1、歷年高考數(shù)學真題精選（按考試點分類）專題8異面直線所成的角(學生版）一選擇題(共2小題）1.（2018新課標)在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為 A.BCD(2新課標）已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為未經(jīng)許可 請勿轉載A.BC.D.3(201新課標)平面過正方體的頂點，平面，平面,平面,則、所成角的正弦值為 未經(jīng)許可 請勿轉載A.B。C.。(2014大綱版)已知二面角為，為垂足，,則異面直線與所成角的余弦值為 未經(jīng)許可 請勿轉載A。B。C。5。（214新課標）直三棱柱中,，分別是，的中點,，則與所成角的余弦值為 未經(jīng)許可 請勿轉載BCD。(2014大綱版）已知正四面體中，是的

2、中點，則異面直線與所成角的余弦值為未經(jīng)許可 請勿轉載ABCD.7.(2012陜西）如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，,則直線與直線夾角的余弦值為 未經(jīng)許可 請勿轉載A。8.(210全國）在正三棱柱中，側棱，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角等于未經(jīng)許可 請勿轉載A.B。CD9(200全國大綱版）直三棱柱中，若,，則異面直線與所成的角等于A.。D10（009黑龍江）已知正四棱柱中，,為中點,則異面直線與所形成角的余弦值為未經(jīng)許可 請勿轉載BCD1.（28上海）如圖，在直三棱柱的棱所在的直線中，與直線異面的直線的條數(shù)為未經(jīng)許可 請勿轉載1B2.3D42.（012重慶)設四面體的六條棱的長分別

3、為，1，1，和,且長為的棱與長為的棱異面,則的取值范圍是未經(jīng)許可 請勿轉載A.B.。二填空題（共5小題)13.（06全國）已知為直二面角,且,則異面直線與所成角的大小為未經(jīng)許可 請勿轉載14。（21浙江）如圖，已知平面四邊形，,，,沿直線將翻折成，直線與所成角的余弦的最大值是 。未經(jīng)許可 請勿轉載15（21浙江)如圖，三棱錐中，,，點，分別是，的中點,則異面直線，所成的角的余弦值是 。未經(jīng)許可 請勿轉載1。（205四川）如圖，四邊形和均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點,設異面直線與所成的角為,則的最大值為 未經(jīng)許可 請勿轉載1。(2012四川）如圖，在正方體中，

4、、分別是、的中點,則異面直線與所成的角的大小是 未經(jīng)許可 請勿轉載三解答題(共5小題）1。（2019上海）如圖，在正三棱錐中，（1）若的中點為，的中點為,求與的夾角；（2）求的體積。9（2016上海）將邊長為1的正方形(及其內部）繞旋轉一周形成圓柱，如圖，長為,長為,其中與在平面的同側。未經(jīng)許可 請勿轉載（）求三棱錐的體積;（2）求異面直線與所成的角的大小歷年高考數(shù)學真題精選（按考試點分類）專題28異面直線所成的角(教師版）一。選擇題(共12小題)1(2018新課標）在長方體中,，則異面直線與所成角的余弦值為A。BC.D【答案：】C【解析】以為原點，為軸,為軸,為軸，建立空間直角坐標系，在長方

5、體中,，,，,，,0，,，,，,，0，,設異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角的余弦值為故選：。2.（2新課標）已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為 未經(jīng)許可 請勿轉載A。.CD【答案:】C【解析】如圖所示，設、分別為，和的中點，則、夾角為和夾角或其補角（因異面直線所成角為，可知,；作中點,則為直角三角形；，,中，由余弦定理得，;在中，;在中,由余弦定理得；又異面直線所成角的范圍是,，與所成角的余弦值為。3.(2016新課標）平面過正方體的頂點,平面，平面，平面,則、所成角的正弦值為 未經(jīng)許可 請勿轉載A。C.D.【答案:】A【解析】如圖：平面，平面，平面，可知：，是正三角形.、所

