1、恒定電流場第1頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三那么，單位體積中的功率損失為當 J 和 E 的方向不同時，上式可以表示為下面一般形式 此式稱為焦耳定律的微分形式，它表示某點的功率損耗等于該點的電場強度與電流密度的標積。 設圓柱體兩端的電位差為U，則 ，又知 ，那么單位體積中的功率損失可表示為可見，圓柱體中的總功率損失為這就是電路中的焦耳定律。第2頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三恒定電流場的基本方程 電位方程載流導電媒質中恒定電場的基本方程（不包括電源） 積分形式 微分形式 本構關系電位及電位方程 對于均勻的導電媒質恒定電場的電位滿足拉普拉斯方程

2、 第3頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 例4.1一個有兩層介質的平行板電容器，其參數分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質面上的自由電荷密度。 解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z方向。由由第4頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三例4.2 已知一平板電容器由兩層非理想介質串聯構成，如圖示。其介電常數分別為 1 和 2 ，電導率分別為 1 和 2 ，厚度分別為 d1 和 d2 。當外加恒定電壓為 U 時，試求兩層介質中的電場強度，單位體積中的電場儲能及功率損耗。 1 1 2 2d1d2U解 由于電容器外不存在電流，可以認為電容器中的電流線與邊界

3、垂直，求得 又由此求出兩種介質中的電場強度分別為 第5頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三兩種介質中電場儲能密度分別為 兩種介質中單位體積的功率損耗分別為 兩種特殊情況值得注意：當 時， ， ， ， 。當 時， ， ， ， 。d1d2 1= 0E 2= 0UE 1= 0 2= 0U第6頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三例4.3 設一段環形導電媒質，其形狀及尺寸如圖示。計算兩個端面之間的電阻。 Uyxtabr0(r,)0解 顯然，必須選用圓柱坐標系。設兩個端面之間的電位差為U，且令 當角度 時，電位 。當角度 時，電位 。那么，由于導電媒質中的電位

4、僅與角度 有關，因此電位滿足的方程式為此式的通解為 第7頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 利用給定的邊界條件，求得 導電媒質中的電流密度 J 為 那么由 的端面流進該導電媒質的電流 I 為 因此該導電塊的兩個端面之間的電阻 R 為 第8頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 例4.4 填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導體半徑為c，介質的分界面半徑為b。兩層介質的介電常數為1和2 、電導率為 1和2 。設內導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面上的自由電荷面密度。外導體內導體介質2介

5、質1第9頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三介質中的電場： 解 電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。可先假設電流為I，由求出電流密度 的表達式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。（1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I，則由 ， 可得電流密度第10頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為于是得到由于第11頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三介質2外表面的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為（2）由 可得，介質1內表面的電荷面密度為第12頁，共28頁

6、，2022年，5月20日，11點29分，星期三第13頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三4-6 恒定電流場與靜電場的比擬 已知無外源區中均勻導電媒質內的恒定電流場方程和無源區中均勻介質內的靜電場方程如下： 恒定電流場靜電場可見，兩者非常相似，恒定電流場的電流密度 J 相當于靜電場的電場強度 E，電流線相當于電場線。 第14頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三恒定電流場與靜電場的比擬 對應物理量靜電場恒定電場第15頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 因此，當恒定電流場與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強度的分布特性完

7、全相同。根據這種類似性，可以利用已經獲得的靜電場的結果直接求解恒定電流場。或者由于在某些情況下，恒定電流場容易實現且便于測量時，可用邊界條件與靜電場相同的電流場來研究靜電場的特性，這種方法稱為靜電比擬。 例如，兩電極間的電流場與靜電場對應分布如下圖示： PN電流場PN靜電場那么，利用已經獲得的靜電場結果可以求解恒定電流場。 第16頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 利用兩種場方程，可以求出兩個電極之間的電阻及電導與電容的關系為若已知兩電極之間的電容，根據上述兩式，即可求得兩電極間的電阻及電導。 例如，已知面積為 S ，間距為 d 的平板電容器的電容 ，若填充的非理想介質

8、的電導率為 ，則平板電容器極板間的漏電導為 又知單位長度內同軸線的電容 。那么，若同軸線的填充介質具有的電導率為 ，則單位長度內同軸線的漏電導第17頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三1. 直接用電流場計算當恒定電場與靜電場邊界條件相同時，用靜電比擬法，由電容計算電導。電導與接地電阻的計算 2. 靜電比擬法設設即第18頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 例1 求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為R1、R2，長度為 ,中間媒質的電導率為 ，介電常數為 。解法一 直接用電流場的計算方法設電導絕緣電阻解法二 靜電比擬法由靜電場解得則根據關系式得同軸電

9、纜電導絕緣電阻圖 同軸電纜橫截面第19頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三例2 求圖示電導片的電導，已知給定 。方程通解為 ，代入邊界條件，可得電流密度電流電導電位函數解：取圓柱坐標系， ，邊值問題：圖 弧形導電片圓弧片厚度為h.第20頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三1. 深埋球形接地器 解：深埋接地器可不考慮地面影響,其電流場可與無限大區域 的孤立圓球的電流場相似。2 接地電阻圖 深埋球形接地器 接地電阻 安全接地與工作接地的概念接地器電阻接地器與土壤之間的接觸電阻土壤電阻（接地電阻以此電阻為主）解法一 直接用電流場的計算方法解法二 靜電比擬法

10、第21頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三2. 直立管形接地器解： 考慮地面的影響，可用鏡像法。實際電導即 由靜電比擬法 圖 直立管形接地器 則3. 非深埋的球形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法處理。圖 非深埋的球形接地器第22頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三為保護人畜安全起見（危險電壓取40V)在電力系統的接地體附近，要注意危險區。相應為危險區半徑跨步電壓圖 半球形接地器的危險區以淺埋半球接地器為例實際電導 接地器接地電阻 4. 淺埋半球形接地器解：考慮地面的影響用鏡像法處理。此時由靜電比擬圖 淺埋半球形接地器第23頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三第24頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三同軸