數）上的任意一點的切線l1，總存在過曲線g（x）=mx3sinx上的一點處的切線l2，使l1l2，則m的取值范圍為 參考答案：2，3【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】求得f（x）的導數，設（x1，y1）為f（x）上的任一點，可得切線的斜率k1，求得g（x）的導數，設g

7、（x）圖象上一點（x2，y2）可得切線l2的斜率為k2，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為1，分別求y=m3cosx2的值域A，y=值域B，由題意可得B?A，可得a的不等式，可得a的范圍【解答】解：f（x）=exx的導數為f（x）=ex1，設（x1，y1）為f（x）上的任一點，則過（x1，y1）處的切線l1的斜率為k1=ex11，g（x）=mx3sinx的導數為g（x）=m3cosx，過g（x）圖象上一點（x2，y2）處的切線l2的斜率為k2=m3cosx2由l1l2，可得（ex11）?（m3cosx2）=1，即m3cosx2=，任意的x1R，總存在x2R使等式成立則有y=m3cosx2的值域為

8、A=m3，m+3y=的值域為B=（0，1），有B?A，即（0，1）?m3，m+3即，解得2a3故答案為：2，3【點評】本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為1，考查任意存在性問題的解法，注意運用轉化思想和值域的包含關系，考查運算能力，屬于中檔題17. 已知點P (x，y) 滿足條件y的最大值為8，則 .參考答案：-6三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知拋物線的方程為C：x2=4y，過點Q（0，2）的一條直線與拋物線C交于A，B兩點，若拋物線在A，B兩點的切線交于點P（1）求點P的軌跡方程；（2）設直線PQ與直線A

9、B的夾角為，求的取值范圍參考答案：【考點】KN：直線與拋物線的位置關系【分析】（1）將直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及導數的幾何意義，分別求得切線方程，聯立即可求得點P的軌跡方程；（2）分類討論，根據直線斜率與傾斜角的關系，即可求得tan取值范圍，即可求得的取值范圍【解答】解：（1）由AB直線與拋物線交于兩點可知，直線AB不與x軸垂直，故可設lAB：y=kx+2，則，整理得：x24ky8=0，=16k2+320，故kR時均滿足題目要求設交點坐標為，則x1，x2為方程的兩根，故由韋達定理可知，x1+x2=4k，x1x2=8將拋物線方程轉化為，則，故A點處的切線方程為，整理得，同理可得，

10、B點處的切線方程為，記兩條切線的交點P（xp，yp），聯立兩條切線的方程，解得點P坐標為，故點P的軌跡方程為y=2，xR（2）當k=0時，xP=0，yP=2，此時直線PQ即為y軸，與直線AB的夾角為當k0時，記直線PQ的斜率，又由于直線AB的斜率為k，且已知直線AB與直線PQ所夾角0，tan=丨丨=丨丨=+丨k丨2，則aarctan2，）綜上所述，的取值范圍是arctan2，19. 已知向量=（sinA，sin B），=（cosB，cos A），=sin 2C，且ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c（1）求角C的大??；（2）若sinA，sinC，sinB成等差數列，且，求c. 參考答案

11、：.解：（1）,又， 3分又 4分 (2) 由已知得，即 又， 6分 由余弦定理得： 8分20. 已知圓E：（x+）2+y2=16，點F（，0），P是圓E上任意一點，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q（）求動點Q的軌跡的方程；（）直線l過點（1，1），且與軌跡交于A，B兩點，點M滿足=，點O為坐標原點，延長線段OM與軌跡交于點R，四邊形OARB能否為平行四邊形？若能，求出此時直線l的方程，若不能，說明理由參考答案：【考點】JE：直線和圓的方程的應用【分析】（I）利用橢圓的定義即可得出E的軌跡方程；（II）討論直線l的斜率，聯立方程組，利用根與系數的關系得出M點坐標，根據平行四邊形對角線互相

12、平分得出R點坐標，代入橢圓方程化簡即可得出直線l的斜率k【解答】解：（I）|QE|+|QF|=|EQ|+|QP|=4，且|EF|=24，點Q的軌跡是以E，F為焦點的橢圓，設橢圓方程為=1，則2a=4，c=，a=2，b=1所以點E的軌跡方程為： +y2=1（II）（1）當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1，顯然四邊形OARB是平行四邊形；（2）當直線l與x軸不垂直時，設直線l：y=kx+m，顯然k0，m0，設A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）聯立方程組，得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，x1+x2=，=，即M是AB的中點，xM=，yM=kxM+m=，若四邊形OARB是平行四邊形，當且僅當AB，OR互相平分，R（，），代入橢圓方程得： +=1，即16k2m2+4m2=16k4+8k2+1，又直線l：y=kx+m經過點（1，1），m=1k，16k2（1k）2+4（1k）2=16k4+8k2+1，32k312k2+8k3=0，即（4k2+1）（8k3）=0k=，m=，直線l的方程為y=x+時，四邊形OARB是平行四邊形，綜上，直線l的方程為x=1或y=x+21. 已知函數。