6、成角就是.則、所成角的正弦值為：.(014大綱版）已知二面角為，為垂足,則異面直線與所成角的余弦值為未經(jīng)許可 請勿轉載A。CD。【答案：】【解析】如圖,過點做,使,垂足為，過點做，過點做,連接，又在中，設，則，在中，則，在中，則，異面直線與所成的角即是,.故選：5.(201新課標)直三棱柱中,，,分別是,的中點,則與所成角的余弦值為 未經(jīng)許可 請勿轉載A。B.D【答案：】C【解析】直三棱柱中，,，分別是,的中點,如圖： 的中點為,連結，則是平行四邊形，與所成角就是,，未經(jīng)許可 請勿轉載設，,，在中，由余弦定理可得：6（0大綱版）已知正四面體中,是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為未經(jīng)許可 請

7、勿轉載A。BD【答案:】B【解析】如圖，取中點，連接,，為的中點,，則為異面直線與所成的角,為正四面體，分別為，的中點,。設正四面體的棱長為，則,.在中,由余弦定理得：故選:7（201陜西）如圖,在空間直角坐標系中有直三棱柱，則直線與直線夾角的余弦值為 未經(jīng)許可 請勿轉載BC【答案：】A【解析】分別以、為軸、軸和軸建立如圖坐標系,，可設,，0，0,，2，2，2,，,，可得,且,，向量與所成的角（或其補角）就是直線與直線夾角,設直線與直線夾角為,則故選：。8（210全國)在正三棱柱中,側棱，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角等于 未經(jīng)許可 請勿轉載。B【答案：】C【解析】在正三棱柱中,側棱,

8、、分別是、的中點,以為原點，在平面中過點作的垂線為軸，為軸,為軸，建立空間直角坐標系,設，則,，,，,1，,，1，,，,，設異面直線與所成的角為,則，。異面直線與所成的角等于故選:9（2010全國大綱版)直三棱柱中，若，,則異面直線與所成的角等于 A.B.CD.【答案：】【解析】延長到,使得，則為平行四邊形，就是異面直線與所成的角,又,則三角形為等邊三角形,故選：.1(2009黑龍江）已知正四棱柱中,，為中點，則異面直線與所形成角的余弦值為未經(jīng)許可 請勿轉載ABD【答案：】C【解析】正四棱柱中，,為中點，是異面直線與所形成角，設，則，異面直線與所形成角的余弦值為。故選：。1。(018上海)如圖

9、,在直三棱柱的棱所在的直線中,與直線異面的直線的條數(shù)為 未經(jīng)許可 請勿轉載A1B。C.3D.4【答案:】【解析】在直三棱柱的棱所在的直線中，與直線異面的直線有:，共3條。故選：。.（201重慶）設四面體的六條棱的長分別為,1，1,和,且長為的棱與長為的棱異面,則的取值范圍是未經(jīng)許可 請勿轉載A。B.D.【答案：】A【解析】設四面體的底面是,，頂點為，在三角形中，因為兩邊之和大于第三邊可得: （1）取中點，是中點，直角三角形全等于直角，所以在三角形中，兩邊之和大于第三邊得 （負值0值舍）（2)由(1)(2）得.二填空題（共5小題)1.(016全國)已知為直二面角，且，則異面直線與所成角的大小為。

10、未經(jīng)許可 請勿轉載【答案：】【解析】分別取、的中點、,連結、,設，則,，,，是二面角的平面角，為直二面角，,，是等邊三角形，,，是異面直線與所成角,，異面直線與所成角為故答案:為：.1.（2016浙江）如圖，已知平面四邊形,，,沿直線將翻折成,直線與所成角的余弦的最大值是 .未經(jīng)許可 請勿轉載【答案:】【解析】如圖所示，取的中點,，在中，.作，垂足為，。,過點作,作交于點,則連接.為直線與所成的角則四邊形為矩形，.則為二面角的平面角,設為。則,時取等號的最小值直線與所成角的余弦的最大值。1（015浙江）如圖，三棱錐中，點，分別是,的中點,則異面直線，所成的角的余弦值是未經(jīng)許可 請勿轉載【答案：

11、】【解析】連結，取 的中點為:,連結，則,異面直線，所成的角就是，,又,，.6（015四川）如圖，四邊形和均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點，設異面直線與所成的角為，則的最大值為未經(jīng)許可 請勿轉載【答案:】【解析】根據(jù)已知條件，,，三直線兩兩垂直,分別以這三直線為，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設,則：未經(jīng)許可 請勿轉載，0，0,，1，；在線段上,設，,；設，；函數(shù)是一次函數(shù)，且為減函數(shù)，;在，恒成立，;在,上單調遞減；時,取到最大值17（012四川)如圖,在正方體中，、分別是、的中點,則異面直線與所成的角的大小是 .未經(jīng)許可 請勿轉載【答案：】【解析】以為坐

12、標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設棱長為2，則，,，2，,1,，,，2,，1，所以，即,異面直線與所成的角的大小是，故答案:為：.三解答題（共小題）8.(219上海)如圖,在正三棱錐中，（1)若的中點為,的中點為,求與的夾角；(2）求的體積解:(),分別為,的中點,，則為與所成角，在中,由,，可得，與的夾角為；（2）過作底面垂線，垂直為，則為底面三角形的中心，連接并延長，交于,則，。19.（2016上海)將邊長為的正方形(及其內部）繞旋轉一周形成圓柱,如圖，長為,長為，其中與在平面的同側未經(jīng)許可 請勿轉載(1）求三棱錐的體積；（2)求異面直線與所成的角的大小解：()連結,則，為正三角形,，

13、（）設點在下底面圓周的射影為，連結，則，為直線與所成角（或補角）,，連結、,，為正三角形,，,直線與所成角大小為。20。（015新課標）如圖，四邊形為菱形,，是平面同一側的兩點，平面，平面，.未經(jīng)許可 請勿轉載()證明:平面平面（）求直線與直線所成角的余弦值【答案:】B【解析】（）連接，設，連接、，在菱形中，不妨設，由,可得，平面，可知，又，所以,且,在直角中，可得，故，在直角三角形中,可得,在直角梯形中,由,，可得,從而，則，(或由，可得，則,可得平面,由平面，所以平面平面；（）如圖，以為坐標原點，分別以，為軸,軸，為單位長度，建立空間直角坐標系，由（）可得,，,，0，,，,，即有，,，,，

14、故,.則有直線與直線所成角的余弦值為.(014湖南）如圖,已知二面角的大小為，菱形在面內，、兩點在棱上,，是的中點,面,垂足為未經(jīng)許可 請勿轉載（）證明：平面;()求異面直線與所成角的余弦值【答案:】B【解析】（1)證明:如圖面,，,連接,由題設知,是正三角形，又是的中點，,又，平面；（）解:，與所成的角等于與所成的角，即是與所成的角,由（）知,平面,，又，于是是二面角的平面角，從而，不妨設，則，易知，在中,，連，在中，,故異面直線與所成角的余弦值為22。(201湖南)如圖所示,在長方體中，,，是棱的中點.（)求異面直線和所成的角的正切值；(）證明：平面平面。解:(1）如圖,因為，所以為異面直

15、線和所成的角,面，即異面直線和所成的角的正切值為(）面，面由(1）知，由可知面面平面平面歷年高考數(shù)學真題精選（按考試點分類）專題29直線與平面所成的角（學生版）一解答題(共5小題)(209上海）如圖,在長方體中,為上一點,已知，,，。(1)求直線和平面的夾角；（)求點到平面的距離.2。(201天津）如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,為等邊三角形，平面平面,未經(jīng)許可 請勿轉載(）設,分別為，的中點,求證:平面；（）求證：平面;(）求直線與平面所成角的正弦值.3（19浙江）如圖,已知三棱柱，平面平面,，,，分別是，的中點.未經(jīng)許可 請勿轉載(）證明：；()求直線與平面所成角的余弦值(20天津)如

16、圖，在四面體中,是等邊三角形，平面平面,點為棱的中點，。未經(jīng)許可 請勿轉載（）求證:；（)求異面直線與所成角的余弦值；（）求直線與平面所成角的正弦值5（18天津）如圖，且，,且,且，平面，。（)若為的中點，為的中點，求證：平面；(）求二面角的正弦值;（)若點在線段上,且直線與平面所成的角為，求線段的長6（2018浙江）如圖,已知多面體，,均垂直于平面，,，（）證明：平面；（）求直線與平面所成的角的正弦值.7（218新課標)如圖,四邊形為正方形，分別為,的中點，以為折痕把折起,使點到達點的位置，且未經(jīng)許可 請勿轉載（1）證明：平面平面;(2)求與平面所成角的正弦值.（201上海）如圖，直三棱柱的

17、底面為直角三角形，兩直角邊和的長分別為4和2，側棱的長為5.未經(jīng)許可 請勿轉載(）求三棱柱的體積;(2）設是中點，求直線與平面所成角的大小9。（217浙江)如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，,，為的中點未經(jīng)許可 請勿轉載（)證明：平面;（)求直線與平面所成角的正弦值10（017天津）如圖，在四棱錐中，平面，,()求異面直線與所成角的余弦值；()求證:平面;()求直線與平面所成角的正弦值11。（26浙江）如圖，在三棱臺中,平面平面，,，,（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的余弦值.12.（2016新課標）如圖，四棱錐中，底面，,，為線段上一點,，為的中點。未經(jīng)許可 請勿轉載（1)

18、證明:平面;（2)求直線與平面所成角的正弦值13。(206天津）如圖，四邊形是平行四邊形，平面平面,，,，為的中點.未經(jīng)許可 請勿轉載（1)求證：平面；（2）求證:平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值14（21天津)如圖,已知平面,，點和分別為和的中點（)求證：平面;(）求證:平面平面;（)求直線與平面所成角的大小.15（201新課標）如圖，長方體中,，,點,分別在,上,，過點,的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形未經(jīng)許可 請勿轉載（1）在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);()求直線與平面所成角的正弦值歷年高考數(shù)學真題精選（按考試點分類)專題29 直線與平面所成的角（教師

19、版)一解答題(共15小題）1（09上海）如圖，在長方體中,為上一點，已知，,，.（）求直線和平面的夾角；()求點到平面的距離。解:(1）依題意：平面,連接，則與平面所成夾角為,，為等腰三角形,直線和平面的夾角為,（2)（空間向量),如圖建立坐標系，則,0，,0，,，0，4,，4,，設平面的法向量，,由,可得,1，點到平面的距離2（9天津)如圖，在四棱錐中,底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面,，未經(jīng)許可 請勿轉載（)設,分別為，的中點，求證：平面；（)求證：平面；(）求直線與平面所成角的正弦值。證明：()連結，由題意得，又由，得,平面,平面，平面.（)取棱中點,連結,依題意得，又平面平面，

20、平面平面，平面,又平面，又，平面解:(）連結，由（）中平面，知是直線與平面所成角,是等邊三角形，且為中點，又,在中，直線與平面所成角的正弦值為3(019浙江)如圖,已知三棱柱,平面平面，,分別是，的中點.未經(jīng)許可 請勿轉載（)證明：;（）求直線與平面所成角的余弦值方法一：證明：（)連結,，是的中點，又平面平面，平面，平面平面，平面,，,，平面，.解：（）取中點,連結、,則是平行四邊形,由于平面，故，平行四邊形是矩形，由（）得平面，則平面平面，在平面上的射影在直線上，連結，交于,則是直線與平面所成角（或其補角）,不妨設，則在中,，是的中點，故，直線與平面所成角的余弦值為方法二：證明：()連結，是

21、的中點，又平面平面,平面,平面平面,平面，如圖，以為原點，在平面中,過作的垂線為軸，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標系，設，則,，,，,，2,，由，得解:（)設直線與平面所成角為，由（）得，,2，設平面的法向量,，,則，取，得,直線與平面所成角的余弦值為。4。（201天津）如圖，在四面體中，是等邊三角形,平面平面，點為棱的中點,，.未經(jīng)許可 請勿轉載（）求證:；（）求異面直線與所成角的余弦值；（)求直線與平面所成角的正弦值(）證明：由平面平面,平面平面，得平面,故；（）解：取棱的中點，連接，,為棱的中點，故,（或其補角）為異面直線與所成角,在中，故,平面,故,在中，,故,在等腰三角形中，,

22、可得異面直線與所成角的余弦值為；()解：連接，為等邊三角形,為邊的中點，故，,又平面平面,而平面，故平面，則為直線與平面所成角.在中,在中，直線與平面所成角的正弦值為.5.（2018天津)如圖，且，且，且，平面，()若為的中點，為的中點，求證:平面;（)求二面角的正弦值;(）若點在線段上,且直線與平面所成的角為,求線段的長.（)證明:依題意,以為坐標原點，分別以、的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系可得，0,，,0，2，,2，0，1，0，,，。設為平面的法向量，則，不妨令，可得;又，可得又直線平面,平面;()解：依題意，可得,，設為平面的法向量,則，不妨令，可得設為平面的法向量，則,不

23、妨令，可得因此有,于是.二面角的正弦值為;（）解:設線段的長為，,則點的坐標為,0，,可得,而為平面的一個法向量，故.由題意,可得，解得，。線段的長為.(201浙江）如圖，已知多面體，均垂直于平面，,.（)證明：平面；（）求直線與平面所成的角的正弦值。證明：平面,平面，,又,，同理可得:,又,平面解：取中點,過作平面的垂線，交于，,，,，以為原點，以，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示:則,，,0，,0，,，,0，,，,，設平面的法向量為，,則，令可得,1，,。設直線與平面所成的角為,則.直線與平面所成的角的正弦值為7(208新課標）如圖，四邊形為正方形，,分別為，的中點，以為折痕把折

24、起,使點到達點的位置，且.未經(jīng)許可 請勿轉載（1）證明：平面平面;（2）求與平面所成角的正弦值。(1）證明：由題意,點、分別是、的中點，則，由于四邊形為正方形,所以。由于,，則平面.又因為平面,所以：平面平面（2）在平面中，過作于點,連接,由于為面和面的交線，則面，故。在三棱錐中,可以利用等體積法求,因為且，所以,又因為,所以，所以，由于,則平面，故，因為且面,所以面,所以設正方形邊長為，則，在中,所以，故,又因為，所以，所以在中，即為與平面所成角的正弦值為：。8(2017上海）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊和的長分別為4和，側棱的長為5未經(jīng)許可 請勿轉載(1)求三棱柱的體積；（）

25、設是中點,求直線與平面所成角的大小解:（)直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊和的長分別為4和,側棱的長為三棱柱的體積:（2）連結，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊和的長分別為4和，側棱的長為，是中點，底面,，是直線與平面所成角,，直線與平面所成角的大小為。（2017浙江)如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，,為的中點未經(jīng)許可 請勿轉載（）證明：平面；()求直線與平面所成角的正弦值證明：(）取的中點，連結,為的中點,在四邊形中，為中點，平面平面，平面，平面。解:(）連結,過作于,連結,，推導出四邊形為矩形，,平面，又，平面,設,由,得，又平面,，平面，即點到平面的距離為，到平面的

26、距離應該和平行且相等，為，為中點,到平面的垂足也為垂足所在線段的中點，即中位線，到平面的距離為，在，由余弦定理得，設直線與平面所成角為,則.10.(2017天津）如圖,在四棱錐中，平面,，,。（）求異面直線與所成角的余弦值;（）求證:平面；（）求直線與平面所成角的正弦值【解答】解：（）如圖，由已知，故或其補角即為異面直線與所成的角。因為平面,所以在中，由已知,得，故.所以,異面直線與所成角的余弦值為證明：（)因為平面，直線平面,所以又因為,所以，又，所以平面解：（）過點作的平行線交于點，連結，則與平面所成的角等于與平面所成的角。因為平面,故為在平面上的射影，所以為直線和平面所成的角由于，故，由

27、已知,得.又,故，在中,可得.所以,直線與平面所成角的正弦值為11。（2016浙江)如圖，在三棱臺中，平面平面，()求證：平面；（）求直線與平面所成角的余弦值【解答】解：（)證明：延長，,相交于一點，如圖所示：平面平面，且；平面,平面；又，；為等邊三角形,且為的中點；，且;平面;（）平面；是直線和平面所成的角;為中點，且;為的中位線,且;又；在中,；即直線和平面所成角的余弦值為1.（201新課標）如圖，四棱錐中，底面，為線段上一點，為的中點.未經(jīng)許可 請勿轉載（1)證明:平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值【解答】(）證明：法一、如圖，取中點，連接，,為的中點，且，又,且,且,則，且，四邊形為平行四